1、教材同步复习第一部分 第四章三角形解题方法突破篇解直角三角形的应用模型模型1独立型如图，RtABC中，C90，求解即可【模型分析模型分析】实物图的背景一般为单一的直角三角形，解直角三角形是解题的关键例1题图 (2020北部湾经济区三模)如图，河坝横断面的迎水坡AB的坡比为3 4，BC6 m，则坡面AB的长为()A6 m B8 mC10 m D12 mC【解题思路】第一步：由迎水坡AB的坡比为34得出tan BAC ；第二步：根据BC6 m得出AC的值；第三步：根据勾股定理求解即可34第1题图1如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31，缆车速度为每分钟40米
2、，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，求山的高度BC.(sin310.52)第1题答图解：解：如答图，过点如答图，过点B作作BCAC，垂足为，垂足为C.在在RtABC中，中，ACB90，BAC31，AB4015600(米米)sin BAC ，BCABsin BAC600sin 31312(米米)答：山的高度答：山的高度BC约为约为312米米BCAB模型模型2 背靠背型背靠背型 如图，已知ABC，过点C作CDAB，垂足为D，得到RtACD和RtCDB.【模型分析模型分析】已知三角形中的两角(A和B)及一边(AC或BC)，在三角形内作高CD，构造两个直角三角形求解，公共边CD是解题的关键例2题图
3、 某市规划在A，B两地之间建一段直行公交专用通道，由于A，B两地之间土堆障碍较多，无法直接测量AB的长，现选定参照物点C，测得AC的距离为200米，CAB53，CBA22，求这段直行道路AB的长(参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3，cos220.9，tan220.4)【解题思路解题思路】第一步：过点C作CDAB于点D；第二步：在RtACD中，利用三角函数的知识，求得CD，AD的长；第三步：在RtBCD中，利用CBD的正切求得BD的长，继而求得答案【解答】【解答】过点过点C作作CDAB于点于点D，如答图，如答图AC200米，米，CAB53，在在RtACD中，中，CDA
4、Csin 53160(米米)，ADACcos 53120(米米)CBA22，在在RtBCD中，中，BD 400(米米)，ABADBD120400520(米米)答：这段直行道答：这段直行道路路AB的长约为的长约为520米米tan22CD 例2题答图第2题图2如图，在港口A的南偏东37方向的海面上，有一巡逻艇B，A，B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67方向上，有一渔船C发生故障，得知这一情况后，巡逻艇以25海里/时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？(参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin670.92，cos670.39，
5、tan672.36)第2题答图解：解：能，过点能，过点A作作AHBC，垂足为，垂足为H，如答图，如答图由题意，由题意，得得ACH67，B37，AB20.在在RtABH中，中，sin B ，AHABsin B20sin 3712.cos B ，BHABcos 3716.AHABBHAB在在RtACH中，中，tan ACH ，CH 5.08，BCBHCH165.0821.08.21.08250.841，巡逻艇能在巡逻艇能在1小时内到达渔船小时内到达渔船C处处答：巡逻艇能在答：巡逻艇能在1小时内到达渔船小时内到达渔船C处处AHCHtanAHACH 12tan67 模型模型3抱子型抱子型 已知ABD，
6、过点B作BCAD交AD的延长线交于点C，则得到RtBCD和RtABC.【模型分析模型分析】已知三角形中的两角(1和2)及其中一边，在三角形外作高BC，构造两个直角三角形求解，公共边BC是解题的关键例3题图 如图，梯楼AB的倾斜角ABD为60，楼梯底部到墙根的垂直距离BD为4 m，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45，求调整后的楼梯AC的长【解题思路解题思路】第一步：在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长；第二步：在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数求出AC的长即可【解答】【解答】在在RtABD中，中，ABD60，BD4 m，ADBDtan 604 (m
7、)在在RtACD中，中，ACD45，AC AD4 (m)答：调整后的楼梯答：调整后的楼梯AC的长为的长为4 m3266第3题图3如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22方向上(1)求轮船M到海岸线l的距离(结果精确到0.01米)(2)如果轮船M沿着南偏东30 的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由(参考数据：sin220.375，cos220.927，tan220.404，1.732)3第3题答图解：解：(1)如答图，过点如答图，过点M作作MDAC交
