1、第28课时与圆有关的位置关系课标要求北京考情概览1.探索并了解点与圆的位置关系,了解直线和圆的位置关系.2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径的关系,会用三角尺过圆上一点画圆的切线.3.(选学)探索并证明切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.4.知道三角形的内心和外心2020年23题 切线的性质28题新定义“距离”问题,直线和圆的位置关系2019年22题三角形的外接圆与外心,直线与圆的公共点个数2018年22题 切线的性质,切线长定理28题新定义“闭距离”,点与点的距离,点到直线的距离,直线与圆的位置关系点与圆的位置关系直线与圆的位置关系位置关系 点在圆外点在圆上点在圆内相离相切
2、相交数量关系 dr Dr Dr Dr dr Dr 图示O的半径是r,点到圆心O的距离是d直线与圆没有公共点直线与圆有一个公共点直线与圆有两个公共点一、点、直线与圆的位置关系知 识 梳 理=性质性质定理圆的切线过切点的半径常用结论(1)切线与圆只有个公共点;(2)圆心到切线的距离等于 判定定义判定直线和圆只有一个公共点,这条直线叫做圆的切线判定定理经过半径的外端并且这条半径的直线是圆的切线常用结论圆心到一条直线的距离等于圆的的直线二、切线的性质与判定垂直于一半径垂直于半径定义经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长(如图,线段PA,PB)定理从圆外一点可以引圆的两条
3、切线,它们的切线长,这一点和圆心的连线两条切线的夹角(如图,PA=PB,APO=BPO,AOP=BOP)三、切线长与切线长定理*相等平分内容外接圆内切圆图示定义经过三角形的三个顶点的圆与三角形各边都相切的圆圆心三角形三条边的 的交点即外接圆的圆心,叫做三角形的外心三角形三条 的交点即内切圆的圆心,叫做三角形的内心四、三角形的外接圆与内切圆垂直平分线 角平分线（续表）内容外接圆内切圆性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形的三条边的距离相等画法作三角形任意两边的垂直平分线,其交点即为圆心O,以圆心O到任一顶点的距离为半径作O即可作三角形任意两角的平分线,其交点即为圆心O,
4、过点O作任一边的垂线段作为半径,作O即可1.O的半径为5,点P到圆心O的距离为3,点P与O的位置关系是()A.无法确定B.点P在O外C.点P在O上D.点P在O内对 点 演 练题组一必会题D2.如图28-1,O=30,C为OB上一点,且OC=6,以点C为圆心,3为半径的圆与直线OA的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.无法判断图28-1C图28-2A4.如图28-3,PA,PB是O的切线,A,B为切点,AC是O的直径,BAC=15,则P的度数为.图28-330505.如图28-4,AB是O的直径,C,D是O上的点,CDB=20,过点C作O的切线交AB的延长线于点E,则E=.图28-4题组二
5、易错题【失分点】定义法判定直线和圆的位置关系和d,r比较法判定直线和圆的位置关系相互混淆;混淆三角形的内心与外心.6.如图28-5,已知O的半径为5,直线EF经过O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与O相切的是()A.OP=5B.OE=OFC.O到直线EF的距离是4D.OPEFD图28-57.已知在ABC中,C=90,AC=4,BC=3,点O为ABC的内心,则OC=.考向一切线性质的应用图28-6解:(1)证明:如图所示,连接OD,OF.O与AC相切于点D,ADO=90.ACB=90,ODBC,AOD=ABC,DOF=OFB.OB=OF,ABC=OFB,AOD=DOF,D
6、E=DF.图28-6 考向精练1.2017北京24题如图28-7,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求O的半径.图28-7解:(1)证明:如图,DCOA,1+3=90.BD为切线,OBBD,2+5=90.OA=OB,1=2.又3=4,4=5,DE=DB.1.2017北京24题如图28-7,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交CE的延长线于点D.(2)若AB=12,BD=5,求O的半径.图28-7图28-8图28-8图28-8图28-9解:(
7、1)证明:如图,连接OD,CD是O的切线,ODCD,ADC+ODA=90,OFAD,AOF+DAO=90.OD=OA,ODA=DAO,ADC=AOF.图28-9考向二切线的判定例22020海淀区一模如图28-10,在RtABC中,BAC=90,点D为BC边的中点,以AD为直径作O,分别与AB,AC交于点E,F,过点E作EGBC于G.(1)求证:EG是O的切线;(2)若AF=6,O的半径为5,求BE的长.图28-10解:(1)证明:如图,连接OE.RtABC中,点D为BC边中点,AD=BD.BAD=DBA.OE=OA,OAE=OEA.OEA=DBA.OEBD.又EGBC,OEEG.又OE是半径,
