1、2.4 二次函数的应用二次函数的应用 第二章 二次函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 图形面积的最大值 北师大版九年级下册数学教学课件 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. （重点） 导入新课导入新课 复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4. 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，-9）； （2）开口方向：向下；对称轴：x= ； 顶点坐标：（ ， ）； 3 -
2、 2 3 - 2 25 4 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小 （大） 值 2 b x a 2 4 4 acb y a 想一想：如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最 小（大）值？ 讲授新课讲授新课 求二次函数的最大(或最小)值 一 典例精析 例1 写出下列抛物线的最值. （1）y=x2-4x-5; 解：(1)a=10，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）, 当x=2时，y取最小值，最小值为-9; (2)y=-x2-3x+4. (2)a=-10，对称轴为x= ,顶点坐标为（
3、， ）, 当x= 时，y取最大值，最大值为 ; 3 - 2 25 4 3 - 2 3 - 2 25 4 例2 已知二次函数yax24xa1的最小值为2，则 a的值为( ) A3 B1 C4 D4或1 解析：二次函数yax24xa1有最小值2， a0，y最小值 2， 整理，得a23a40，解得a1或4. a0，a4.故选C. 2 4 4 acb a 2 4 (1)4 4 a a a C 引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单 位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式 是 h= 30t - 5t 2 （0t6）小球的运动时间是多少时， 小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
4、 几何图形面积的最大面积 二 t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 可以看出，这个函数的图象是 一条抛物线的一部分，这条抛物 线的顶点是这个函数的图象的最 高点.也就是说，当t取顶点的横 坐标时，这个函数有最大值. 小球运动的时间是 3s 时，小球最高. 小球运动中的最大高度是 45 m 30 3 225 b t a （） ， 22 430 45 445 acb h a （） t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少
5、时，场地的 面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 典例精析 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 解:根据题意得 S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0l30). 因此，当 时， S有最大值 30 15 22 ( 1) b l a 22 430 225 44( 1) acb a 也就是说，当l是1 15m时，场地的面积S最大. 5 5 1010 15 15 2020 25 25 30 30 100100 200200 l s O 变式1
6、 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？ x x 60-2x 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么 作用？ 问题5 如何求最值？ 最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2. 问题1 变式1与例1有什么不同？ Sx(602x)2x260x. 0602x32，即14x30. 设垂直于墙的边长为x m， 变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多
7、少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？ 问题1 变式2与变式1有什么异同？ 问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？ 设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x m ，则 2 601 30 22 x Sxxx 问题5 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 问题6 如何求最值？ 由于30 30 1818，因此只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378. 不正确. 问题4 如何求自变量的取值范围？ 0 0 x 18.18. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取 图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变
8、式1与 变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、 端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点 处才有符合实际的最值. 方法总结 知识要点 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值 必须在自变量的取值范围内. 例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半 圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所 有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的 光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是 多少？(结果精确到0.01m2) 典例精析 x
9、 x y 解：7x+4y+x=15, 157 . 4 xx y 157 015015 4 xx x ，且 ， 0x1.48. 设窗户的面积是S m2, 则 2 1 2 2 Sxxy 2 1157 2 24 xx xx 2 715 - 22 xx 2 715225 -(). 21456 x 15225 1.07S4.02. 1456 x 最大 当时， 因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为4.02 m2. 利用二次函数解决拱桥问题 二 例3 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现 知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通 过，需要把水面下降1
10、 m,问此时水面宽度增加多少? x y O -3 (-2,-2) (2,-2) 4米 当 时， 所以，水面下降1m，水面的宽度 为 m. 3y 6.x 2 6 2 64所以水面的宽度增加了 m. 解：建立如图所示坐标系, 2. yax 由抛物线经过点（2，-2），可得 2 1 . 2 yx 所以，这条抛物线的解析式为 3.y 当水面下降1m时，水面的纵坐标为 -3 x y O (-2,-2) (2,-2) 1 , 2 a 设二次函数解析式为 x y x y 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已 知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需 要把水面下降 1
11、 m,问此时水面宽度增加多少? 4 m 4 m 请同学们分别求出对应的函数解析式. O O 解：设y=ax2+2，将（-2,0）代入得a= y= +2； 1 2 2 1 2 x 设y=a（x-2）2+2，将（0,0）代入得a= y= +2； 1 2 2 1 (2) 2 x 知识要点 解决拱桥问题的一般步骤 (1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关 的计算. 1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗 框,那么最大的透光面积是 . 2 8 m 3
