1、*3.7 切线长定理切线长定理 1理解切线长的定义；(重点) 2掌握切线长定理并能运用切线长定 理解决问题(难点) 一、情境导入 如图，PA 为O 的一条切线，点 A 为切点如图所示，沿着直线 PO 将纸对 折，由于直线 PO 经过圆心 O，所以 PO 是 圆的一条对称轴，两半圆重合设与点 A 重 合的点为点 B，这里，OB 是O 的一条半 径，PB 是O 的一条切线图中 PA 与 PB、 APO 与BPO 有什么关系？ 二、合作探究 探究点：切线长定理 【类型一】 利用切线长定理求线段的 长 如图，从O 外一点 P 引圆的两 条切线 PA、PB，切点分别是点 A 和点 B， 如果APB60，
2、线段 PA10，那么弦 AB 的长是( ) A10 B12 C5 3 D10 3 解析：PA、PB 都是O 的切线， PAPB.APB60，PAB 是等边 三角形，ABPA10.故选 A. 方法总结： 切线长定理是在圆中判断线 段相等的主要依据，经常用到 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 4 题 【类型二】 利用切线长定理求角的度 数 如图，PA、PB 是O 的切线，切 点分别为 A、 B， 点 C 在O 上， 如果ACB 70，那么OPA 的度数是_度 解析：如图所示，连接 OA、OB.PA、 PB 是O 的切线，切点分别为 A、B，OA PA，OBPB，OAPOBP9
3、0. 又AOB2ACB140，APB 360PAOAOBOBP360 90 140 90 40 .易证POAPOB， OPA1 2APB20.故答案为 20. 方法总结：由公共点引出的两条切线， 可以运用切线长定理得到等腰三角形 另外 根据全等的判定，可得到 PO 平分APB. 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型三】 利用切线长定理求三角形 的周长 如图，PA、PB、DE 是O 的切 线，切点分别为 A、B、F，已知 PO13cm， O 的半径为 5cm，求PDE 的周长 解析：连接 OA，根据切线的性质定理， 得 OAPA.根据勾股定理， 得 PA12，
4、再根 据切线长定理即可求得PDE 的周长 解：连接 OA，则 OAPA.在 RtAPO 中，PO13cm，OA5cm，根据勾股定理， 得 AP12cm.PA、 PB、 DE 是O 的切线， PAPB，DADF，EFEB，PDE 的周长 PDDEPEPDDFFEPE PDDAEBPEPAPB2PA 24cm. 方法总结：从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连 线，平分两条切线的夹角 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 4 题 【类型四】 利用切线长定理解决圆外 切四边形的问题 如图，四边形 ABCD 的边与圆 O 分别相切于点 E、F、G、H，判断 A
5、B、BC、 CD、DA 之间有怎样的数量关系，并说明理 由 解析：直接利用切线长定理解答即可 解：ADBCCDAB，理由如下： 四边形 ABCD 的边与圆 O 分别相切于点 E、 F、G、H，DHDG，CGCF，BEBF， AEAH，AHDHCFBFDGGC AEBE，即 ADBCCDAB. 方法总结： 由切线长定理可以得到一些 相等的线段，一定要明确这些相等线段记 住“圆外切四边形的对边之和相等”， 对我 们以后解决问题有很大帮助 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 4 题 【类型五】 切线长定理与三角形内切 圆的综合 如图，在ABC 中，ABAC， O 是ABC 的内切
6、圆，它与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F. (1)求证：BECE； (2)若A90，ABAC2，求O 的半径 解析：(1)利用切线长定理得出 AD AF， BDBE， CECF， 进而得出 BDCF， 即可得出答案； (2)首先连接 OD、OE、OF，进而利用 切线的性质得出ODAOFAA 90，进而得出四边形 ODAF 是正方形，再 利用勾股定理求出O 的半径 (1)证明：O 是ABC 的内切圆， ADAF，BDBE，CECF.ABAC， ABADACAF，即 BDCF，BE CE； (2)解：连接 OD、OE、OF，O 是 ABC 的内切圆，切点为 D、E、F， ODAOFAA
7、90.又ODOF， 四边形 ODAF 是正方形设 ODAD AFr，则 BEBDCFCE2r.在 ABC 中，A90，BC AB2AC2 2 2.又BCBECE，(2r)(2r) 2 2，得 r2 2，O 的半径是 2 2 . 方法总结： 本题综合考查了正方形的判 定以及切线长定理和勾股定理等知识， 解决 问题的关键是得出四边形 ODAF 是正方形 【类型六】 利用切线长定理解决存在 性问题 如图，已知正方形 ABCD 的边 长为 2 3，点 M 是 AD 的中点，P 是线段 MD 上的一动点(P 不与 M，D 重合)，以 AB 为直径作O，过点 P 作O 的切线交 BC 于点 F，切点为 E
8、. (1)除正方形 ABCD 的四边和O 中的 半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添 加字母和辅助线)? (2)求四边形 CDPF 的周长； (3)延长 CD， FP 相交于点 G， 如图所 示是否存在点 P，使 BF FGCF OF？如 果存在，试求此时 AP 的长；如果不存在， 请说明理由 解析： (1)根据切线长定理得到FBFE， PEPA；(2)根据切线长定理，发现该四边 形的周长等于正方形的三边之和； (3)若要满 足结论，则BFOGFC，根据切线长定 理得BFOEFO，从而得到这三个角应 是 60， 然后结合已知的正方形的边长， 也 是圆的直径， 利用 30的直角三角形的知识 进
9、行计算 解：(1)FBFE，PEPA； (2)四边形 CDPF 的周长为 FCCD DPPEEFFCCDDPPABF BFFCCDDPPABCCDDA 2 336 3； (3) 假 设 存 在 点 P ， 使BF FG CF OF.BF OF CF FG.cosOFB BF OF，cos GFCCF FG，OFBGFC.OFB OFE，OFEOFBGFC 60，在 RtOFB 中，BF OB tanOFB OB tan601.在 RtGFC 中，CGCF tan GFCCF tan60(2 31) 36 3，DGCGCD63 3，DP DG tanPGDDG tan302 33， APADDP
10、2 3(2 33)3. 方法总结： 由于存在性问题的结论有两 种可能，所以具有开放的特征，在假设存在 性以后进行的推理或计算一般思路是：假 设存在推理论证得出结论 若能导 出合理的结果，就做出“存在”的判断，若 导出矛盾，就做出“不存在”的判断 三、板书设计 切线长定理 1切线长的概念 2切线长定理 3切线长定理的应用 在教学过程中，通过安排实践操作活动，使 学生提高了探究的兴趣 首先教师突出操作 要求，学生操作并思考回答问题，教师在学 生回答问题的基础上进一步引导学生从中 发现问题， 让学生体会从具体情景和实践操 作中发现问题，解决问题通过设计问题情 境，使学生提高解决问题的意识，通过自己 画图尝试从中得到感性认识， 进而不断地比 较， 让学生的思维能够经历一个从模糊到清 晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程， 再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会 数学发展的过程.
