1、高等数学（物理类）教学大纲高等数学（物理类）教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；高等数学，物理类，公共基础课，6学分。适用于理科基地班和物理，力学，计算机，自然地理，资源环境等专业的非基地班，教材选用1，2。理科其它专业的非基地班（如化学，生物，草科等）可采用教材3。（二）课程简介、目标与任务；高等数学课程是综合大学理科各专业必修的一门重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。通过本课程的学习，逐步培养学生的抽象思维的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识
2、奠定必要的数学基础。（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；没有先修课，是后续课程的基础。（四）教材与主要参考书。 1 张志强，高等数学 (一元微积分)，兰州大学出版社，2008-8。 2 张志强，高等数学 (多元微积分)，兰州大学出版社，2008-8。 3 张志强，高等数学强化与考研教程 (第一册)，兰州大学出版社，2008-8。 3 张志强，高等数学强化与考研教程 (第二册)，兰州大学出版社，2008-8。二、课程内容与安排下面打“*”号的内容是基地班要讲授的，对非基地班来说，这部分内容或不讲，或选讲，或只介绍必要的结论，可视具体情况而定。对个别虽非基地班但对数
3、学要求较高、课时较为充裕的专业（如力学专业），应尽量按基地班的要求讲授。对有些学时较少的专业，还可对下面所列的教学内容作进一步的删节。第一章 函数与极限（2024课时）第一节 变量与函数函数的概念，表示法，函数性态的简单讨论，反函数，复合函数及初等函数。第二节 极限的概念收敛变量，变量的极限，七种极限过程，用定义求极限的几个例子，无穷大量与无界变量。 第三节 极限的性质与运算法则极限的基本性质，极限的四则运算法则，*Stolz定理。 第四节 极限存在的判别法及两个重要极限夹挤定理，单调有界定理，*Cauchy收敛准则，Heine定理，*数列与其子数列的收敛关系。第五节 无穷小量与无穷大量的阶无
4、穷小量与无穷大量阶的比较，记号O,o及,主要部分及无穷小（大）量的阶数。第六节 连续函数函数的连续性，函数的间断点，连续函数的运算性质及初等函数的连续性，*一致连续性的概念，闭区间上连续函数的性质。 第二章 导数与微分（12课时）第一节 导数概念几个实际例子，导数的定义，导数的几何意义，用定义求导数的几个简单例子。第二节 求导法则导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，隐函数的导数，参数方程所表示函数的导数。第三节 微分及其运算微分的定义与性质，微分的运算，微分应用于近似计算与误差估计。 第四节 高阶导数与高阶微分高阶导数的概念，高阶导数的运算法则，参数方程及隐函数的高阶导数，高阶微分。
5、第三章 中值定理及其应用（1416课时）第一节 微分中值定理三个微分定理的引入，条件和结论，证明及推论。第二节 罗必塔法则基本不定式，其它形式的不定式。第三节 泰勒公式公式的引入，余项的不同形式，基本初等函数的麦克劳林展式及其几个简单的应用。第四节 函数几何性质的讨论单调性，极值，最值，凹凸与拐点。第五节 函数图形的描绘渐进线，函数作图的一般步骤。第六节 曲率概念的引入，曲率的计算，*密切圆与渐屈线。第四章 不定积分（1014课时）第一节 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的定义，不定积分基本公式，不定积分的运算法则和直接积分法。第二节 两个基本积分法换元积分法，分部积分法。第三节 有理函数
6、的积分待定系数法，*奥氏法。第四节 三角函数的有理函数的积分万能代换，整角代换，降幂法及其它。第五节 简单无理函数的积分分式线性函数的有理幂，*欧拉代换，*二项微分式的积分。第五章 定积分（1416课时）第一节 定积分的概念和性质概念的引入，定义，可积分性，几何意义，性质。第二节 微积分基本定理*用定义计算定积分的几个例子，牛顿-莱布尼兹公式。第三节 定积分的换元法与分部积分法。第四节 定积分的应用微元分析法，平面图形的面积，特殊立体的体积，曲线弧长，定积分在物理、力学中的应用。 *第五节 定积分的近似计算第六节 广义积分的基本概念无穷积分，瑕积分。第六章 广义积分与无穷级数（2026课时）第
