1、代数式及其求值整式的运算整式的相关概念整式的加减（实质：合并同类项）常见几何体的三视图三视图还原几何体因式分解定义基本方法步骤代数式与整式定义列代数式代数式求值【课标要求】【课标要求】借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；具体的值进行计算；了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整数
2、指数幂的意义和基本性质；理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘式与二次式相乘)；能推导乘法公式：能推导乘法公式：(ab)(ab)a2b2，(ab)2a22abb2，了解公式的几，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算；何背景，并能利用公式进行简单计算；能用提公因式法、公式法能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次直接利用公式不超过二
3、次)进行因式分解进行因式分解(指数是正整指数是正整数数)【对接教材】冀教：七上第三、四章【对接教材】冀教：七上第三、四章P95P144，七下第八章七下第八章P68P92、第十一章、第十一章P41P156；人教：七上第二章人教：七上第二章P53P75，八上第十四章，八上第十四章P94P125；北师：七上第三章北师：七上第三章P77P104，七下第一章，七下第一章P1P36，八下第四章八下第四章P91P106.定义定义用运算符号连接数和字母组成的式子单独一个数或一个表示数的字母用运算符号连接数和字母组成的式子单独一个数或一个表示数的字母是代数式是代数式列代列代数式数式把问题中与数量有关的词语，用含
4、有数、字母和运算符号的式子表示出把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，如：来，如：1.比比a的的n倍多倍多m为为_；2.原价原价a的八折为的八折为_；原价；原价a提高提高x%后再打七五折为后再打七五折为_；3.x个单价为个单价为a元的商品与元的商品与y个单价为个单价为b元的商品总价为元的商品总价为_元；元；考点考点1代数式及其求值代数式及其求值an m 80%a 75%1%ax axby 列代列代数式数式4.每天完成的工作量为每天完成的工作量为a(a0)，则要完成工作量，则要完成工作量m所需所需的天数的天数_；5.小明父亲拟用不锈钢制造一个上面是一个长方形，小明父亲
5、拟用不锈钢制造一个上面是一个长方形，下面是一个正方形的窗户，相关数据下面是一个正方形的窗户，相关数据(单位：米单位：米)如图如图所示，则制造这个窗户所需不锈钢的总长是所示，则制造这个窗户所需不锈钢的总长是_米米代数式代数式求值求值1.直接代入法；直接代入法；2.整体代入法：利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式或降次等整体代入法：利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式或降次等方法对所求代数式、已知等式进行恒等变形，使所求代数式变形成含有方法对所求代数式、已知等式进行恒等变形，使所求代数式变形成含有已知整式或部分项的形式，若涉及相反数、倒数需转化为两数和的形式已知整式或部分项的形式，若涉及相
6、反数、倒数需转化为两数和的形式或积的形式，再整体代入求值或积的形式，再整体代入求值5a2bma单项式单项式用数或字母的积表示的式子单独的一个数或一个字母也是单项式用数或字母的积表示的式子单独的一个数或一个字母也是单项式(1)系数：单项式中的数字因数系数：单项式中的数字因数(2)次数：一个单项式中，所有字母指数的和次数：一个单项式中，所有字母指数的和多项式多项式几个单项式的和几个单项式的和(1)项：多项式中的每个单项式；不含字母的项叫做常数项；项：多项式中的每个单项式；不含字母的项叫做常数项；(2)次数：多项式中次数最高项的次数次数：多项式中次数最高项的次数整式整式单项式与多项式统称为整式单项式
7、与多项式统称为整式考点考点2整式的运算整式的运算1.整式的相关概念整式的相关概念同类项同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同如所含字母相同，并且相同字母的指数也相同如3a与与a是同类项是同类项合并同合并同类项法类项法则则把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变如：把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变如：去括号去括号法则法则a(bc)abc，即括号前为，即括号前为“”时，去括号后，括号内各项时，去括号后，括号内各项_；a(bc)a_b_c，即括号前是，即括号前是“”时，去括号后，时，去括号后，括号内每一项括号内每一项_2.整式的加减整式的加减(实质：合并同类项实质：合并同类项)不变