12、当堂练习当堂练习 图1 2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的 平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水 面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为 （ ） 2 25 1 xy A.-10m B. m C. m D. m 2525210 D 3.如图1，在ABC中， B=90 ,AB=12cm,BC=24cm, 动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点 B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动 （不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那 么经过 s，四边形APQC的面积最小. 3 A B C P Q 图1 4. 某广告公司设计一幅周长为1
13、2m的矩形广告牌，广告 设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积 为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)因为矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0x6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大， 为9m2. 这时设计费最多，为91000=9000（元） (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出 这个费用. 5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一 个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处
14、 的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落 下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处 达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的 半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？ O A 1.25米 O B C A 解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点. 由题意可知A（ 0，1.25）、 B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. x y 设抛物线为y=a(x1)2+2.25 (a0), 把点A坐标代入，得a= 1； 当y= 0时， x= 0.5（舍去）， x=2.5 水池的半径至少要2.5米. 抛物线为y=-(x-1)2+
15、2.25. 1.25 6.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如 图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成， 矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的 表达式 解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 . 点B（6，5.6）在抛物线的图象上， 5.6=36a， 抛物线的表达式为 7 45 a. 2 7 45 yx . （2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗 户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻 窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所 在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m请计算最 多可安装几扇这样的窗户？
16、 （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标 为（k，t），已知窗户高1.6m， t=5.6（1.6）=4 ，解得k= ， 即k15.07，k25.07 CD=5.07210.14（m） 设最多可安装n扇窗户， 1.5n+0.8（n1）+0.8210.14，解得n4.06 则最大的正整数为4 答：最多可安装4扇窗户. 2 7 4 45 k 6 35 7 7悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地 看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥 面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)
17、若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建 立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表 达式； y x O -450 450 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）， 对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得 81.5=a4502+0.5. 解得 故所求表达式为 (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建 立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表 达式； y x O -450 450 2 811 4502500 a 2 1 0.5( 450450) 2500 yxx (2)计算距离桥两端主
18、塔分别为100m,50m处垂直钢索 的长. y x O -450 450 解：当x=450100=350（m）时，得 2 1 3500.549.5(m) 2500 y 当x=45050=400（m）时，得 2 1 4000.564.5(m) 2500 y 课堂小结课堂小结 几何面积 最值问题 一个关键 一个注意 建立函数 关系式 常见几何图形 的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要 利用函数的增减性来确定 （二次函数的图象和性质） 实际问题 数学模型 转化转化 回归回归 （实物中的抛物线形问题） 拱桥问题 转化的关键 建立恰当的 直角坐标系 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标； 选择运
19、算简便的方法. “部编本”语文教材解读 “部编本”语文教材的编写背景。 （一）教材要体现国家意识、主流意识形态、党的认同，体现立德树人从娃娃抓起。 （二）体现核心素养，中国学生发展核心素养包括社会责任，国家认同、国际理解、人文底蕴、科学精神、审美情趣、学会学习、身心健康、实践创新。 （三）语文、道德与法制、历史三个学科教材统编是大趋势。 （四）“一标多本”教材质量参差不齐，“部编本”力图起到示范作用。 二、“部编本”教材的编写理念： （一）体现核心价值观，做到“整体规划，有机渗透”。 （二）接地气，满足一线需要，对教学弊病起纠偏作用。提倡全民阅读，注重两个延伸：往课外阅读延伸，往语文生活延伸。
20、 （三）加强了教材编写的科学性，编研结合。 （四）贴近当代学生生活，体现时代性。 “部编本”语文教材的七个创新点： （一）选文创新：课文总数减少，减少汉语拼音的难度。 （二）单元结构创新更加灵活的单元结构体制，综合性更强。 （三）重视语文核心素养，重建语文知识体系。 （四）三位一体，区分不同课型。“教读”、“自读”和“课外阅读”三位一体，整体提高学生的语文素养。 （五）把课外阅读纳入教材体制。 （六）识字写字教学更加讲究科学性。 （七）提高写作教学的效果。 新教材注重了六个意识。 、国家意识。 、目标意识。 、文体意识，非常突出文学素养的培养。 、读书意识。 、主体意识。 、科研意识。 小结：好教，但教好不易。
