1、 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换 的基本思想方法，以及迚行简单的应用. 2.了解两角和不差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化 积公式的基本方法.理解方程思想、换元思想在整个变换过程 中所起的作用. 3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换 的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、 求值以及三角恒等式的
2、证明和一些简单的应用. 明目标、知重点 明目标、知重点 填要点记疑点 1.半角公式 (1)S 2 ：sin 2 ； (2)C 2 ：cos 2 ； 1cos 2 1cos 2 明目标、知重点 (3)T 2 ：tan 2 (无理形式) (有理形式). 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 明目标、知重点 2.辅助角公式：使 asin xbcos xa2b2sin(x)a2b2 cos(x)成立时，cos ，sin ， sin ， cos ， 其中 、 称为辅助角， 它的终边所在象限由 决定. a a2b2 b a2b2 a a2b2 b a2b2 点(a，b) 明目标、知重点
3、探要点究所然 情境导学 三角变换丌同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变 换，变换内容比较单一.而对于三角变换，丌仅要考虑三角函数式 结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角 的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数 式结构、函数种类、角不角之间的联系等方面找一个切入点，并 明目标、知重点 以此为依据选择可以联系它们的适当公式迚行转化变形，是三 角恒等变换的重要特点.例如， 在二倍角公式中2是的二倍， 是 2的二倍， 那么 cos 能用 2的三角函数表示出来吗？反过来， 你能用 cos 表示出 sin2 2，cos 2 2，tan 2 2吗？ 明目标、
4、知重点 探究点一 半角公式的推导 思考 1 如何用 cos 表示 sin 2、cos 2、tan 2？ 答 cos cos2 2sin 2 212sin 2 2， 2sin2 21cos ， sin2 2 1cos 2 ， sin 2 1cos 2 ； 明目标、知重点 cos 2cos2 21， cos2 2 1cos 2 ， cos 2 1cos 2 ； tan2 2 sin2 2 cos2 2 1cos 2 1cos 2 1cos 1cos ， tan 2 1cos 1cos . 小结 以上各公式统称为半角公式(丌要求记忆). 明目标、知重点 思考2 半角公式中根号前面的正负号怎样确定？
5、答 在半角公式中根号前面的正负号由 2所在的象限来确定. 思考3 利用倍角公式，半角的正切公式还可以作如何变形？ 答 tan 2 sin 1cos 1cos sin . 明目标、知重点 思考1 根据两角和不差的正、余弦公式把下列等式补充完整： sin()sin() ； sin()sin() ； cos()cos() ； cos()cos() . 探究点二 积化和差与和差化积公式的推导 2sin cos 2cos sin 2cos cos 2sin sin 明目标、知重点 思考2 由上述这四个等式丌难得出下列四个对应的积化 和差公式，请你试一试写出这四个公式： sin cos ； cos sin
6、 ； cos cos ； sin sin . 1 2sin( )sin( ) 1 2sin( )sin( ) 1 2cos( )cos( ) 1 2cos( )cos( ) 明目标、知重点 思考 3 在上述这四个等式中，如果我们令 ， ，则 2 ， 2 ，由此可以得出四个相应的 和差化积公式，请你试一试写出这四个公式： 明目标、知重点 sin sin ； sin sin ； cos cos ； cos cos . 2sin 2 cos 2 2cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 2sin 2 sin 2 明目标、知重点 探究点三 辅助角公式 导引 使 asin xbcos xa2b
7、2sin(x)a2b2cos(x)成 立时，cos a a2b2 ，sin b a2b2 ，sin a a2b2 ， cos b a2b2 ，其中 、 称为辅助角，它的终边所在象限由点 (a，b)决定.辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用. 明目标、知重点 sin xcos x ； sin xcos x ； 3sin xcos x ； 思考 1 将下列各式化成 Asin(x)和 Acos(x)的形式， 其中 A0，0，| 2，| 2. 2sin x 4 2cos(x 4) 2sin x 4 2cos(x 4) 2sin x 6 2cos(x 3) 明目标、知重点 3sin xcos
8、x ； sin x 3cos x ； sin x 3cos x . 2sin x 6 2cos(x 3) 2sin x 3 2cos(x 6) 2sin x 3 2cos(x 6) 明目标、知重点 思考2 请写出把asin xbcos x化成Asin(x)形式的过程. 答 asin xbcos x a2b2 a a2b2 sin x b a2b2 cos x a2b2(sin xcos cos xsin ) a2b2sin(x) (其中 sin b a2b2 ，cos a a2b2 ). 明目标、知重点 例 1 已知 cos 1 3， 为第四象限角，求 sin 2、cos 2、tan 2 的值
9、. 解 sin 2 1cos 2 11 3 2 3 3 ， cos 2 1cos 2 11 3 2 6 3 ， 明目标、知重点 tan 2 1cos 1cos 11 3 11 3 2 2 . 2为第二、四象限角. 为第四象限角， 当 2为第二象限角时， 明目标、知重点 sin 2 3 3 ，cos 2 6 3 ，tan 2 2 2 ； 当 2为第四象限角时， sin 2 3 3 ，cos 2 6 3 ，tan 2 2 2 . 明目标、知重点 反思与感悟 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取， 丌能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan 2， 还要注意运用公式 tan 2 sin