8、号不变号+均变号均变号5同底数幂的乘法同底数幂的乘法底数不变，指数底数不变，指数_，即，即aman_同底数幂的除法同底数幂的除法底数不变，指数底数不变，指数_，即，即aman_(a0)幂的乘方幂的乘方底数不变，指数底数不变，指数_，即，即(am)n_积的乘方积的乘方各因式乘方的积，即各因式乘方的积，即(ambn)p(am)p(bn)p_【提分要点提分要点】遇到积的乘方时，需要注意：遇到积的乘方时，需要注意：(1)当括号内有当括号内有“”号时，号时，；(2)当含有系数时，一定也要给系数进行乘方运算当含有系数时，一定也要给系数进行乘方运算3.幂的运算幂的运算相加相加相减相减相乘相乘m na m n
9、a m nampnpa b单项式乘单项式乘单项式单项式把系数、同底数幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在一个单项把系数、同底数幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式单项式乘多项式乘多项式用单项式分别去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加用单项式分别去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加多项式多项式乘多项式乘多项式先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加的积相加4.整式的乘除整式的乘除乘法乘法公式公式单项式单项
10、式乘多项乘多项式式平方差公式：平方差公式：(ab)(ab)_几何背景：几何背景：完全平方公式：完全平方公式：(ab)2_几何背景：几何背景：a2b2 a22abb2单项式单项式除以单除以单项式项式把把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的把把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，字母，则连同它的指数作为商的一个因式则连同它的指数作为商的一个因式多项式多项式除以单除以单项式项式先用多项式的每一项分别除以这个单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加再把所得的商相加【提分要点】整式运算的一般步骤：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级
11、运【提分要点】整式运算的一般步骤：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序计算算按照从左到右的顺序计算定义定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式把一个多项式化成几个整式的乘积的形式基本基本方法方法1.提公因式法提公因式法如如mambmc_考点考点3因式分解因式分解m(abc)公因公因式的式的确定确定系数：取各项系数的最大公约数系数：取各项系数的最大公约数；字母：取各项相同的字母；字母：取各项相同的字母；指数：取各项相同字母的最低次数指数：取各项相同字母的最低次数.基本基本方法方法2.公式法公式法(1)a2b2 =_；(2)a22abb2 =_(ab)(ab)(ab)2步骤步
12、骤1.一提：有公因式的先提公因式一提：有公因式的先提公因式2.二套：提取公因式后，用公式法：二套：提取公因式后，用公式法：(1)当多项式为两项时，考虑用当多项式为两项时，考虑用_公式；公式；(2)当多项式为三项时，考虑用当多项式为三项时，考虑用_公式公式3.三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，且最后结果是积的形式分解为止，且最后结果是积的形式【提分要点】因式分解与乘法运算为互逆变形因式分解时结果为积的形式，乘【提分要点】因式分解与乘法运算为互逆变形因式分解时结果为积的形式，乘法运算时结果一般为和差形式
13、法运算时结果一般为和差形式(有时为单项式有时为单项式)1.因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止；因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止；2.有数字因式时，不要忘有数字因式时，不要忘记提取；记提取；3.结果必须是乘积的形式结果必须是乘积的形式平方差平方差完全平方完全平方用图形面积验证乘法公式用图形面积验证乘法公式我们知道，若用两种方法计算同一个图形的面积，或计算同一个图形剪拼前后的两我们知道，若用两种方法计算同一个图形的面积，或计算同一个图形剪拼前后的两种面积，则两个计算结果相等若用两种方法计算下列三个图形的阴影部分的面积，种面积，则两个计算结果相等若用两种方法计算下列三个图形的阴
14、影部分的面积，则可以得到下面三种等式：则可以得到下面三种等式：.(ab)(ab)a2b2；.(ab)2a22abb2；.(ab)2a22abb2，但等式的顺序与图形的顺序不完全一致，但等式的顺序与图形的顺序不完全一致，则正确的配对是则正确的配对是()题图A.，B.，C.，D.，C回 归 教 材回 归 教 材整式的有关概念及运算整式的有关概念及运算例例仔细观察下列各式，请回答以下问题仔细观察下列各式，请回答以下问题.2；2x；2x2y2；xmyn；x22x1(1)其中单项式有其中单项式有_，多项式有，多项式有_；(填序号填序号)(2)2x2y2的系数是的系数是_，次数是，次数是_；(3)x22x
