1、2.3 幂函数 一、实例探究一、实例探究 1、如果小红购买了每千克、如果小红购买了每千克1元的水果元的水果x千克，那么她需千克，那么她需 要付的钱数要付的钱数y是是 2、如果正方形的边长为、如果正方形的边长为x，那么正方形的面积，那么正方形的面积y为为 3、如果正方体的边长为、如果正方体的边长为x，那么正方体的体积，那么正方体的体积y为为 4、如果正方形场地面积为、如果正方形场地面积为x，那么正方形的边长，那么正方形的边长y为为 5、如果小兰在、如果小兰在x秒内骑车行进了秒内骑车行进了1km，那么她骑车的速，那么她骑车的速 度度y是是 yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 1 1、
2、幂函数的定义：、幂函数的定义： 一般的，函数一般的，函数 y = x 叫做幂函数，叫做幂函数， 其中其中 x 是自变量，是自变量， 是常数。是常数。 1 5 0 1 10 2233 4561 ( ).; ( ); ( ); ( ); ( ); ( ) x x yyyx x yxyxy 下下列列哪哪些些是是幂幂函函数数？ (2)(5) 二、基础知识讲解二、基础知识讲解 关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质. . 1 ( )yx 2 2( )yx 3 3( )yx 1 2 4( )yx 1 5( )yx 二、基础知识讲解二、基础知识讲解 值值 域
3、：域：_ 奇偶性：奇偶性：_ 单调性：单调性：_ R 奇奇函函数数 R在在 上上是是增增函函数数 yx R O y x yx 二、基础知识讲解二、基础知识讲解 定义域：定义域：_ 2 yx 值值 域：域：_ 奇偶性：奇偶性：_ 单调性：单调性：_ R 0, 偶偶函函数数 0 0 , , 在在上上是是增增函函数数 在在上上是是减减函函数数 2 yx 二、基础知识讲解二、基础知识讲解 定义域：定义域：_ O y x x -2 -1.5 -1 -0.5 0 x3 x 0.5 1 1.5 2 x3 8 3 375. 1 0 8 3 375. 1 定义域：定义域：_ 值值 域：域：_ 奇偶性：奇偶性：
4、_ 单调性：单调性： _ R 奇奇函函数数 R在在 上上是是增增函函数数 R 3 yx 二、基础知识讲解二、基础知识讲解 0 125. 0 125. 3 yx O x y x 0 1 2 3 x0.5 x 4 5 6 x0.5 01 1 414.1 732. 2 45.2 236.2 定义域：定义域：_ 值值 域：域：_ 奇偶性：奇偶性： _ 单调性：单调性： _ 0 ,)在在上上是是增增函函数数 0 ,) 既既不不是是奇奇函函数数也也不不是是偶偶函函数数 0 ,) 1 2 yx 二、基础知识讲解二、基础知识讲解 1 2 yx y x 定义域：定义域：_ 值值 域：域：_ 奇偶性：奇偶性： _
5、 单调性：单调性： _ 0x x 奇奇函函数数 0( ,)在在上上是是减减函函数数 0,在在上上是是减减函函数数 0y y 1 yx 1 yx 2112 二、基础知识讲解二、基础知识讲解 y x 2 yx yx 3 yx 1 yx 1 2 yx y x 定义域定义域 值域值域 奇偶性奇偶性 单调性单调性 公共点公共点 奇奇 偶偶 奇奇 非奇非偶非奇非偶 奇奇 (1,1) (0,0) R R R x|x0 0,+) R R y|y0 0,+) 0,+) 0，+) ( ，0) 几个幂函数的图象和性质几个幂函数的图象和性质 yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx (0，+) ( ,0) 二
6、、基础知识讲解二、基础知识讲解 (0,) ( ) 1,1) (1yx 所所有有的的幂幂函函数数均均在在有有定定义义， 公公共共点点 过过 上上 (2)(0,00 0 )yx yx 当当时时，的的图图象象过过原原点点， 当当时时，的的图图象象不不过过原原点点； (3) , yx yx 当当 是是时时，是是 奇奇数数奇奇 当当 是是时时，是是； 函函数数 偶偶数数偶偶函函数数 (4)() 0 0 0, yx yx 在在区区间间上上， 当当时时，函函数数是是函函数数； 当当时时，是是函函数数，图图象象与与两两坐坐标标轴轴 的的正正半半 增增 减减 轴轴无无限限接接近近； 2 23 ( )(1) (0
7、,)( )( ). mm f xmmx xf xf x 例例1 1 函函数数是是幂幂函函数数，且且当当 时时，单单调调递递增增，求求的的解解析析式式 2 2 23 ( )(1) 21, 11 mm f xmmx m mm m Q解解：是是幂幂函函数数， 解解得得或或 23 233( ),mmmf xx当当时时，即即 23 133( ),mmmf xx 当当时时，即即 3 ( ).f xx所所求求函函数数解解析析式式为为 三、例题分析三、例题分析 (0,)满满足足在在上上是是增增函函数数； (0,)在在上上是是减减函函数数，不不符符合合题题意意； 20( ) ,).f xx例例 、证证明明幂幂函
