1、 - 1 - 2020 年大连市高三第一次模拟考试 数学(理科) 本试卷共 6 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码 粘贴区。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 本试卷分第 I 卷(
2、选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，其中第 II 卷第 22 题第 23 题为选 考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) (1)设集合 Ax|20， 11 1 ab ，则 ab 的最小值为 (A) 1 4 (B) 1 2 (C)2 (D)4 (11)已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下列命题正确的是 (A)若 a/，b/，a/b，则 / (B)若 ，a，则 a/ (C)若 ，
3、a，则 a (D)若 /，a/，则 a/ (12)易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、 - 3 - 艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中 任取两卦， 记事件 A “两卦的六根线中恰有两根阳线” ， B “有一卦恰有一根阳线” ， 则 P(A|B) A. 1 5 B. 1 6 C. 1 7 D. 3 14 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答。第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
4、分，把答案填在答卷纸的相应位置上) (13)已知 x，y 满足约束条件 0 0 2 xy x y ，则 zxy 的最大值为 。 (14)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 yx，则该双曲线的离心率 为 。 (15)定义在(1， )上的函数 f(x)满足下列两个条件： (1)对任意的 x(1， )恒有 f(2x)2f(x) 成立；(2)当 x(1，2时，f(x)2x。则 f(6)的值是 。 (16)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 CC1上， 二面角 A1BDP 的平面角为 ，用图中字母表示角 为
5、；sin 的最小值 是 。 - 4 - 三解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)2sinxcosx2cos2(x 4 )。 (I)求 f(x)的单调递增区间； (II)在锐角ABC 中，B 为锐角，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若( )0 2 B f，a3， c1，求 b。 (18)(本小题满分 12 分) 某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取 100 人，由调查结果得到如下的频率分布直方图： (I)写出频率分布直方图(高一)中 a 的值；记高
6、一、高二学生 100 人锻炼时间的样本的方差分别 为 s12，s22，试比较 s12，s22的大小(只要求写出结论)； (II)估计在高一、高二学生中各随机抽取 1 人，恰有一人的锻炼时间大于 20 分钟的概率； (III)由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 Z 服从正态分布 N(，2)。其中 近似为 样本平均数x，2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 X 表示从高二学生中 随机抽取 10 人，其锻炼时间位于(14.55，38.45)的人数，求 X 的数学期望。 注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 2 142.7511.95s ； 若 ZN(，2)，则 P(Z)0
7、.6826，P(2Z2)0.9544。 (19)(本小题满分 12 分) - 5 - 如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O，E 为 AB 的中点。 (I)证明：OE/平面 ACC1A1； (II)若CBB160 ，cosACC1 2 4 ，在线段 C1A1上是否存点 F(F 不与 C1，A1重合)使得 直线 EF 与平面 ACC1A1成角的正弦值为 3 7 。若存在，求出 1 11 C F C A 的值；若不存在，说明理 由。 (20)(本小题满分 12 分) 已知过点 P(， 3 2 )的曲线 C 的方程为
8、 22 22 112xyxya。 (I)求曲线 C 的标准方程； (II)已知点 F(1，0)，A 为直线 x4 上任意一点，过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B，D。 (i)证明：OA 平分线段 BD(其中 O 为坐标原点)； (ii)求 BD AF 最大值。 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)2sinxx22xa。 (I)当 a0 时，求 f(x)零点处的切线方程； (II)若 f(x)有两个零点 x1，x2(x1x2)，求证： 2 21 1 ()2xx a。 请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用 2B 铅笔在答题卡
9、上把所选题目对应的标号涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，已知点 4(1.0)，B(1，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率 之积为4。 记 M 的轨迹为曲线 C。 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， - 6 - 直线 l 的极坐标方程为 2cos3sin110。 (I)求 C 和 l 的直角坐标方程；(II)求 C 上的点到 l 距离的最小值。 (23)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)m|x2|，mR，g(x)|x3|。 (I)当 xR 时，有 f(x)g(x)，求实数 m 的取值范围。 (II)若不等式 f(x)0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 ab 的最小值。 - 7 - - 8 - - 9 - - 10 - - 11 - - 12 - - 13 -
