1、重点题型训练一有关代数式的规律探索【题型一题型一】探索图形规律探索图形规律1.(20191.(2019北京平谷区期末北京平谷区期末)如图如图,用小石子按一定规律用小石子按一定规律摆出以下图形摆出以下图形:依照此规律依照此规律,第第n n个图形中小石子的个数是个图形中小石子的个数是(n(n为正整数为正整数)()A.nA.nB.3n+1B.3n+1C.n+3C.n+3D.3n-2D.3n-2D D2.(20182.(2018贺州中考贺州中考)如图如图,正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为1,1,以对以对角线角线ACAC为边作第二个正方形为边作第二个正方形ACEF,ACEF,再以对角线再以对
2、角线AEAE为边作为边作第三个正方形第三个正方形AEGH,AEGH,依此下去依此下去,第第n n个正方形的面积为世个正方形的面积为世纪金榜导学号纪金榜导学号()B Bn 1n 1nnA2 B 2 C 2)D 2.().(.3.(20193.(2019合肥模拟合肥模拟)观察下列观察下列n nn n的点阵与等式的关的点阵与等式的关系系,并填空并填空:(1)(1)根据你发现的规律根据你发现的规律,在在(n(nn)n)图的后面的横线上填图的后面的横线上填上所对应的等式上所对应的等式,并证明等式成立并证明等式成立.略略(2)(2)根据等式性质根据等式性质,将上图所对应的前四个已知等式的将上图所对应的前四
3、个已知等式的左侧和右侧式子分别相加左侧和右侧式子分别相加,等式依然成立等式依然成立,即即:(2(22 2-1-12 2)+(3)+(32 2-2-22 2)+(4)+(42 2-3-32 2)+(5)+(52 2-4-42 2)=(1+2)=(1+21)+(1+21)+(1+22)2)+(1+2+(1+23)+(1+23)+(1+24)4)经化简经化简,变形后变形后,得到得到:5:52 2-1-12 2=4+2=4+2(1+2+3+4),(1+2+3+4),即即1+2+1+2+3+4=3+4=这种方法叫等式叠加法这种方法叫等式叠加法,如果将上图如果将上图(2(22)2)到到(n(nn)n)所对
4、应的所对应的(n-1)(n-1)个等式进行叠加个等式进行叠加,经化经化简简,变形后变形后,可以得到可以得到:1+2+3+(n-1)=:1+2+3+(n-1)=_._.225142，2n1(n1)2 4.(20194.(2019赤峰宁城期末赤峰宁城期末)如图图案是用长度相同的火如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成柴棒按一定规律拼搭而成,图案需图案需8 8根火柴棒根火柴棒,图案图案需需1515根火柴棒根火柴棒,(1)(1)按此规律按此规律,图案需图案需_根火柴棒根火柴棒;第第n n个个图案需图案需_根火柴棒根火柴棒.(2)(2)用用2 0182 018根火柴棒能按规律拼搭而成一个图案吗根
5、火柴棒能按规律拼搭而成一个图案吗?若若能能,说明是第几个图案说明是第几个图案;若不能若不能,请说明理由请说明理由.【解析解析】(1)50(1)507n+17n+1(2)(2)设设7n+1=2 018,7n+1=2 018,解得解得n=288n=2881,1,故用故用2 0182 018根火柴棒不能按规律拼搭而成一个图案根火柴棒不能按规律拼搭而成一个图案.【题型二题型二】探索数据排列规律探索数据排列规律5.(20185.(2018牡丹江中考牡丹江中考)一列数一列数1,4,7,10,13,1,4,7,10,13,按此规按此规律排列律排列,第第n n个数是个数是_._.3n-23n-26.(2018
6、6.(2018成都中考成都中考)已知已知a0,Sa0,S1 1=S=S2 2=-S=-S1 1-1,S-1,S3 3=S S4 4=-S=-S3 3-1,S-1,S5 5=(=(即当即当n n为大于为大于1 1的奇数时的奇数时,S,Sn n=当当n n为大于为大于1 1的偶数时的偶数时,S,Sn n=-S=-Sn-1n-1-1),-1),按此规律按此规律,S,S2 0182 018=_._.1a，21S，41S，n 11S；a1a7.(20187.(2018河北中考河北中考)如图如图,阶梯图的每个台阶上都标着阶梯图的每个台阶上都标着一个数一个数,从下到上的第从下到上的第1 1个至第个至第4 4
7、个台阶上依次标着个台阶上依次标着-5,-5,-2,1,9,-2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等且任意相邻四个台阶上数的和都相等.世纪金世纪金榜导学号榜导学号尝试尝试:(1):(1)求前求前4 4个台阶上数的和是多少个台阶上数的和是多少?(2)(2)求第求第5 5个台阶上的数个台阶上的数x x是多少是多少?应用应用:求从下到上前求从下到上前3131个台阶上数的和个台阶上数的和.发现发现:试用含试用含k(kk(k为正整数为正整数)的式子表示出数的式子表示出数“1”1”所在所在的台阶数的台阶数.【解析解析】尝试尝试:(1):(1)由题意得前由题意得前4 4个台阶上数的和是个台阶上数的和是-
8、5-5-2+1+9=3.2+1+9=3.(2)(2)由题意得由题意得-2+1+9+x=3,-2+1+9+x=3,解得解得:x=-5,:x=-5,则第则第5 5个台阶上的个台阶上的数数x x是是-5.-5.应用应用:由题意知台阶上的数字是每由题意知台阶上的数字是每4 4个一循环个一循环,31314=74=73,73,73-5-2+1=15,3-5-2+1=15,即从下到上前即从下到上前3131个台阶上数的和为个台阶上数的和为15;15;发现发现:数数“1 1”所在的台阶数为所在的台阶数为4k-1.4k-1.【题型三题型三】探索算式规律探索算式规律8.(20198.(2019亳州利辛二模亳州利辛二
