1、00精讲本2021江西数学微专题四中点四大模型微专题四中点四大模型 倍长中线或类中线倍长中线或类中线(与中点有关的线段与中点有关的线段)构造全等三角形构造全等三角形 【模型分析模型分析】如图如图1 1，ADAD是是ABCABC的中线，延长的中线，延长ADAD至点至点E E使使DEDEADAD，易证：，易证：ADCADCEDB(SAS)EDB(SAS)如图如图2 2，D D是是BCBC中点，延长中点，延长FDFD至点至点E E使使DEDEFDFD，易证：，易证：FDBFDBEDC(SAS)EDC(SAS)当遇见中线或中点的时候，可以尝试用倍长中线或类中线，构造全等三当遇见中线或中点的时候，可以尝
2、试用倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移角形，目的是对已知条件中的线段进行转移例例1 1 如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB1212，ACAC2020，求，求BCBC边上中线边上中线ADAD的取值范围的取值范围【思路分析思路分析】利用倍长中线，构造全等三角形，根据三角形的三边关系分利用倍长中线，构造全等三角形，根据三角形的三边关系分析即可析即可【规范解答规范解答】解：如图，延长解：如图，延长ADAD到点到点E E，使，使ADADDEDE，连接，连接BE.BE.ADAD是是ABCABC的中线，的中线，BDBDCD.CD.在在ADCADC与与EDBEDB中，
3、中，ADCADCEDB(SAS)EDB(SAS)，EBEBACAC20.20.根据三角形的三边关系定理得根据三角形的三边关系定理得20201212AEAE20201212，4 4ADAD1616，故故ADAD的取值范围为的取值范围为4 4ADAD16.16.【模型分析模型分析】等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形角形“三线合一三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到腰三角形的时候，就应想到“边等、角等、三线合一边等、角等、三线合一”已
4、知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接利用已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接利用“三线合一三线合一”例例2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC5 5，BCBC6 6，M M为为BCBC的中点，的中点，MNACMNAC于点于点N N，求，求MNMN的长度的长度【思路分析思路分析】BMBMCMCM BCBC，在在RtRtABMABM中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得AMAM4 4，最后利用最后利用AMCAMC的面积求的面积求MNMN的值的值21【规范解答规范解答】解：如图，连接解：如图，连接AM.AM.ABABACAC5 5，BCBC6 6，点，点M M为为BCB
5、C中点，中点，AMBCAMBC，BMBMCMCM BCBC3.3.ABAB5 5，AMAMMNACMNAC，S SAMCAMC MCMCAMAM ACACMNMN，即即 3 34 4 5 5MN.MNMN.MN .2121212121512【模型分析模型分析】在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：角形中位线的性质定理：DEBCDEBC，且，且DEDE BCBC来解题中位线定理中既有来解题中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以
6、解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题倍半、相等及平行问题已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 21例例3 3 如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABABCDCD，E E，F F分别是分别是BCBC，ADAD的中点，连接的中点，连接EFEF并延长，分别与并延长，分别与BABA，CDCD的延长线交于点的延长线交于点M M，N.N.求证：求证：BMEBMECNE.CNE.【思路分析思路分析】连接连接BDBD，取，取BDBD的中点的中点H H，连接，连接HEHE，HF.HF.根据三角形的中位线的根据三角形的中位线的性质得到性质得到FHBM
7、FHBM，FHFH ABAB，EHCNEHCN，EHEH CD.CD.根据平行线的性质得到根据平行线的性质得到BMEBMEHFEHFE，CNECNEHEFHEF，根据等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到HFEHFEHEFHEF，等量代换即可得到结论，等量代换即可得到结论2121【规范解答规范解答】解：如图，连接解：如图，连接BDBD，取，取BDBD的中点的中点H H，连接，连接HEHE，HF.HF.EE，F F分别是分别是BCBC，ADAD的中点，的中点，FHFH ABAB，FHABFHAB，HEHE DCDC，HENC.HENC.又又ABABCDCD，HEHEHFHF，HFEHFE
8、HEF.HEF.FHMBFHMB，HENCHENC，BMEBMEHFEHFE，CNECNEFEH.BMEFEH.BMECNE.CNE.2121【模型分析模型分析】在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CDCD ABAB来证明线来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：ACDACD和和BCDBCD，该模型，该模型经常会与中位线定理一起综合应用经常会与中位线定理一起综合应用已知直角三角
9、形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 21例例4 4 如图，在如图，在ABCABC中，中，BEBE，CFCF分别为分别为ACAC，ABAB上的高，上的高，D D为为BCBC的中点，的中点，DMDM EF EF于点于点M M，求证：，求证：FMFMEM.EM.【思路分析思路分析】连接连接DEDE，DFDF，由直角三角形的性质得出，由直角三角形的性质得出DFDFDEDE，再由，再由DMEFDMEF即可得出结论即可得出结论【规范解答规范解答】如图，连接如图，连接DEDE，DF.BEDF.BE，CFCF分别为边分别为边ACAC，ABAB上的高，上的高，D D为为BCBC的中点，的中点，DFDF BCBC，DEDE BCBC，DFDFDEDE，即，即DEFDEF是等腰三角形是等腰三角形又又DMEFDMEF，点点M M是是EFEF的中点，即的中点，即FMFMEM.EM.2121
