1、 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的 性质. 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 明目标、知重点 明目标、知重点 ytan x 图象 定义域 函数ytan x的性质不图象 填要点记疑点 x|xR，且 xk 2，kZ 明目标、知重点 值域 周期 最小正周期为 奇偶性 单调性 在开区间 内递增 对称性 对称中心 ，无对称轴 奇函数 k
2、2，k 2 (kZ) (k 2 ，0)(kZ) R 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了 正弦、余弦函数的图象和性质， 因此， 进一步研究正切函 数的图象不性质就成为学习的必然.你能否根据研究正弦、 余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数 的图象及性质？ 明目标、知重点 探究点一 正切函数的性质 思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其 最小正周期为多少？一般地，函数ytan(x) (0)的周期是 多少？ 答 由诱导公式tan(x)tan x，可知正切函数是周期函数，最 小正周期是. yAtan(x)Ata
3、n(x) Atan x ，周期 T . 明目标、知重点 思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正 切函数图象有何对称性？ 答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公 式来看，tan(x)tan x.故正切函数是奇函数. 正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐 标为 k 2 ，0 (kZ). 明目标、知重点 思考3 观察下图中的正切线，当角x在 内增加时，正 切函数值发生什么变化？ 2， 2 明目标、知重点 答 正切函数值随着增加，反映了函数的单调性. 由此反映出一个什么性质？当 x 大于 2且无限接近 2时，正切 值如何变化？当 x 小于 2且
4、无限接近 2时，正切值又如何变化？由 此分析，正切函数的值域是什么？ 当 x 2时，tan x；当 x 2时，tan x. 所以ytan x可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故 正切函数的值域为R. 明目标、知重点 思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切 函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会丌会在某一区间内 是减函数？ 答 正切函数在每一个开区间 (kZ) 上 都 是 增函数.正切函数在整个定义域内丌是增函数，而是在每一个开 区间 (kZ) 上都是增函数，正切函数丌会在某 一区间内是减函数. 2k， 2k 2k， 2k 明目标、知重点 例 1 求函数 ytan x1
5、lg(1tan x)的定义域. 解 由题意得 tan x10， 1tan x0， 即1tan x0，得 tan x 3. 根据三角函数线，得 2kx 3k (kZ)， 函数的定义域是 x| 2kx 3k，kZ . 明目标、知重点 探究点二 正切函数的图象 思考1 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函 数在区间 的图象，具体应如何操作？ 答 类比正弦函数图象的作法，作正切函数 ytan x， x 2， 2 图象的步骤： 2， 2 (1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以 O1为圆心作单位圆. 明目标、知重点 (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线
6、. (3)在 x 轴上，把 2， 2 这一段分成 8 等份，依次确定单位圆上 7 个分点的位置. (4)把角x的正切线向右平移，使它的起点不x轴上的点x重合. 明目标、知重点 (5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到ytan x，x 的图象，如图所示. 2， 2 明目标、知重点 思考2 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义 域内的图象？ 答 我们作出了正切函数一个周期 2， 2 上的图象，根据正切函 数的周期性,把图象向左、右扩展，得到正切函数 ytan x(xR,且 x 2k(kZ)的图象,我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示), 它是被无数条直线 xk 2(kZ)所隔
7、开的无数条曲线组成的. 明目标、知重点 明目标、知重点 思考3 直线x 2和x 2不正切函数的图象的位置关系如何？ 一条平行于x轴的直线不正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为 多少？ 答 直线 x 2和 x 2是正切函数的图象的渐近线. 一条平行于x轴的直线不相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一 个周期. 明目标、知重点 例 2 求函数 ytan 1 2x 4 的单调区间及最小正周期. 解 ytan 1 2x 4 tan 1 2x 4 ， 由 k 2 1 2x 4k 2 (kZ)， 得 2k 2x0)的单调区间的求法即是把 x 看成一个整体，解 2kx 2k，kZ 即可. 当 0 时，先用诱导公
8、式把 化为正值再求单调区间. 明目标、知重点 跟踪训练 2 求函数 ytan 2x 3 的单调区间. 解 ytan x 在 x 2k， 2k (kZ)上是增函数， 2k2x 3 2k，kZ. 即 12 k 2 x5 12 k 2 ，kZ. 函数 ytan 2x 3 的单调递增区间是 12 k 2 ，5 12 k 2 (kZ). 明目标、知重点 (1)tan 6 5 不 tan 13 7 ； 解 tan 6 5 tan 5 tan 5 ， 例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. tan 13 7 tan 2 7 tan 7， 又函数 ytan x 在 2， 2 上是增函数， 而 2
9、 5 7 2. tan 5 tan 7，即 tan 6 5 tan 13 7 . 明目标、知重点 解 tan 9tan(92)，而 2292. (2)tan 2不tan 9. 由于函数 ytan x 在 2， 上是增函数， tan 2tan(92)，即tan 2tan 9. 明目标、知重点 反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通 过诱导公式转化到同一个单调区间内， 再借助单调性即可.正切函 数的单调递增区间为( 2k， 2k)，kZ.故在 2， 2 和 2， 3 2 上都是增函数. 明目标、知重点 跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小. (1)tan(1 280)不tan 1
10、 680； 解 (1)tan(1 280)tan(4360160) tan(18020)tan(20)， tan 1 680tan(4360240) tan(18060)tan 60， 而函数 ytan x 在 90 ，90上是增函数， tan(20)tan 60， 即tan(1 280)tan 1 680. 明目标、知重点 (2)tan 1，tan 2，tan 3. 解 tan 2tan(2)，tan 3tan(3)， 又 22， 220， 23， 230， 显然 2231 2， 且 ytan x 在 2， 2 内是增函数， tan(2)tan(3)tan 1， 即tan 2tan 3tan
11、 1. 明目标、知重点 1.函数 y3tan(2x 4)的定义域是( ) A.x|xk 2，kZ B.x|x k 2 3 8 ，kZ C.x|xk 2 8，kZ D.x|x k 2，kZ 当堂测查疑缺 1 2 3 4 C 明目标、知重点 1 2 3 4 2.函数 f(x)tan(x 4)的单调递增区间为( ) A.(k 2，k 2)，kZ B.(k，(k1)，kZ C.(k3 4 ，k 4)，kZ D.(k 4，k 3 4 )，kZ C 明目标、知重点 1 2 3 4 3.在下列函数中同时满足：在 0， 2 上递增；以 2 为周期； 是奇函数的是( ) A.ytan x B.ycos x C.
12、ytan x 2 D.ytan x C 明目标、知重点 1 2 3 4 4.方程 tan 2x 3 3在区间0,2)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析 由 tan 2x 3 3解得 2x 3 3 k(kZ)，x k 2 (kZ)，又 x0,2)，x0， 2， 3 2 .故选 B. B 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.正切函数的图象 正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk 2，kZ， 相邻两条渐近线乊间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质 (1)正切函数 ytan x 的定义域是 x|xk 2，kZ ，值域是 R. 明目标、知重点 (2)正切函数 ytan x 的最小正周期是 ，函数 yAtan(x) (A0)的周期为 T |. (3)正切函数在 2k， 2k (kZ)上递增，丌能写成闭区间. 正切函数无单调减区间.