8、函数数在在上上是是增增函函数数 三、例题分析三、例题分析 1212 1212 0, ,) ()() x xxx f xf xxx ：任任取取，设设，则则证证明明 1212 12 xxxx xx 12 12 xx xx 1212 1212 0 00 , ,) , x xxx xxxx ，且且，Q 1212 0 0 ()()()(), ( ) ,). f xf xf xf x f xx ，即即 在在上上是是增增函函数数 例例3 3、用所学的图象和性质，比较下列各组值的大小：、用所学的图象和性质，比较下列各组值的大小： 11 22 11 33 (1)3.14 (2)( 0.38)( 0.39) (3
9、)1.251.22 与与与与 与与 1 2 (1)0,yx解解： 幂幂函函数数在在区区间间上上是是 11 22 3.143.14Q 3 (2),yx 幂幂函函数数在在是是增增函函数数 33 0.380.390.380.39 Q 增增函函数数 三、例题分析三、例题分析 例例3 3、用所学的图象和性质，比较下列各组值的大小：、用所学的图象和性质，比较下列各组值的大小： 11 22 11 33 (1)3.14 (2)( 0.38)( 0.39) (3)1.251.22 与与与与 与与 1 11 (3)(0,) 1.251.221.251.22 yx Q 在在上上减减函函数数 1 (4), 3 x y
10、 在在上上是是减减函函数数， 0.250.27 11 0.250.27 33 Q 指指数数函函数数 三、例题分析三、例题分析 0.250.27 11 (4)( )( ) 33 与与 11 22 (4)(32).mmm 、已已知知，求求取取式式值值范范围围变变 2 2 1 ( )(2), ( ) (1)(2)(3)(4) mm f xmmx mf x P86 8P86 8、已已知知函函数数 求求为为何何值值时时，为为 正正比比例例函函数数； 反反比比例例函函数数； 二二次次函函数数; ;幂幂函函数数 四、练习巩固四、练习巩固 【解析】【解析】(1)若若 f(x)为正比例函数，为正比例函数， 则则
11、 m2m11， m22m0 m1. (2)若若 f(x)为反比例函数，为反比例函数， 则则 m2m11， m22m0 m1. (3)若若 f(x)为二次函数，为二次函数， 则则 m2m12， m22m0 m 1 13 2 . (4)若若 f(x)为幂函数，则为幂函数，则 m22m1，m1 2. 2、注意、注意 区分区分幂函数幂函数与与指数函数指数函数的概念及其表达式的概念及其表达式 1、定义：一般地，函数、定义：一般地，函数 f(x)=x 叫做幂函数，其中叫做幂函数，其中 x 是自变量，是自变量， 是是常数。常数。 五、课堂小结五、课堂小结 3、幂函数、幂函数 f(x)=x 的的性质：性质：
12、1. 0时时，(1)图象都经过点（图象都经过点（0，0）和）和 （1，1）；）； (2)函数在函数在( 0,+)上上是增函数。是增函数。 2. 0时时，(1)图象都经过点（图象都经过点（1，1）；）； (2)函数在函数在( 0,+)上上是减函数是减函数,且向右无限接且向右无限接 近近x轴，向上无限接近轴，向上无限接近y轴。轴。 yxyx 当当 是是时时，是是；当当奇奇数数奇奇是是函函数数偶偶数数时时，是是偶偶函函数数； 作业 （1）在同一个坐标系中，画出本节学习的 5个幂函数图象。注意标出关键点和坐标轴。 (2) 完成练习册相关内容 2 4 ( )log (43).f xxx求求的的单单调调区
13、区间间 2 : 4 ( 3 ,1)(3 0, , 3 ) , 1xxxx 解解由由题题意意可可得得：解解 是是 得得或或 定定义义域域 2 4 ( )log (43).f xxx例例、判判断断函函数数的的单单调调性性 22 43(2)7(,1)(3,)0,txxxxt U令令，当当时时 2 4 ( )log (43)(,1) (3,). f xxx 函函数数在在区区间间上上单单调调递递减减， 在在区区间间上上单单调调递递增增 4 lo()g,0,tyt ， 2 2 (,1),43(0,) (3),43(0,) xtxxt xtxxt 当当时时单单调调递递减减，此此时时； 当当，时时单单调调递递增增，此此时时； 2 (0,+)logtyt而而当当时时，单单调调递递增增， 求定义域求定义域 ”同增异减”下结论同增异减”下结论 确定内外函数，求中间量范围确定内外函数，求中间量范围 分析内外函数分析内外函数 单调性单调性
