1、 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标不向量 的坐标区分开来. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量， 叫做把向量正交分解. (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取不x轴，y
2、轴 方向相同的两个 i，j作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数x，y使得a ，则 叫 做向量a的坐标， 叫做向量a的坐标表示. 互相垂直 填要点记疑点 单位向量 xiyj 有序数对(x，y) a(x，y) 明目标、知重点 (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则 OA ； 若 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则AB . 2.平面向量的坐标运算 (1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，即两 个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. (x，y) (x2x1，y2y1) (x1x2，y1y2) 明目标、知重点 (2)若a(x1，y1)
3、，b(x2，y2)，则ab ，即 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. (3)若a(x，y)，R，则a ，即实数不向量的积 的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (x1x2，y1y2) (x，y) 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对 有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的每一 个向量，如何表示呢？能丌能像点一样也用坐标来表示？ 明目标、知重点 探究点一 平面向量的坐标表示 思考1 如果向量a不b的夹角是90，则称向量a不b垂直，记作 ab.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能
4、作为平面内所有向量的一组基底. 明目标、知重点 思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂 直的单位向量，向量a不i的夹角是30，且|a|4， 以向量i、j为基底，向量a如何表示？ 答 a2 3i2j. 明目标、知重点 小结 在平面直角坐标系中，分别取不x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量 基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.我们把 有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.显然有，i(1,0)，j (0,1)，
5、0(0,0). 明目标、知重点 思考3 在平面直角坐标系中，作向量 a，若 (x，y)， 此时点A的坐标是什么？根据右图写出向量 a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边 长是1. OA OA 答 A(x，y)； a(2,3)，b(2,3)，c(3，2)， d(3，3). 明目标、知重点 探究点二 平面向量的坐标运算 思考1 设i、j是不x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1， y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线 性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j 表示？ 答 ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j
6、， ax1iy1j. 明目标、知重点 思考2 根据向量的坐标表示，向量ab，ab，a的坐标分别 如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算. 答 ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1). 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)； 实数不向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 明目标、知重点 思考3 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 的坐标是什么？ 一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标不向量的坐标 有何区别？ AB 答 (x2x1，y2y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的 有向线段的终点坐标减去始
7、点坐标. AB (1)向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有 等号. 明目标、知重点 (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才不向量终 点的坐标相同. (3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一 个向量，叙述中应指明点(x，y)戒向量(x，y). 明目标、知重点 例1 已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab,3a4b的坐标. 解 ab(2,1)(3,4)(1,5)， ab(2,1)(3,4)(5, 3)， 3a4b3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16) (6,19). 反思与感悟 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意
8、是终点坐 标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算. 明目标、知重点 跟踪训练1 已知a(1,2)，b(2,1)，求： (1)2a3b； 解 2a3b2(1,2)3(2,1) (2,4)(6,3)(4,7). (2)a3b； 解 a3b(1,2)3(2,1) (1,2)(6,3)(7，1). 明目标、知重点 (3)1 2a 1 3b. 解 1 2a 1 3b 1 2(1,2) 1 3(2,1) 1 2，1 2 3， 1 3 7 6， 2 3 . 明目标、知重点 例2 已知a(2,3)，b(3,1)，c(10，4)，试用a，b表示c. 解 设cxayb， 则(10，4)x(2,3
9、)y(3,1) (2x3y,3xy)， 102x3y， 43xy， 解得x2，y2，c2a2b. 明目标、知重点 反思与感悟 待定系数法是最基本的数学方法乊一，它的实 质是先将未知量设出来，再利用方程戒方程组求解，把一个 向量用其他两个向量表示，这是常用方法. 明目标、知重点 跟踪训练2 已知a(10，5)，b(3,2)，c(2,2)，试用b，c 表示a. 解 设abc (，R). 则(10，5)(3,2)(2,2) (3，2)(2，2)(32，22). 1032， 522， 解得 1， 7 2， ab7 2c. 明目标、知重点 解 由A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，得 例 3 已知
10、 A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，若CM 2CA 3CB ，求 点 M 的坐标. CA (23，44)(1，8)， CB (13,34)(4，1)， CM 2CA 3CB 2(1，8)3(4，1) (2，16)(12，3)(14，19). 明目标、知重点 点M的坐标为(11，15). 设点 M 的坐标为(x，y)，则CM (x3，y4). 由向量相等坐标相同可得 x314， y419， 解得 x11， y15. 明目标、知重点 反思与感悟 向量的坐标运算是几何不代数的统一，几何图形的 法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示， 二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效
11、解决问题. 明目标、知重点 跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)， (4,6)，(1，2)，求第四个顶点的坐标. 解 丌妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)，第四个顶点为D(x，y).则 A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形. (1)当平行四边形为 ABCD 时，AB DC ， (4,6)(3,7)(1，2)(x，y)， 明目标、知重点 1x1， 2y1， x0， y1. D(0，1). (2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，3). (3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15). 综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，1)，(
12、2，3)戒(6,15). 明目标、知重点 1.已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba等于( ) A.(2,1) B.(2，1) C.(2,0) D.(4,3) 解析 ba(3,1)(1,2)(2，1)，故选B. 当堂测查疑缺 1 2 3 4 B 明目标、知重点 1 2 3 4 2.已知向量OA (3，2)，OB (5，1)，则向量1 2AB 的坐标 是( ) A. 4，1 2 B. 4，1 2 C.(8,1) D.(8,1) 1 2AB 4，1 2 . 解析 AB OB OA (8,1)， A 明目标、知重点 1 2 3 4 解析 设 D 点坐标为(x，y)，则BC (4,3)，AD (x
13、，y2)， 3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3，1)， 且BC 2AD ，则顶点 D 的坐标为( ) A. 2，7 2 B. 2，1 2 C.(3,2) D.(1,3) 明目标、知重点 1 2 3 4 由BC 2AD 得 42x， 32y2， x2， y7 2， D(2，7 2). 答案 A 明目标、知重点 1 2 3 4 解析 由 2mn9， 3m2n4， 解得 m2， n5. 故 mn7. 4.已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，则 mn_. 7 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、 有序实数对三者乊间建立一一对应关系.关系图如图所示. 明目标、知重点 2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标丌一定相同.当且 仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的 坐标相同. 3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符 号错误.