8、交AC的延长线于点的延长线于点D，设，设DMx.在在RtCDM中，中，CDDMtan CMDxtan 22，在在RtADM中，中，MAC45，ADDM.ADACCD100 xtan 22，x 167.79.答：轮船答：轮船M到海岸线到海岸线l的距离约为的距离约为167.79米米1001tan2210010.404(2)该轮船能行至码头该轮船能行至码头AB靠岸靠岸理由：如答图，作理由：如答图，作DMF30，交交l于点于点F.在在RtDMF中，中，DFDMtan FMDDMtan 30 DM 96.87(米米)，AFADDFDMDF167.7996.87264.66300，该轮船能行至码头该轮船能
9、行至码头AB靠岸靠岸1.732 167.793 33 模型模型4交叉型交叉型 如图，已知RtABC和RtBDE，单独求解即可【模型分析模型分析】单独解每个三角形再加减例4题图 为了身体健康，越来越多的人喜欢上了行走健身，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造如图2所示，改造前的斜坡AB260米，坡度为1 ；将斜坡AB的高度AE降低AC30米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1 4.求斜坡CD的长(结果保留根号)3图1图2【解题思路解题思路】第一步：根据题意和锐角三角函数可求得AE的长，进而得到CE的长；第二步：根据锐角三角函数可以得到ED的长；第三步：用勾股定理即可求
10、得CD的长【解答】【解答】在在RtABE中，中，tan ABE1 ，ABE30.AB260，AE AB130.AC30，CE13030100.在在RtCDE中，中，tan D14，ED400，CD 100 .答：斜坡答：斜坡CD的长是的长是100 米米33CEED3121422CEED 22100400 1717第4题图4宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像(塑像中高者)DE在高13.4 m的假山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34，再沿AC方向前进10 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60，求柳宗元塑像DE的高度(精确到1 m,参考数据：sin340.56，cos3
11、40.83，tan340.67，1.73)3解：解：ACE90，CAE34，CE13.4 m，tan CAE ，AC 20(m)AB10 m，BCACAB201010(m)在在RtBCD中，中，tan 60 ，CD BC1.731017.3(m)，DECDEC17.313.44(m)答：柳宗元塑像答：柳宗元塑像DE的高度约为的高度约为4 mCEACtan34CE 13.40.67CDBC33模型模型5四边形模型四边形模型 如图，过点B作BECD，则得到矩形ABEC和RtBDE.【模型分析模型分析】过较短的底AB作直角梯形的高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用线段和差求解例5题图
12、 小李用两锐角分别为30和60的三角尺测量一棵树的高度，如图，已知CAD30，ABDE1.75 m，BE6 m，那么这棵树大约有多高？(结果精确到0.1米，1.732)3【解题思路】第一步：根据题意可得四边形ABED是矩形；第二步：根据特殊角三角函数值即可求出CD的长，进而可求这棵树的高度【解答】【解答】根据题意可知，根据题意可知，ABE90，ABDE，ABDE1.75 m，四边形四边形ABED是矩形，是矩形，ADBE6 m，CDA90.在在RtACD中，中，CAD30.CDAD tan306 2 (m)，CECDDE2 1.755.2(m)答：这棵树答：这棵树大约有大约有5.2 m高高333
13、3第5题图5如图，某居民楼AB的前面有一围墙CD，在点E处测得楼顶A的仰角为25，在F处测得楼顶A的仰角为45，且CE的高度为2米，CF之间的距离为20米(B，F，C在同一条直线上)(1)求居民楼AB的高度；(2)请你求出A，E两点之间的距离(参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47，结果保留整数)解：解：(1)如答图，过点如答图，过点E作作EMAB,垂足为垂足为M，四边形四边形ECBM为为矩形，矩形，EMBC，BMCE2.设设ABx，在在RtABF中，中，AFB45，BFABx，BCEMBFFCx20.在在RtAEM中，中，tan AEM ，AEM25，AMABBMABCEx2，0.47，解得解得x22.答：居民楼答：居民楼AB的高度约为的高度约为22米米AMEA220 xx 第5题答图(2)由由(1)可知可知EMBCx20222042.在在RtAME中，中，cos AEM ，0.91，解解得得AE46.答：答：A，E两点之间的距离约为两点之间的距离约为46米米EMEA42AE