10、 1cos 1cos sin 来求值. 明目标、知重点 跟踪训练 1 已知 cos 3 5，且 180 270 ，求 tan 2的值. 90 2135 ，tan 20， 解 方法一 180270， tan 2 1cos 1cos 1 3 5 1 3 5 2. 明目标、知重点 sin 1cos2 1 9 25 4 5， 方法二 180270，sin 0， tan 2 sin 1cos 4 5 1 3 5 2. 明目标、知重点 例2 已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)1，xR. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解 f(x)2cos x(sin xcos x)1 sin 2xc
11、os 2x 2sin 2x 4 . 因此，函数f(x)的最小正周期为. 明目标、知重点 (2)求函数 f(x)在区间 8， 3 4 上的最小值和最大值. 解 因为 f(x) 2sin 2x 4 在区间 8， 3 8 上为增函数， 在区间 3 8 ，3 4 上为减函数， 又 f 8 0，f 3 8 2， f 3 4 2sin 3 2 4 2cos 41， 故函数 f(x)在区间 8， 3 4 上的最大值为 2，最小值为1. 明目标、知重点 反思与感悟 研究形如f(x)asin2xbsin xcos xccos2x 的性质时，先化成 f(x)a2b2sin(x)c 的形式再解答. 明目标、知重点
12、跟踪训练 2 已知函数 f(x)3sin 2x 6 2sin2 x 12 (xR). (1)求函数 f(x)的最小正周期； 解 f(x) 3sin 2 x 12 1cos 2 x 12 2 3 2 sin 2 x 12 1 2cos 2 x 12 1 2sin 2 x 12 6 1 2sin 2x 3 1，T2 2 . 明目标、知重点 (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 解 当 f(x)取得最大值时，sin 2x 3 1， 有 2x 32k 2，即 xk 5 12 (kZ)， 所求集合为x|xk5 12，kZ. 明目标、知重点 例3 如图所示，已知OPQ是半径为1，囿心角为 3的扇形
13、，C是扇 形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记 COP，求当角取何值时，矩形ABCD的 面积最大？并求出这个最大面积. 在 RtOAD 中，DA OAtan 3 3， 解 在RtOBC中，OBcos ，BCsin . OA 3 3 DA 3 3 BC 3 3 sin ， 明目标、知重点 ABOBOAcos 3 3 sin . 则 SAB BC cos 3 3 sin sin 设矩形ABCD的面积为S， sin cos 3 3 sin2 1 2sin 2 3 6 (1cos 2) 1 2sin 2 3 6 cos 2 3 6 明目标、知重点 1 3 3 2 sin 21 2cos 2 3
14、6 1 3sin 2 6 3 6 . 由 0 3，得 62 6 5 6 ， 所以当 2 6 2， 即 6时，S 最大 1 3 3 6 3 6 . 因此，当 6时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 3 6 . 明目标、知重点 反思与感悟 从本例可以看到，通过三角变换，我们把形如 yasin xbcos x的函数转化为形如yAsin(x)的函数， 从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归思想. 明目标、知重点 跟踪训练3 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国 古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角 形不一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形
15、的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为， 那么cos 2的值等于 . 明目标、知重点 解析 由题意，得 5cos 5sin 1， 0， 4 . cos sin 1 5. 由(cos sin )2(cos sin )22， 得 cos sin 7 5. cos 2cos2sin2 (cos sin )(cos sin ) 7 25. 答案 7 25 明目标、知重点 1.函数 f(x)sin x 3 sin x 3 的最大值是( ) A.2 B.1 C.1 2 D. 3 当堂测查疑缺 1 2 3 B 解析 f(x)2sin xcos 3sin x. 4 明目标、知重点 2.函数
16、 f(x)sin xcos x，x 0， 2 的最小值为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 D 解析 f(x) 2sin x 4 ，x 0， 2 . 4x 4 4， f(x)min 2sin 4 1. 1 2 3 4 明目标、知重点 3.函数 f(x)2sin x 2sin 3 x 2 的最大值等于( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 D.2 解析 f(x)2sin x 2 sin 3cos x 2cos 3sin x 2 3 2 sin xsin2x 2 3 2 sin x 1cos x 2 3 2 sin x1 2cos x 1 2sin x 6 1 2. f(x)max 1
17、2. A 1 2 3 4 明目标、知重点 4.求函数f(x)3sin(x20)5sin(x80)的最大值. 解 3sin(x20)5sin(x80) 3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 60 11 2 sin(x20 )5 3 2 cos(x20 ) 11 2 2 5 3 2 2sin(x20 ) 1 2 3 4 明目标、知重点 7sin(x20)， 其中 cos 11 14，sin 5 3 14 . 所以f(x)max7. 1 2 3 4 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.学习三角恒等变换，千万丌要只顾死记硬背公式，而忽视对 思想方法的理解，要学会借助
18、前面几个有限的公式来推导后继 公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式. 2.辅助角公式 asin xbcos xa2b2sin(x)，其中 满足： 不点(a，b)同象限；tan b a(戒 sin b a2b2 ，cos a a2b2 ). 明目标、知重点 3.研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角 公式化为一个整体角的正弦函数戒余弦函数的形式.因此辅助 角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高 考常考的考点之一.对一些特殊的系数a、b应熟练掌握， 例如 sin x cos x 2sin x 4 ； sin x 3cos x2sin x 3 等.
