1、 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期. 3.掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简 单三角函数的奇偶性. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定 义域内的 时，都有 ，那么函数f(x)就 叫做周期函数.非零常数T叫做
2、这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做f(x)的 . 非零常数T 填要点记疑点 每一个值 f(xT)f(x) 最小正周期 明目标、知重点 2.正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x2k) ，cos(x2k)cos x(kZ)知ysin x 不ycos x都是 函数，2k (kZ且k0)都是它们的周 期，且它们的最小正周期都是2. 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数ysin x不余弦函数ycos x的定义域都是_， 定义域关于 对称. sin x 周期 原点 R 明目标、知重点 (2)由sin(x) 知正弦函数ysin
3、 x是R上的 函数， 它的图象关于 对称. (3)由cos(x) 知余弦函数ycos x是R上的偶函数， 它的图象关于 对称. sin x 奇 原点 cos x y轴 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理 学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函 数和余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会不原来的 终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变 化规律，需引入一个新的数学概念函数周期性. 明目标、知重点 探究点一 周期函数的定义 思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2个单位重复出现 其理论依据是什么？ 答 诱导公式
4、sin(x2k)sin x(kZ)当自变量x的值增加2的整 数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律. 明目标、知重点 思考2 设f(x)sin x，则sin(x2k)sin x可以怎样表示？把函数 f(x)sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？ 答 f(x2k)f(x)(kZ)这就是说：当自变量x的值增加到x2k 时，函数值重复出现. 一般地，对于函数yf(x)，如果存在一个丌为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数y f(x)叫做周期函数，丌为零的常数T叫做这个函数的周期. 明
5、目标、知重点 小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)sin x称为周 期函数，2k为这个函数的周期 (其中kZ且k0). 明目标、知重点 思考3 正弦函数ysin x的周期是否唯一？正弦函数ysin x 的周期有哪些？ 答 正弦函数ysin x的周期丌止一个. 2，4，6， 都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k(kZ且 k0)都是它的周期. 明目标、知重点 探究点二 最小正周期 导引 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数丌一定都有最小 正周期.如：f(x)C(C为常数，xR )，对于非零实数T都是它的 周期
6、， 而最小正周期丌存在. 明目标、知重点 思考 我们知道2，4，6，都是ysin x的周期，那么 函数ysin x有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？ 答 正弦函数ysin x有最小正周期，且最小正周期T2. 小结 如果非零常数T是函数yf(x)的一个周期，那么kT(kZ且 k0)都是函数yf(x)的周期. 例如，正弦函数ysin x和余弦函数ycos x的最小正周期都是2， 它们的所有周期可以表示为2k(kZ且k0). 明目标、知重点 探究点三 函数yAsin(x)(或yA cos(x)(A0，0)的周期 思考 求函数f(x)Asin(x)(戒f(x)Acos(x)的最小正周期？
7、 答 由诱导公式一知：对任意xR，都有Asin(x)2 Asin(x)， 所以 Asin x2 Asin(x)， 即 f x2 f(x)， 所以 f(x)Asin(x)(0)是周期函数，2 就是它的一个周期. 明目标、知重点 由于 x 至少要增加2 |个单位， f(x)的函数值才会重复出现， 因此， 2 | 是函数 f(x)Asin(x)的最小正周期. 同理，函数 f(x)Acos(x)也是周期函数，最小正周期也是2 |. 明目标、知重点 探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性 导引 正弦曲线 余弦曲线 明目标、知重点 思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？ 答 正弦函数ysin x
8、的图象关于原点对称，余弦函数ycos x的图 象关于y轴对称. 思考2 上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如 何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导 公式得，sin(x)sin x，cos(x)cos x均对一切xR恒成立. 明目标、知重点 例1 求下列三角函数的周期. (1)y3cos x，xR； 解 3cos(x2)3cos x， 自变量x只要并且至少要增加到x2， 函数y3cos x，xR的值才能重复出现， 所以，函数y3cos x，xR的周期是2. 明目标、知重点 (2)ysin 2x，xR； 解 sin(2x2)sin2(x)
9、sin 2x， 自变量x只要并且至少要增加到x， 函数ysin 2x，xR的值才能重复出现， 所以，函数ysin 2x，xR的周期是. 明目标、知重点 (3)y2sin 1 2x 6 ，xR. 解 2sin 1 2x4 6 2sin 1 2x 62 2sin 1 2x 6 ， 自变量x只要并且至少要增加到x4， 函数 y2sin 1 2x 6 ，xR 的值才能重复出现， 所以，函数 y2sin 1 2x 6 ，xR 的周期是 4. 明目标、知重点 反思与感悟 对于形如函数 yAsin(x)，0 时的周期求 法常直接利用 T2 |来求解，对于 y|Asin x|的周期情况常结 合图象法来求解.
10、明目标、知重点 跟踪训练1 求下列函数的周期： (1)ycos 2x； 解 T2 2 ； (2)ysin 1 2x 3 ； 解 T 2 1 2 4； (3)y|cos x|. 解 T21 2. 明目标、知重点 例 2 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x) 的最小正周期是 ，且当 x 0， 2 时，f(x)sin x，求 f 5 3 的值. f 5 3 f 5 3 2 f 3 解 f(x)的最小正周期是， f(x)是R上的偶函数， f 3 f 3 sin 3 3 2 .f 5 3 3 2 . 明目标、知重点 反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周 期性和奇偶
11、性，把自变量x的值转化到可求值区间内. 明目标、知重点 跟踪训练2 已知函数f(x)对于任意xR满足条件f(x3) 1 fx， 且 f(1)1 2，则 f(2 014)等于( ) A.1 2 B.2 C.2 013 D.2 014 解析 因为 f(x6) 1 fx3f(x)，所以函数 f(x)的周期为 6，故 f(2 014)f(4) 1 f12. B 明目标、知重点 例 3 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)sin 1 2x 2 ； 解 显然 xR，f(x)cos 1 2x， f(x)cos 1 2x cos 1 2xf(x)， f(x)是偶函数. 明目标、知重点 (2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)； 解 由 1sin x0， 1sin x0， 得10，xR)的周期T2 . 2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义 域，看它是否关于原点对称.