15、1是是_次次_项式；项式；24二二三三15(4)下列对于下列对于2x的解释不正确的是的解释不正确的是_；A.若葡萄的价格是若葡萄的价格是2元元/千克，则千克，则2x表示买表示买x千克葡萄的金额千克葡萄的金额B.2x表示表示2个个x相乘相乘 C.若若x表示一个圆的半径，则表示一个圆的半径，则2x表示这个圆的直径表示这个圆的直径D.将一个小木块放在水平桌面上，若将一个小木块放在水平桌面上，若2表示小木块与桌面的接触面积，表示小木块与桌面的接触面积，x表示桌面表示桌面受到的压强，则受到的压强，则2x表示小木块对桌面的压力表示小木块对桌面的压力E.若若2和和x分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，
16、则分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则2x表示这个两位数表示这个两位数(5)若若2x2y2与与 xmyn是同类项，则是同类项，则m_，n_；(6)计算：计算：2x(2x)_；2x2y22x_；2x(x22x1)_；(7)若若x1，y2，则，则2x2y2_；BE224xxy22x34x22x815(8)下列图形的面积能够用下列图形的面积能够用x22x1表示的是表示的是_.练习练习1(2020广东省卷广东省卷)已知已知x5y，xy2，计算，计算3x3y4xy的值为的值为_练习练习2(2020潍坊潍坊)若若|a2|0，则，则ab_.A753b 练习练习3(2020唐山路北区一模唐山路北区一模
17、)A、B、C、D四个车站的位置如图所示四个车站的位置如图所示(1)A、D两站的距离为两站的距离为_；(2)C、D两站的距离为两站的距离为_；(3)若若a3，C为为AD的中点，求的中点，求b的值的值练习3题图4a3ba3b(3)C为为AD的中点，的中点，ab2aba3b，即即b a，a3，b2.23命题点命题点1列代数式列代数式(10年年4考考)1.(2018河北河北12题题2分分)用一根长为用一根长为a(单位：单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形的铁丝，首尾相接围成一个正方形.要将它按图中的方式向外等距扩要将它按图中的方式向外等距扩1(单位：单位：cm)，得到新的正方形，则这根铁丝需增，
18、得到新的正方形，则这根铁丝需增加加()A.4 cm B.8 cmC.(a4)cm D.(a8)cmB第1题图命题点命题点2代数式求值代数式求值(10年年6考考)2.(2018河北河北18题题3分分)若若a，b互为相反数，则互为相反数，则a2b2_3.(2016河北河北18题题3分分)若若mnm3，则，则2mn3m5nm10_01命题点命题点3整式的运算整式的运算(10年年19考，其中考，其中12次单独考查次单独考查)4.(2020河北河北2题题3分分)墨迹覆盖了等式墨迹覆盖了等式“x3 xx2(x0)”中的运算符号，则覆盖的中的运算符号，则覆盖的是是()A.B.C.D.D5.(2016河北河北
19、2题题3分分)计算正确的是计算正确的是()A.(5)00 B.x2x3x5C.(ab2)3a2b5 D.2a2a12a6.(2015河北河北4题题3分分)下列计算中，正确的是下列计算中，正确的是()A.()1 B.61076000000C.(2a)22a2 D.a3a2a57.(2018河北河北4题题3分分)将将9.52变形正确的是变形正确的是()A.9.52920.52 B.9.52(100.5)(100.5)C.9.521022100.50.52 D.9.529290.50.52DDC12128.(2020河北河北9题题3分分)若若 81012，则，则k()A.12B.10C.8D.69.
20、(2017河北河北4题题3分分)=()A.B.C.D.10.(2020河北河北11题题2分分)若若k为正整数，则为正整数，则 ()A.k2k B.k2k1C.2kk D.k2kBBA22(91)(111)k 23nm23mn32mn23mn11.(2019河北河北6题题3分分)小明总结了以下结论：小明总结了以下结论：a(bc)abac；a(bc)abac；(bc)abaca(a0)；a(bc)abac(a0)其中一定成立的个数是其中一定成立的个数是()A.1 B.2 C.3 D.412.(2018河北河北13题题2分分)若若2n2n2n2n2，则，则n()A.1 B.2 C.0 D.CA141
21、3.(2019河北河北17题题3分分)若若7271707p，则，则p的值为的值为_14.(2015河北河北21题题10分分)老师在黑板上书写了一个正确的演算老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：(1)求所捂的二次三项式；求所捂的二次三项式；(2)若若x 1，求所捂二次三项式的值，求所捂二次三项式的值-36解：解：(1)设所捂的二次三项式为设所捂的二次三项式为A，则则Ax25x13x(2分分)x22x1；(4分分)(2)x22x1(x1)2，(6分分)当当x 1时，原式时，原式()26.(10分分)6615
