1、3.8 圆内接正多边形圆内接正多边形 1了解圆内接正多边形的有关概念； (重点) 2理解并掌握圆内接正多边形的半径 和边长、边心距、中心角之间的关系；(重 点) 3掌握圆内接正多边形的画法(难点) 一、情境导入 这些美丽的图案， 都是在日常生活中我 们经常能看到的 你能从这些图案中找出正 多边形来吗？ 二、合作探究 探究点：圆内接正多边形 【类型一】 圆内接正多边形的相关计 算 已知正六边形的边心距为 3，求 正六边形的内角、外角、中心角、半径、边 长、周长和面积 解析：根据题意画出图形，可得OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求 得 OB 的长，继而求得正六边形的周长和面 积 解：如
2、图，连接 OB，OC，过点 O 作 OHBC 于 H，六边形 ABCDEF 是正六 边形，BOC1 636060 ，中心 角是 60.OBOC，OBC 是等边三 角形，BCOBOC.OH 3，sin OBCOH OB 3 2 ，OBBC2.内角为 180（62） 6 120，外角为 60， 周长为 2612，S正六边形ABCDEF6SOBC 61 22 36 3. 方法总结： 圆内接正六边形是一个比较 特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于 它的计算要熟练掌握 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 11 题 【类型二】 圆内接正多边形的画法 如图， 已知半径为 R 的O， 用
3、多 种工具、多种方法作出圆内接正三角形 解析：度量法：用量角器量出圆心角是 120 度的角；尺规作图法：先将圆六等分， 然后再每两份合并成一份，将圆三等分 解：方法一：(1)用量角器画圆心角 AOB120，BOC120； (2)连接 AB，BC，CA，则ABC 为圆 内接正三角形 方法二：(1)用量角器画圆心角BOC 120； (2)在O 上用圆规截取AC AB ； (3)连接 AC，BC，AB，则ABC 为圆 内接正三角形 方法三：(1)作直径 AD； (2)以 D 为圆心，以 OA 长为半径画弧， 交O 于 B，C； (3)连接 AB，BC，CA，则ABC 为圆 内接正三角形 方法四：(1
4、)作直径 AE； (2)分别以 A，E 为圆心，OA 长为半径 画弧与O 分别交于点 D，F，B，C； (3)连接 AB，BC，CA(或连接 EF，ED， DF)，则ABC(或EFD)为圆内接正三角 形 方法总结：解决正多边形的作图问题， 通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺 规作图法； 其中度量法可以画出任意的多边 形， 而尺规作图只能作出一些特殊的正多边 形，如边数是 3、4 的整数倍的正多边形 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 5 题 【类型三】 正多边形外接圆与内切圆 的综合 如图，已知正三角形的边长为 2a. (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环 的面积； (
5、2)根据计算结果， 要求圆环的面积，只 需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面 积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正 方形”、“正六边形”你能得出怎样的结 论？ (4)已知正 n 边形的边长为 2a，请写出 它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积 解析：正多边形的边心距、半径、边长 的一半正好构成直角三角形， 根据勾股定理 就可以求解 解：(1)设正三角形 ABC 的中心为 O， BC 切O 于点 D，连接 OB、OD，则 ODBC，BDDCa.则 S圆环OB2 OD2OB2OD2BD2 a2； (2)只需测出弦 BC(或 AC，AB)的长； (3)结果一样，即 S圆环a2； (4)S圆环a2
6、. 方法总结：正多边形的计算，一般是过 中心作边的垂线， 连接半径， 把内切圆半径、 外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转 化为解直角三角形 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 4 题 【类型四】 圆内接正多边形的实际运 用 如图，有一个宝塔，它的地基 边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图 )，点 O 为中心(下列各题结果精确到 0.1m) (1)求地基的中心到边缘的距离； (2)已知塔的墙体宽为 1m，现要在塔的 底层中心建一圆形底座的塑像， 并且留出最 窄处为 1.6m 的观光通道，问塑像底座的半 径最大是多少？ 解析：(1)构造一个由正多边形的边心 距、半边
7、和半径组成的直角三角形根据正 五边形的性质得到半边所对的角是360 10 36， 再根据题意中的周长求得该正五边形 的半边是 26 102.6， 最后由该角的正切值 进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体 宽为 1m 和最窄处为 1.6m 的观光通道，进 行计算 解：(1)作 OMAB 于点 M，连接 OA、 OB， 则 OM 为边心距， AOB 是中心角 由 正五边形性质得AOB360572 ， AOM36.AB1 5265.2，AM 2.6.在 RtAMO 中， 边心距 OM AM tan36 2.6 tan363.6(m)所以，地基的中心到边 缘的距离约为 3.6m； (2)3.611.61(m) 所以，塑像底座的半径最大约为 1m. 方法总结： 解决问题关键是将实际问题 转化为数学问题来解答 熟悉正多边形各个 元素的算法 三、板书设计 圆内接正多边形 1正多边形的有关概念 2正多边形的画法 3正多边形的有关计算 本节课新概念较多， 对概念的教学要注意从 “形”的角度去认识和辨析， 但对概念的严 格定义不能要求过高在概念教学中，要重 视运用启发式教学， 让学生从“形”的特征 获得对几何概念的直观认识， 鼓励学生用自 己的语言表述有关概念， 再进一步准确理解 有关概念的文字表述，促进学生主动学 习 所以在教学的过程中应尽量使用多媒体 教学手段.