9、模)观察下列等式观察下列等式第第1 1个等式个等式:a:a1 1=第第2 2个等式个等式:a:a2 2=第第3 3个等式个等式:a:a3 3=111(1)1 3231111()3 52351111()5 7257请解答下列问题请解答下列问题:(1)(1)按以上规律列出第按以上规律列出第6 6个等式个等式:a:a6 6=_=_=_._.(2)(2)用含有用含有m m的代数式表示第的代数式表示第m m个等式个等式:a:am m=_=_=_(m=_(m为正整数为正整数).).(3)(3)求求a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a2 0192 019的值的值.【解析解析】答案答案:61111
10、1a().11 1321113（）1111 ()11 1321113答案答案:m11112a()(2m 1)(2m1)2 2m 12m1（）1111 ()(2m 1)(2m1)22m 12m1(3)a(3)a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a2 0192 01911111111111(1)()()()23235257279111112 0191.24 0374 03924 0394 039（）（）9.(20199.(2019肥西二模肥西二模)两位数相乘两位数相乘:13:1317=221,1817=221,1812=216,2412=216,2426=624,2526=624,2525=
11、625,4725=625,4743=2 02143=2 021世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)认真观察、分析认真观察、分析:以上各式中的因数的十位数与个以上各式中的因数的十位数与个位数有何关系位数有何关系,因数与积之间有何规律因数与积之间有何规律,请用字母将规请用字母将规律表示出来律表示出来.(2)(2)验证你得到的规律验证你得到的规律.【解析解析】(1)(1)上述等式的规律是上述等式的规律是:两因数的十位数相等两因数的十位数相等,个位数相加等于个位数相加等于10,10,而积后两位是两因数个位数相乘、而积后两位是两因数个位数相乘、前两位是十位数乘以前两位是十位数乘以(十位数十位数+1)
12、;+1);如果用如果用m m表示十位数表示十位数,n,n表示个位数表示个位数,则第一个因数为则第一个因数为10m+n,10m+n,第二个因数为第二个因数为10m+(10-n),10m+(10-n),积为积为100m(m+1)+n(10-n);100m(m+1)+n(10-n);表示出来为表示出来为:(10m+n)10m+(10-n)=100m(m+1)+:(10m+n)10m+(10-n)=100m(m+1)+n(10-n).n(10-n).(2)(2)左边左边=(10m+n)(10m-n+10)=(10m+n)(10m-n+10)=(10m+n)10(m+1)-n=(10m+n)10(m+1
13、)-n=100m(m+1)-10mn+10n(m+1)-n=100m(m+1)-10mn+10n(m+1)-n2 2=100m(m+1)-10mn+10mn+10n-n=100m(m+1)-10mn+10mn+10n-n2 2=100m(m+1)+n(10-n)=100m(m+1)+n(10-n)=右边右边,(10m+n)10m+(10-n)=100m(m+1)+n(10-n)(10m+n)10m+(10-n)=100m(m+1)+n(10-n)成立成立.10.(201910.(2019安徽模拟安徽模拟)观察下列等式观察下列等式:1 12 2-4-41 12=-7;2=-7;3 32 2-4-
14、42 23=-15;3=-15;5 52 2-4-43 34=-23;4=-23;(1)(1)请直接写出第个等式请直接写出第个等式.(2)(2)根据上述等式的排列规律根据上述等式的排列规律,猜想第猜想第n n个等式个等式(n(n是正整是正整数数),),并验证它的正确性并验证它的正确性.【解析解析】(1)(1)第个等式为第个等式为7 72 2-4-44 45=-31.5=-31.(2)(2)题目中的式子用含题目中的式子用含n n的形式分别表示出来是的形式分别表示出来是:(2n-1)(2n-1)2 2-4n(n+1)=-8n+1.-4n(n+1)=-8n+1.验证验证:等式左边等式左边=4n=4n
15、2 2-4n+1-4n-4n+1-4n2 2-4n=-8n+1=-4n=-8n+1=等式右边等式右边,结论正确结论正确.11.(201811.(2018安徽中考安徽中考)观察以下等式观察以下等式:第第1 1个等式个等式:=1,:=1,第第2 2个等式个等式:=1,:=1,第第3 3个等式个等式:=1,:=1,10101212 1111232312123434第第4 4个等式个等式:=1,:=1,第第5 5个等式个等式:=1,:=1,1313454514145656按照以上规律按照以上规律,解决下列问题解决下列问题:世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)写出第写出第6 6个等式个等式:_.:_.(2)(2)写出你猜想的第写出你猜想的第n n个等式个等式:_(:_(用含用含n n的等的等式表示式表示),),并证明并证明.【解析解析】证明证明:等式成立等式成立.1515167671n11n121nn1nn1（）21n11n1n1nn1n1nnnn1nn1nn1nn1（）（）（）（）1,
