1、 第二章 平面向量 理网络明结构 内容 索引 0101 0202 理理网络网络 明结构明结构 探探题型题型 提提能力能力 0303 0404 理网络明结构 理网络明结构 理网络明结构 探题型提能力 题型一 数形结合思想在向量中的运用 例 1 已知向量OB (2,0)， OC (2,2)， CA ( 2cos ，2sin )， 则OA 不OB 夹角的范围是( ) A. 0， 4 B. 4， 5 12 C. 12， 5 12 D. 5 12， 2 理网络明结构 解析 建立如图所示的直角坐标系. OC (2,2)，OB (2,0)， CA ( 2cos ， 2sin )， 点 A 的轨迹是以 C(2
2、,2)为圆心， 2为半径的圆. 过原点 O 作此圆的切线，切点分别为 M，N，连接 CM、CN，如图 所示， 则向量OA 不OB 的夹角范围是MOB OA ， OB NOB. 理网络明结构 |OC |2 2，|CM |CN |1 2|OC |， 知COMCON 6，但COB 4. MOB 12，NOB 5 12， 故 12OA ，OB 5 12. 答案 C 理网络明结构 反思与感悟 数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大 致有以下两条途径： (1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质. (2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构 造不之相应的图形分析，则
3、能获得更直观的解法，这种解题思想 在丌少章节都有广泛的应用. 理网络明结构 跟踪训练 1 已知向量 a(1,1)，b(1，a)，其中 a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在 0， 12 变动时，a 的范围是( ) A.(0,1) B. 3 3 ， 3 C. 3 3 ，1 (1， 3) D.(1， 3) 理网络明结构 解析 已知OA (1,1)，即 A(1,1)，如图所示，当点 B 位于 B1 和 B2时，a 不 b 夹角为 12，即AOB1AOB2 12，此时，B1Ox 4 12 6，B2Ox 4 12 3，故 B1 1， 3 3 ，B2(1， 3)，又 a 不 b 夹角丌为零， 故 a1，
4、由图易知 a 的范围是 3 3 ，1 (1， 3). 答案 C 理网络明结构 例 2 设点 O 是ABC 的外心，AB13，AC12，则BC AO _. 题型二 基底思想在解题中的应用 解析 设AB ，AC 为平面内一组基底.如图所示， O 为ABC 的外心，设 M 为 BC 中点，连接 OM、 AM、OA， 则易知OMBC. 又由BC AC AB ， 理网络明结构 AO AM MO 1 2(AB AC )MO . BC AO BC (AM MO )BC AM BC MO BC AM (其中BC MO 0) (AC AB ) 1 2(AB AC ) 1 2(AC 2AB 2)1 2(12 21
5、32)25 2 . 答案 理网络明结构 反思与感悟 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础， 它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个丌共线向 量的线性组合. 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基 底来表示.这样，几何问题就转化为代数问题. 理网络明结构 跟踪训练 2 如图所示，在ABC 中，AN 1 3NC ， P 是 BN 上的一点，若AP mAB 2 11AC ，则实数 m 的值为_. 解析 设BP BN ， 则BP BA AP AB mAB 2 11AC (m1)AB 2 11AC . BN BA AN AB 1 4AC . BP 不BN 共线，1 4(m1) 2
6、 110，m 3 11. 3 11 理网络明结构 题型三 向量坐标法在平面几何中的运用 例3 已知在等腰ABC中，BB，CC是两腰上的中线，且 BBCC，求顶角A的余弦值的大小. 解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)， C(c,0)，则B(c,0)， OA (0，a)，BA (c，a)，OC (c,0)，BC (2c,0). 因为BB、CC为AC、AB边的中线， 所以 BB 1 2(BC BA ) 3c 2 ，a 2 ， 理网络明结构 同理 CC 3c 2 ，a 2 . 因为 BB CC ，所以 BB CC 0， 即9c 2 4 a 2 4 0，a29c2， 又 cos A AB
7、AC |AB |AC | a 2c2 a2c2 9c2c2 9c2c2 4 5. 即顶角 A 的余弦值为4 5. 理网络明结构 反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关 点不向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运 算，从而解决问题.这种解题方法具有普遍性. 理网络明结构 跟踪训练 3 若等边ABC 的边长为 2 3， 平面内一点 M 满足CM 1 6CB 2 3CA ，则MA MB _. A(0,3)，B( 3，0)，M(0,2)， 解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题 设条件即可知 MA (0,1)， MB ( 3，2). MA MB 2. -2 理网络明结构 呈重点、现规律 1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这 两种丌同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论 上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示 的代数法，在具体做题时要善于从丌同的角度考虑问题. 理网络明结构 2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量 的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解， 这是研究平面向量最重要的方法不技巧.
