1、第2节与圆有关的位置关系课标要求1.探索并了解点与圆的位置关系,了解直线和圆的位置关系.2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径的关系,会用三角尺过圆上一点画圆的切线.3.(选学)探索并证明切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.4.知道三角形的内心和外心.一、点、直线与圆的位置关系知 识 梳 理点与圆的位置关系直线与圆的位置关系位置关系 点在圆外点在圆上点在圆内相离相切相交数量关系 dr dr dr dr dr dr 图示O的半径是r,点到圆心O的距离是d没有公共点有一个公共点有两个公共点=二、切线的性质与判定性质性质定理 圆的切线过切点的半径 常用结论(1)切线与圆只有个公共点;
2、(2)圆心到切线的距离等于 判定定义判定 直线和圆只有一个公共点,这条直线是圆的切线判定定理 经过半径的外端并且这条半径的直线是圆的切线 常用结论 圆心到一条直线的距离等于圆的 的直线 垂直于一半径垂直于半径三、切线长与切线长定理*定义经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长(如图,线段PA,PB的长)定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长.拓展:PO平分两条切线的夹角.如图,PA=PB,APO=BPO,AOP=BOP 相等四、三角形的外接圆与内切圆内容外接圆内切圆图示定义经过三角形的三个顶点的圆与三角形各边都相切的圆圆心三角形三条边的 的交点即外接圆的圆
3、心,叫做三角形的外心 三角形三条 的交点即内切圆的圆心,叫做三角形的内心 垂直平分线角平分线（续表）内容外接圆内切圆性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形的三条边的距离相等画法作三角形任意两边的垂直平分线,其交点即为圆心O,以圆心O到任一顶点的距离为半径作O即可作三角形任意两角的平分线,其交点即为圆心O,过点O作任一边的垂线段作为半径,作O即可对 点 演 练题组一必会题1.O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离OA=3 cm,则点A与O的位置关系为()A.点A在圆上B.点A在圆内C.点A在圆外D.无法确定B2.如图24-1,O=30,C为OB上一点,且OC=6,以点C
4、为圆心,3为半径的圆与直线OA的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能图24-1C图24-2B4.如图24-3,AB是O的弦,BC与O相切于点B,连接OA,OB,若ABC=70,则A等于()A.15B.20C.30D.70图24-3B题组二易错题【失分点】混淆三角形的内心与外心的特点;在特定条件下圆与直线相切的情况可能有多种,常因考虑不全面而导致错误.5.下列命题中的真命题的个数是()经过三点一定可以作圆;任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.A.4B.3C.2
5、D.1C6.若O为ABC的外接圆,BOC=100,则A=.答案50或1307.如图24-4,P是抛物线y=x2-4x+3上的一点,以点P为圆心,1个单位长度为半径作P,当P与直线y=0相切时,点P的坐标为.图24-4答案考向一与切线有关的证明与计算图24-5图24-5图24-5 考向精练1.如图24-6,PA,PB切O于点A,B,点C是O上一点,且P=36,则ACB=()A.54B.72C.108D.144B图24-62.如图24-7,PA,PB分别与半径为3的O相切于点A,B,直线CD分别交PA,PB于点C,D,并切O于点E,当PO=5时,PCD的周长为()A.4B.5C.8D.10图24-
6、7答案C 图24-8图24-8解:(1)证明:连接OE,GE=GF,GEF=GFE,而GFE=AFH,GEF=AFH,ABCD,AHF=90,OAF+AFH=90,GEA+OAF=90,OA=OE,OEA=OAF,GEA+OEA=90,即GEO=90,OEGE,OE是O的半径,EG是O的切线.图24-84.2016鄂尔多斯如图24-9,在ABC中,AB=AC,以AC为直径作O交BC于点D,过点D作O的切线EF,交AB于点E,交AC的延长线于点F.(1)求证:FEAB.(2)当AE=6,AF=10时,求BE的长.图24-9解:(1)证明:如图,连接OD.OC=OD,ODC=OCD.又AB=AC,
7、OCD=B,ODC=B,ODAB.ED是O的切线,OD是O的半径,ODEF,FEAB.4.2016鄂尔多斯如图24-9,在ABC中,AB=AC,以AC为直径作O交BC于点D,过点D作O的切线EF,交AB于点E,交AC的延长线于点F.(2)当AE=6,AF=10时,求BE的长.图24-9考向二三角形的外接圆与内切圆例2 如图24-10,在ABC中,点I是ABC的内心,BAC的平分线与ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点E.求证:DI=DB.图24-10证明:连接BI.点I是ABC的内心,BAI=CAI,ABI=CBI.又DBI=CBI+DBC,DIB=ABI+BAI,DBC=DAC=BAI,
8、DBI=DIB,DI=DB.考向精练5.如图24-11,在ABC中,点D是ABC的内心,连接DB,DC,过点D作EFBC分别交AB,AC于点E,F,若BE+CF=8,则EF的长度为()A.4B.5C.8D.16图24-11答案 C解析点D是ABC的内心,BD平分ABC,CD平分ACB,EBD=DBC,FCD=DCB,EFBC,EDB=DBC,FDC=DCB,EDB=EBD,FDC=FCD,ED=EB,FD=FC,EF=ED+FD=BE+CF=8.即EF的长度为8.故选C.6.如图24-12,I为ABC的内切圆,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE为I的切线,DEBC.若ABC的周长为8,则
9、DE的最大值为.图24-12答案1 7.2014呼和浩特如图24-13,AB是O的直径,点C在O上,过点C作O的切线CM.(1)求证:ACM=ABC;(2)延长BC到D,使CD=BC,连接AD与CM交于点E,若O的半径为3,ED=2,求ACE的外接圆的半径.图24-13解:(1)证明:如图,连接OC,AB为O的直径,ACB=90,ABC+BAC=90,又CM是O的切线,OCCM,ACM+ACO=90,CO=AO,BAC=ACO,ACM=ABC.7.2014呼和浩特如图24-13,AB是O的直径,点C在O上,过点C作O的切线CM.(2)延长BC到D,使CD=BC,连接AD与CM交于点E,若O的半径为3,ED=2,求ACE的外接圆的半径.图24-13(2)BC=CD,ACB=90,OAC=CAD,OAC=OCA,OCA=CAD,OCAD,又OCCE,ADCE,AEC是直角三角形,AEC的外接圆的直径是AC,素养提升数学文化九章算术勾股容圆九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是()A.3步B.5步C.6步D.8步图24-14答案C