7、一节 数项级数定义及收敛性，收敛级数的性质，正项级数，任意项级数，绝对收敛级数。第二节 广义积分的收敛性无穷积分和数项级数的关系，无穷积分的收敛判别法，欧拉积分。第三节 函数项级数的一般概念收敛种种，*一致收敛性的判定，*一致收敛级数的性质和内闭一致收敛性。第四节 幂级数收敛半径，幂级数的运算及分析性质，函数的幂级数展开。第五节 富里叶级数上的富里叶级数，正弦级数和余弦级数，任意区间上的富里叶级数，*富里叶级数的逐项积分和逐项微分，*富里叶级数的复数形式。第七章 简单微分方程（12课时）第一节 微分方程的基本概念微分方程，解，通解，初始条件和特解等。第二节 一阶微分方程的基本解法可分离变量的微
8、分方程，齐次方程，准齐次方程，一阶线性微分方程，贝奴里方程。第三节 高阶线性微分方程解的结构线性微分算子与线性相关性，齐次线性微分方程解的结构，非齐次线性微分方程解的结构。第四节 常系数线性微分方程常系数二阶线性齐次方程，常系数二阶线性非齐次方程， *常系数高阶线性微分方程解法简介，*欧拉方程。第五节 几类高阶方程的降阶。第八章 空间解析几何与矢量代数（16-18课时）第一节 空间直角坐标系坐标系的建立，距离公式。第二节 矢量代数初步矢量的线性运算，矢量的共线与共面，矢量在轴上的投影，矢量的分解与坐标表示，矢量的数积，矢积与混合积，*二重矢积。第三节 空间曲线及曲面的一般概念。第四节 平面及直
9、线平面的点法式，一般式及其它几种形式，直线及其方程，点，线，面关系。第五节 二次曲面旋转曲面与锥面，压缩与伸展，二次曲面的各种类型。第六节 空间直角坐标系的变换平移，旋转与一般变换，欧拉角。第九章 多元函数微分法及其应用（18课时）第一节 多元函数的基本概念与中的点集多元函数的定义，中的某些特定点集，二元函数的图形。第二节 多元函数的极限与连续多重极限，连续与间断，连续函数的运算法则，有界闭区域上的连续函数。第三节 偏导数定义，计算举例，可导与连续。第四节 多元的微分全微分的概念，可微分与可导，全微分在近似计算与误差估计中的应用。第四节 复合函数的求导法则第五节 全微分基本定理第六节 方向导数
10、与梯度。第七节 隐函数的导数一个方程所确定的隐函数，方程组所确定的隐函数（组）。第八节 几何方面的应用空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线，等值面与等值线。第九节 高阶导数与高阶微分。第十节 多元函数的泰勒公式。第十一节 多元函数的极值自由极值，条件极值，最值。第十章 重积分和第一类线，面积分（1620课时）第一节 概论质量模型，几类积分的一般定义，具体的形式，共同的性质。第二节 二重积分的计算累次化方法，*变量代换法，极坐标代换，广义极坐标代换。第三节 三重积分的计算累次化方法（“穿线法”与“切片法”）， *变量代换法，柱坐标、球坐标和广义球坐标代换。*第四节 含参变量的积分固定（
11、变动）限情形的参变量常意积分，含参变量的无穷积分与瑕积分。第五节 第一类曲线积分的计算。第六节 第一类曲面积分的计算投影化方法，*参数化方法，光滑曲面的面积，化第一类曲面积分为二重积分第七节 几类积分的应用质量，重心，转动惯量，*引力。第十一章 第二类线，面积分及各类积分间的关系（14课时）第一节 第二类曲线积分变力作功问题，第二类曲线积分的定义，性质与计算，两类曲线积分的关系。第二节 第二类曲面积分曲面侧的概念，流量问题，定义，性质与计算，两类曲面积分的关系。第三节 格林公式平面单连通域与多连通域，定理及其证明，应用于积分路线的变形。第四节 平面曲线积分与路径无关的条件问题的提出，定理及其证
12、明，原函数的求法。第五节 奥-高公式一维单连通与二维单连通的空间区域，定理及其证明。第六节 斯托克斯公式定理及其证明，*空间曲线积分与路径无关的条件。第七节 各种积分间的关系小结。第十二章 场论初步（812课时）第一节 矢量分析初步矢量函数的极限与连续，一元矢量函数的微分，一元矢量函数的积分，多元矢量函数的微积分。第二节 场的概念。第三节 数量场的梯度。第四节 矢量场的散度。第五节 矢量场的旋度。第六节 特殊的场无旋场，无散场，调和场。第七节 场的确定。*第八节 正交曲线坐标下的场论量第十三章 微分方程（续）（614课时）第一节 一阶常微分方程的其它可解类型全微分方程，积分因子，一阶隐方程。*
13、第二节 解的存在与唯一性定理。*第三节 幂级数解法大意。第四节 标准微分方程组基本概念，消去法，首次积分，与一阶线性偏微分方程的关系。第五节 线性方程组基本理论，常系数齐次线性方程组的通解，常系数非齐次线性方程组解法举例。*第六节 拉普拉斯变换基本概念，拉普拉斯变换的性质，在求解微分方程中的应用。（一）教学方法与学时分配 课堂教授，总学时 216学时（二）内容及基本要求主要内容：极限计算，微积分。【重点掌握】：极限方法，一元微积分，多元微积分。【掌握】：级数、广义积分、场论、微分方程【了解】： 极限理论、定积分理论【一般了解】：一致连续性、一致收敛性。【难点】：极限理论、定积分理论、一致连续性、一致收敛性。 制定人： 审定人：8 / 8