8、EG是O的切线.例22020海淀区一模如图28-10,在RtABC中,BAC=90,点D为BC边的中点,以AD为直径作O,分别与AB,AC交于点E,F,过点E作EGBC于G.(2)若AF=6,O的半径为5,求BE的长.图28-10 考向精练4.2019海淀区期末下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.图28-11图28-12已知:如图28-11,O及O上一点P.求作:过点P的O的切线.作法:如图28-12,作射线OP;在直线OP外任取一点A,以点A为圆心,AP为半径作A,与射线OP交于另一点B;连接并延长BA与A交于点C;作直线PC.则直线PC即为所求.根据小元设计的尺规作图过
9、程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明:证明:BC是A的直径,BPC=90().(填推理的依据)OPPC.又OP是O的半径,PC是O的切线().(填推理的依据)图28-12图28-11解:(1)补全的图形如图所示:4.2019海淀区期末下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.图28-11图28-12已知:如图28-11,O及O上一点P.求作:过点P的O的切线.作法:如图28-12,作射线OP;在直线OP外任取一点A,以点A为圆心,AP为半径作A,与射线OP交于另一点B;连接并延长BA与A交于点C;作直线PC.则直线PC即为所求.根据小元设计的尺
10、规作图过程,(2)完成下面的证明:证明:BC是A的直径,BPC=90().(填推理的依据)OPPC.又OP是O的半径,PC是O的切线(_).(填推理的依据)图28-12图28-11直径所对的圆周角是直角经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线图28-135.2020房山区二模如图28-13,在ABC中,ACB=90,以BC为直径的O交AB于点D,E是AC中点,连接DE.(1)判断DE与O的位置关系并说明理由;(2)设CD与OE的交点为F,若AB=10,BC=6,求OF的长.解:(1)DE与O相切.理由如下:连接OD,如图,BC为直径,BDC=90,E为RtADC的斜边AC的中点,EA=
11、ED,1=A,OB=OD,B=2,B+A=90,1+2=90,EDO=90,ODDE,DE为O的切线.图28-135.2020房山区二模如图28-13,在ABC中,ACB=90,以BC为直径的O交AB于点D,E是AC中点,连接DE.(2)设CD与OE的交点为F,若AB=10,BC=6,求OF的长.考向三三角形内心、外心的相关计算例3(1)2019怀柔区一模如图28-14,ABC的内切圆O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,ABC的周长为14,则BC的长为()A.3B.4C.5D.6图28-14答案(1)C解析O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,AF=AD=2,BD=B
12、E,CE=CF.ABC的周长为14,AD+AF+BE+BD+CE+CF=14,2(BE+CE)=10,BC=5.故选C.例3(2)2020西城区一模如图28-15,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0),M是ABC的外接圆,则点M的坐标为.图28-15答案(2)(6,6)解析如图所示,M是ABC的外接圆,点M是AB,BC的垂直平分线的交点,BN=CN.点A,B,C的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0),OA=OB=4,OC=8,BC=4,BN=2,ON=OB+BN=6.AOB=90,AOB是等腰直角三角形,OMAB,MON=45,OMN是等
13、腰直角三角形,MN=ON=6,点M的坐标为(6,6).故答案为:(6,6).考向精练6.如图28-16,点O是ABC的内心,若ACB=70,则AOB=()A.140B.135C.125D.110图28-16答案C7.2020顺义区期末九章算术是东方数学思想之源,该书中记载:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内切圆的直径是步.”答案6图28-17考向四切线长定理的应用例4 2020延庆区一模把光盘、含60角的三角板和直尺如图28-18摆放,AB=2,则光盘的直径是.图28-18 考向精练9.如图28-19,已知PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,线段OP交O于点M.给出下列四种说法:PA=PB;OPAB;四边形OAPB有外接圆;M是AOP外接圆的圆心,其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4图28-19答案C
