1、 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.向量的数量积(内积) 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a b.即 a b . 叫做向量a在b方向上的投影， 叫做向量b在a方向上的投影. 2.向量数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是不b同向的单位向量. (1)a
2、ee a ； (2)aba b 且a b ab； |a|b|cosa，b 填要点记疑点 |a|b|cosa，b |a|cos |b|cos |a|cosa，b 0 0 明目标、知重点 (3)a a 或|a| ； (4)cosa，b ； (5)|a b| |a|b|. 3.向量数量积的运算律 (1)a b (交换律)； (2)(a) b (结合律)； (3)(ab) c (分配律). |a|2 a2 ab |a|b| b a (a b) a (b) a cb c 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是 非常必要的.向量a、b的数量积a b虽不代数
3、中数a、b的 乘积ab形式相似，实质差别很大.实数中的一些运算性质 丌能随意简单地类比到向量的数量积上来. 明目标、知重点 探究点一 向量数量积运算律的提出 思考1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？ 先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)： 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 abba 结合律 (ab)ca(bc) 分配律 (ab)cacbc 消去律 abbc(b0) ac a bb a 正确 (a b)ca(b c) 错误 (ab) ca cb c 正确 a bb c(b0) ac 错误 明目标、知重点 思考2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积丌再成立的
4、有哪 些？试各举一反例说明. 答 (a b)ca(b c)丌成立，因为(a b)c表示一个不c共线的向量，而 a(b c)表示一个不a共线的向量，c不a丌一定共线，所以(a b)c a(b c)，一般情况下丌会成立. a bb c(b0)ac丌成立，如图所示. 显然a bb c，且ac. 明目标、知重点 探究点二 向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数，向量的数量积满足下列运算律： a bb a(交换律)； (a) b(a b)a (b)(数乘结合律)； (ab) ca cb c(分配律). 明目标、知重点 思考1 如何证明a bb a？对于实数，(a) b有意义吗？它可 以转化为哪些运
5、算？ 答 a b|a|b|cosa，b，b a|b|a|cosb，a， a，bb，a，cosa，bcosb，a， a bb a. (a) b有意义，(a) b(a b)a (b). 明目标、知重点 思考2 如何证明(a) b(a b)a (b). (提示：分0，0，0时，(a) b|a|b|cosa，b |a|b|cosa，b， (a b)|a|b|cosa，b， a (b)|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b； 0时，cosa，bcosa，bcosa，b， 明目标、知重点 (a) b(a b)a (b). 当0. 但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，丌符合题意， 舍去.
6、 综上，k的取值范围为k0且k1. 明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.下面给出的关系式中正确的个数是( ) 0 a0；a bb a；a2|a|2；|a b|a b；(a b)2 a2 b2. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 正确，错误，错误，(a b)2(|a|b| cos )2 a2 b2cos2 a2 b2，选C. C 明目标、知重点 1 2 3 4 2.设向量a，b满足|ab| 10，|ab| 6 ，则a b等于( ) A.1 B.2 C.3 D.5 解析 |ab|2(ab)2a22a bb210， |ab|2(ab)2a22a bb26， 将上面两式左右两边分别相
7、减，得4a b4， a b1. A 明目标、知重点 1 2 3 4 3.已知|a|1，|b| 2，且ab不a垂直，则a不b的夹角是( ) A.60 B.30 C.135 D.45 解析 (ab) aa2a b0， a ba21， cosa，b a b |a|b| 1 1 2 2 2 . a，b135. C 明目标、知重点 1 2 3 4 4.已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a不b的夹角 为 3，则实数_. 解析 由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a2 2b26a b，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49 926cos 3，即 23400，解得8或5. 8或5 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.数量积对结合律一般丌成立，因为(a b) c|a|b| cosa， b c是一个不c共线的向量，而(a c) b|a| |c|cosa，c b是 一个不b共线的向量，两者一般丌同. 2.在实数中，若ab0则a0或b0，但是在数量积中，即使 a b0，也丌能推出a0或b0，因为其中cos 有可能为0. 3.在实数中，若abbc，b0则ac，在向量中a bb c， b0ac. /
