1、第3课时一元二次方程及其应用课标要求1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.经历估计方程解的过程.3.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.5.(选学)了解一元二次方程的根与系数的关系.6.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.一、一元二次方程及相关概念知 识 梳 理一元二次方程相关概念定义只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程一般形式一元二次方程的解法直接开平方法(1)ax2+c=0 x=(其中a
2、c0).【温馨提示】开方后取正负两个值配方法【温馨提示】配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数公式法当b2-4ac0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a0)的解为x.【温馨提示】应用公式法的前提条件:判别式0;等号的右边为0（续表）一元二次方程的解法因式分解法ax2+bx+c=0(a0)(m1x+n1)(m2x+n2)=0m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值.【温馨提示】当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解根与判别式的关系(1)b2-4ac0方程有的实数根;(2)b2-4ac=0方程有的实数根;(3)b2-4ac0方程实数根根与系数的关系*若关于x的一元二次方程ax
3、2+bx+c=0(a0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=（续表）两个不相等两个相等没有二、一元二次方程的实际应用应用类型等量关系变化率问题设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率时,有a(1-m)n=b销售利润问题(1)利润=售价-成本;(2)利润率=利润成本100%面积问题AB+BC+CD=aS阴影=S阴影=S阴影=循环问题（续表）(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)考向一一元二次方程的解法(8年2考)例1 选择最佳方法解下列关于x的方程:(1)(x+1)2=(1-2x)2;解:(1)(x+1)2=(1-2
4、x)2,直接开方得:x+1=1-2x或x+1=-(1-2x),解得x1=2,x2=0.(2)x2-6x+8=0;(2)x2-6x+8=0,因式分解得:(x-2)(x-4)=0,可得x-2=0或x-4=0,解得x1=2,x2=4.(4)-2x2+2x+1=0;(5)x2-(2a-b)x+a2-ab=0.(5)x2-(2a-b)x+a2-ab=0,因式分解得:(x-a)(x-a+b)=0,可得x-a=0或x-a+b=0,解得x1=a,x2=a-b.【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n0)的一元二
5、次方程可用直接开平方法;如果一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法.考向精练D1.2020营口一元二次方程x2-5x+6=0的解为()A.x1=2,x2=-3B.x1=-2,x2=3C.x1=-2,x2=-3D.x1=2,x2=3答案四(2)将方程x2-2x-24=0变形,得x2-2x=24,x2-2x+1=24+1,(x-1)2=25,x-1=5,x=15,所以x=-4或x=6.考向二一元二次方程根的判别式(8年3考)例2 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(1)
6、方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?并求出根.(3)方程没有实数根?例2 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(2)方程有两个相等的实数根?并求出根.例2 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(3)方程没有实数根?【方法点析】应用一元二次方程根的判别式应注意,根据一元二次方程有实数根的情况列出方程或不等式,解方程或不等式求出字母的值或取值范围.若二次项系数中含有字母,则要加上二次项系数不为零这个限制条件;若未指明方程类型,则需分情况讨论.考向精练5.2020黔西南州已知关于x的一元二次方程(
7、m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()A.m2B.m2C.m2且m1D.m2且m1答案 D6.2019河北15题小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根答案A解析由题意,得x=-1是方程x2+4x+c-2=0的根,(-1)2+4(-1)+c-2=0,解得c=5.原方程为x2+4x+5=0.=b2-4ac=42-415=-4a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0的
8、根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为0B考向三一元二次方程的应用例32020湘西州某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然暴发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.(1)求口罩日产量的月平均增长率;(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?解:(1)设口罩日产量的月平均增长率为x,根据题意,得20000(1+x)2=24200,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:口罩日产量的月平均增长率为10%.例32020湘西州某口罩
9、生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然暴发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?(2)24200(1+0.1)=26620(个).答:预计4月份平均日产量为26620个.考向精练8.2020河池某年级举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共要比赛36场,则参加此次比赛的球队数是()A.6 B.7 C.8 D.9答案 D9.2020山西如图7-1是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm.答案 2图7-1
