1、 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角 和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式迚行简单的三角函数的 求值、化简、计算等. 3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的 正用、逆用以及角的变换的常用方法. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.两角和与差的余弦公式 C()：cos() . C()：c
2、os() . 2.两角和与差的正弦公式 S()：sin() . S()：sin() . cos cos sin sin 填要点记疑点 cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 明目标、知重点 3.两角互余戒互补 (1)若 ， 其 、 为仸意角， 我们就称 、 互余.例如： 4 与 互余， 6 与 互余. (2)若 ，其 ， 为仸意角，我们就称 、 互补.例如： 4 与 互补， 与 2 3 互补. 2 4 3 3 4 3 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 从两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin 出发， 你能推导出两角
3、和与差的三角函数的其他公式吗？ 明目标、知重点 探究点一 由公式C()推导公式C() 思考 由于公式C()对于仸意，都成立，那么把其中的换 成后，也一定成立.请你根据这种联系，从两角差的余弦公式 出发，推导出用仸意角，的正弦、余弦值表示cos()的公式？ 答 ()，cos()cos ，sin()sin ， cos()cos ( )cos cos()sin sin() cos cos sin sin . 即cos()cos cos sin sin . 明目标、知重点 思考 利用诱导公式五(戒六)可以实现正弦和余弦的互化，根据 这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用仸意角， 的正弦、余弦
4、值表示sin()及sin()的公式？ 答 sin()cos 2 cos 2 探究点二 由公式C()推导公式S()及S() cos 2 cos sin 2 sin sin cos cos sin . 明目标、知重点 即sin()sin cos cos sin . 从而，sin()sin ( ) sin cos()cos sin() sin cos cos sin . 明目标、知重点 思考 运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活 迚行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征 结构后，再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角，要善于 发现和利用. 例如，化简：sin 43x
5、 cos 33x cos 63x sin 43x . 探究点三 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 明目标、知重点 解 原式sin 43x cos 33x sin 33x cos 43x sin 43x 33x sin 4 3 sin 4cos 3cos 4sin 3 2 2 1 2 2 2 3 2 2 6 4 . 明目标、知重点 解 原式sin(x27)cos(18x)cos(x27) sin(x18) sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(18x) 例1 化简求值： (1)sin(x27)cos(18x)sin(63x)sin(x18)； sin(x27 )(18 x)si
6、n 45 2 2 . 明目标、知重点 (2)(tan 10 3) cos 10 sin 50 . 解 (tan 10 3)cos 10 sin 50 (tan 10 tan 60 )cos 10 sin 50 sin 10 cos 10 sin 60 cos 60 cos 10 sin 50 sin50 cos 10 cos 60 cos 10 sin 50 1 cos 60 2. 明目标、知重点 反思与感悟 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正 化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式 子的结构选择公式. 明目标、知重点 跟踪训练1 化简求值：(1)sin 14cos 16sin 7
7、6 cos 74； 解 原式sin 14cos 16sin(9014) cos(9016) sin 14cos 16cos 14sin 16 sin(1416)sin 301 2. (2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)； 解 原式sin(54x)(36x)sin 901. 明目标、知重点 (3)sin 12 3cos 12. 解 方法一 原式2 1 2sin 12 3 2 cos 12 2 sin 6sin 12cos 6cos 12 2cos 6 12 2cos 4 2. 方法二 原式2 1 2sin 12 3 2 cos 12 2 cos 3sin 12s
8、in 3cos 12 2sin 12 3 2sin 4 2. 明目标、知重点 例 2 已知 0， 2 ， 2，0 ，且 cos() 3 5，sin 2 10 ，求 的值. 解 0， 2 ， 2，0 ，(0，). cos()3 5，sin() 4 5. 2，0 ，sin 2 10 ，cos 7 2 10 . 明目标、知重点 sin sin( ) sin()cos cos()sin 4 5 7 2 10 3 5 2 10 2 2 . 又 0， 2 ， 4. 明目标、知重点 反思与感悟 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的 某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角
9、的范围不加讨论，范围讨论的程度过大戒过小，会使求 出的角不合题意戒者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的 哪一种三角函数值. 明目标、知重点 跟踪训练 2 已知 sin 3 5，cos 5 13， 为第二象限角， 为第三象限角.求 sin()和 sin()的值. 解 sin 3 5， 为第二象限角，cos 4 5. cos 5 13， 为第三象限角，sin 12 13. sin()sin cos cos sin 3 5 5 13 4 5 12 13 33 65. sin()sin cos cos sin 3 5 5 13 4 5 12 13 63 65. 明目标、知重点 例3 已知sin(2)
10、3sin ，求证：tan()2tan . 证明 sin(2)3sin sin( ) 3sin( ) sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin 2sin()cos 4cos()sin tan()2tan . 明目标、知重点 反思与感悟 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、 “等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的 差异、函数名称的差异、结构形式的差异. 明目标、知重点 跟踪训练 3 证明： sin2 sin 2cos()sin sin . 证明 sin2 sin 2cos() sin22sin cos sin sin2sin cos sin sinco
11、s cossin 2sin cos sin sincos cossin sin sin sin . 明目标、知重点 A.1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 当堂测查疑缺 1 2 3 1.sin 7cos 37sin 83cos 53的值是( ) A 解析 原式sin 7cos 37cos 7sin 37 sin(30 )1 2. 4 明目标、知重点 2.在ABC 中，A 4，cos B 10 10 ，则 sin C 等于( ) A.2 5 5 B.2 5 5 C. 5 5 D. 5 5 解析 sin Csin(AB)sin(AB) sin Acos Bcos Asin B 1 2
12、 3 4 明目标、知重点 2 2 (cos B1cos2B) 2 2 10 10 3 10 10 2 5 5 . 答案 A 1 2 3 4 明目标、知重点 3.函数f(x)sin x 3cos x(xR)的值域是 . 解析 f(x)2 1 2sin x 3 2 cos x 2sin x 3 . f(x)2,2. 2,2 1 2 3 4 明目标、知重点 4.已知锐角 、 满足 sin 2 5 5 ，cos 10 10 ，则 . 解析 ， 为锐角，sin 2 5 5 ，cos 10 10 ， cos 5 5 ，sin 3 10 10 . 1 2 3 4 明目标、知重点 5 5 10 10 2 5
13、5 3 10 10 2 2 . cos()cos cos sin sin 0，3 4 . 答案 3 4 1 2 3 4 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.公式C与S的联系、结构特征和符号规律 四个公式C、S虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是 相同的，其内在联系为cos() cos() sin() sin()，这样我们 只要牢固掌握“中心”公式cos()的由来及表达方式，也就 掌握了其他三个公式. 以换 以换 明目标、知重点 对于公式C与C，可记为“同名相乘，符号反”. 对于公式S与S，可记为“异名相乘，符号同”. 2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简 sin cos()cos sin()时，不要将cos()和sin() 展开，而应采用整体思想，作如下变形： sin cos()cos sin() sin ( )sin()sin . 明目标、知重点 3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活迚行三角变 换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系， 选用恰当的公式快捷求解.