22、.(2017河北河北22题题9分分)发现任意五个连续整数的平方和是发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数验证的倍数验证(1)(1)202122232的结果是的结果是5的几倍？的几倍？解：验证：解：验证：(1)(1)2 02122232101491553，结果是结果是5的的3倍；倍；(3分分)(2)设五个连续整数的中间一个为设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是，写出它们的平方和，并说明是5的倍数；的倍数；延伸任意三个连续整数的平方和被延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由除的余数是几呢？请写出理由(2)(n2)2(n1)2n2(n1)2(n2)2，(5分分
23、)化简得化简得5n2105(n22)，n为整数，为整数，这五个连续整数的平方和是这五个连续整数的平方和是5的倍数；的倍数；(7分分)延伸：余数是延伸：余数是2.(8分分)理由：设中间的整数为理由：设中间的整数为n，则，则(n1)2n2(n1)23n2 2，任意三个连续整数的平方和被任意三个连续整数的平方和被3除余除余2.(9分分)16.(2020河北河北21题题8分分)有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上区就会自动加上a2，同时同时B区就会自动减去区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果已知，且均显示化简后的结果已知A，B两区初始显示的分两区初始
24、显示的分别是别是25和和16，如图，如图如：第一次按键后，如：第一次按键后，A，B两区分别显示：两区分别显示：(1)从初始状态按从初始状态按2次后，分别求次后，分别求A，B两区显示的结果；两区显示的结果；第16题图解：解：(1)依题意得从初始状态按依题意得从初始状态按2次后次后，A区显示的结果为区显示的结果为(25a2)a2252a2，B区显示的结果为区显示的结果为(163a)3a166a；(4分分)(2)从初始状态按从初始状态按4次后，计算次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由说明理由第16题图(2)从初始状态按从初始状态按4
25、次后，次后，A区显示的结果为区显示的结果为254a2，B区显示的结果为区显示的结果为1612a，A、B两区代数式的和为两区代数式的和为254a2(1612a)254a21612a4a212a9.(6分分)4a212a9(2a)22(2a)332(2a3)20.(7分分)A、B两区代数式的和不能为负数两区代数式的和不能为负数(8分分)17.(2018河北河北20题题8分分)嘉淇准备完成题目：嘉淇准备完成题目：发现系数发现系数“”印刷不清楚印刷不清楚(1)他把他把“”猜成猜成3，请你化简：，请你化简：(3x26x8)(6x5x22)；解：解：(1)原式原式3x26x86x5x22(2分分)3x25
26、x26x6x82(4分分)2x26；(6分分)(2)他妈妈说：他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数”通过计算说明通过计算说明原题中原题中“”是几？是几？(2)设系数为设系数为a，则原式则原式ax26x86x5x22(a5)x26，结果是常数，结果是常数，x2的系数为的系数为0，(7分分)a5.(8分分)18.(2019河北河北21题题9分分)已知：整式已知：整式A(n21)2(2n)2，整式，整式B0.尝试化简整式尝试化简整式A；发现发现AB2.求整式求整式B；联想由上可知，联想由上可知，B2(n21)2(2n)2，当，当n1时，时，n2
27、1，2n，B为直角三角形的为直角三角形的三边长，如图，填写下表中三边长，如图，填写下表中B的值：的值：直角三角形三边直角三角形三边n212nB勾股数组勾股数组 8 勾股数组勾股数组35 第18题图解：尝试解：尝试A(n21)2(2n)2n42n214n2n42n21(n21)2；(3分分)发现发现AB2，B2(n21)2，B(n21)，B0，Bn21；(5分分)联想联想直角三角直角三角形三边形三边n212nB勾股数组勾股数组 817勾股数组勾股数组35 37(9分分)命题点命题点4因式分解因式分解(10年年4考考)19.(2020河北河北3题题3分分)对于对于x3xyx(13y)，(x3)(x
28、1)x22x3，从左，从左到右的变形，表述正确的是到右的变形，表述正确的是()A.都是因式分解都是因式分解B.都是乘法运算都是乘法运算C.是因式分解，是乘法运算是因式分解，是乘法运算D.是乘法运算，是因式分解是乘法运算，是因式分解C中考试题中的数学文化中考试题中的数学文化杨辉三角杨辉三角(2020贺州贺州)我国宋代数学家杨辉发现了我国宋代数学家杨辉发现了(ab)n(n0,1,2,3)展开式系数的规律：展开式系数的规律：(ab)01展开式系数和为展开式系数和为1(ab)1ab展开式系数和为展开式系数和为11(ab)2a22abb2展开式系数和为展开式系数和为121(ab)3a33a2b3ab2b3展开式系数和为展开式系数和为1331(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4展开式系数和为展开式系数和为14641以上系数三角表称为以上系数三角表称为“杨辉三角杨辉三角”，根据上述规律，根据上述规律，(ab)8展开式的系数和是展开式的系数和是()A.64B.128C.256D.612 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1C
