1、1 11 1 锐角三角函数锐角三角函数 第第 1 1 课时课时 正切与坡度正切与坡度 1 理解正切的意义， 并能举例说明； (重 点) 2能够根据正切的概念进行简单的计 算；(重点) 3能运用正切、坡度解决问题(难点) 一、情境导入 观察与思考： 某体育馆为了方便不同需求的观众， 设 计了不同坡度的台阶 问题 1：图中的台阶哪个更陡？你是 怎么判断的？ 问题 2：如何描述图中台阶的倾斜程 度？除了用A 的大小来描述，还可以用什 么方法？ 方法一：通过测量 BC 与 AC 的长度算 出它们的比，来说明台阶的倾斜程度； 方法二： 在台阶斜坡上另找一点 B1， 测 出 B1C1与 AC1的长度，算出
2、它们的比，也 能说明台阶的倾斜程度 你觉得上面的方法正确吗？ 二、合作探究 探究点一：正切 【类型一】 根据正切的概念求正切值 分别求出图中A、B 的正切值 (其中C90) 由上面的例子可以得出结论： 直角三角 形的两个锐角的正切值互为_ 解析：根据勾股定理求出需要的边长， 然后利用正切的定义解答即可 解：如图，tanA16 12 4 3，tanB 12 16 3 4； 如图， BC 73 255248， tan A48 55，tanB 55 48. 因而直角三角形的两个锐角的正切值 互为倒数 方法总结：求锐角的三角函数值的方 法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐 角三角函数的定义求出对应三
3、角函数值即 可 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升” 第 1 题 【类型二】 在网格中求正切值 已知：如图，在由边长为 1 的小 正方形组成的网格中，点 A、B、C、D、E 都在小正方形的顶点上， 求 tanADC 的值 解析：先证明ACDBCE，再根据 tanADCtanBEC 即可求解 解： 根据题意可得 ACBC 1222 5， CDCE 1232 10， ADBE5， ACD BCE(SSS) ADC BEC.tanADCtanBEC1 3. 方法总结： 三角函数值的大小是由角度 的大小确定的， 因此可以把求一个角的三角 函数值的问题转化为另一个与其相等的角 的三角函数
4、值 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升” 第 3 题 【类型三】 构造直角三角形求三角函 数值 如图， 在RtABC中， C90， BCAC，D 为 AC 的中点，求 tanABD 的 值 解析：设 ACBC2a，根据勾股定理 可求得 AB2 2a，再根据等腰直角三角形 的性质，可得 DE 与 AE 的长，根据线段的 和差，可得 BE 的长，根据正切三角函数的 定义，可得答案 解：如图，过 D 作 DEAB 于 E.设 AC BC2a， 根据勾股定理得 AB2 2a.由 D 为 AC 中点，得 ADa.由AABC 45，又 DEAB，得ADE 是等腰直角三 角形，DEAE 2a
5、 2 .BEABAE 3 2a 2 ，tanABDDE BE 1 3. 方法总结： 求三角函数值必须在直角三 角形中解答， 当所求的角不在直角三角形内 时，可作辅助线构造直角三角形进行解答 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 7 题 探究点二：坡度 【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的 坡度(坡比) 堤的横断面如图堤高 BC 是 5 米，迎水斜坡 AB 的长是 13 米，那么斜坡 AB 的坡度是( ) A13 B12.6 C12.4 D12 解析：由勾股定理得 AC12 米则斜 坡 AB 的坡度BCAC51212.4.故 选 C. 方法总结： 坡度是坡面的铅直高度 h 和 水
6、平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比 值， 反映了斜坡的陡峭程度， 一般用 i 表示， 常写成 i1m 的形式 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 9 题 【类型二】 利用坡度解决实际问题 已知一水坝的横断面是梯形 ABCD，下底 BC 长 14m，斜坡 AB 的坡度为 3 3，另一腰 CD 与下底的夹角为 45， 且长为 4 6m，求它的上底的长(精确到 0.1m，参考数据： 21.414， 31.732) 解析：过点 A 作 AEBC 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F，根据已知条件求出 AE DF 的值，再根据坡度求出 BE，最后根据 EFBCBEFC 求出
7、AD. 解：过点 A 作 AEBC，过点 D 作 DFBC，垂足分别为 E、F.CD 与 BC 的 夹角为 45，DCF45，CDF 45.CD4 6m，DFCF4 6 2 4 3(m)， AEDF4 3m.斜坡 AB 的坡 度为 3 3，tanABEAE BE 3 3 3， BE4m.BC14m，EFBCBE CF1444 3104 3(m)AD EF，AD104 33.1(m) 所以，它的上底的长约为 3.1m. 方法总结： 考查对坡度的理解及梯形的 性质的掌握情况 解决问题的关键是添加辅 助线构造直角三角形 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 正切与坡度 1正切的概念 在 直 角 三 角 形ABC 中 ， tanA A的对边 A的邻边. 2坡度的概念 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的 比，也就是坡角的正切值 在教学中， 要注重对学生进行数学学习方法 的指导在数学学习中，有一些学生往往不 注重基本概念、基础知识，认为只要会做题 就可以了，结果往往失分于选择题、填空题 等一些概念性较强的题目 通过引导学生进 行知识梳理，教会学生如何进行知识的归 纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握基本 概念、基础知识
