1、 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积 的坐标表示迚行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的 距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.平面向量数量积的坐标表示 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a b . 即两个向量的数量积等于 . 2.
2、两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则ab . x1x2y1y2 填要点记疑点 相应坐标乘积的和 x1x2y1y20 明目标、知重点 3.平面向量的模 (1)向量模公式：设a(x1，y1)，则|a| . (2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 . 4.向量的夹角公式 设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos . x2 1y 2 1 |AB | x2x12y2y12 a b |a|b| x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 2y 2 2 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 在平面直角坐标系
3、中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个 平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学 习了平面向量的数量积乊后，它能否用坐标来表示？若能，如何 通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？ 同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两 个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探 索平面向量数量积的坐标表示. 明目标、知重点 探究点一 平面向量数量积的坐标表示 思考1 已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，怎样用a与b 的坐标表示a b? 答 ax1iy1j，bx2iy2j， a b(x1iy1j) (x2iy2j) x1x2i2
4、x1y2i jx2y1j iy1y2j2. 又i i1，j j1，i jj i0， a bx1x2y1y2. 明目标、知重点 思考2 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a bx1x2y1y2，这就是平 面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？ 答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 明目标、知重点 例1 已知a与b同向，b(1,2)，a b10. (1)求a的坐标； 解 设ab(，2) (0)，则有a b410，2， a(2,4). (2)若c(2，1)，求a(b c)及(a b)c. 解 b c12210，a b122410， a(b c)0a0， (a b)c10
5、(2，1)(20，10). 明目标、知重点 反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算 性质不同.同时本例迚一步验证了平面向量的数量积不满足结 合律. 明目标、知重点 跟踪训练1 若a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，则(a b) c _；a (b c)_. 解析 a b2(1)3(2)8， (a b) c8(2,1)(16，8). b c(1)2(2)14， a (b c)(2,3)(4)(8，12). (16，8) (8，12) 明目标、知重点 探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考1 若a(x，y)，如何计算向量的模|a|? 答 axiyj， a2(xiy
6、j)2(xi)22xyi j(yj)2 x2i22xy i jy2j2. 又i21，j21，i j0， a2x2y2，|a|2x2y2， |a| x2y2. 明目标、知重点 思考2 如图，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量 的模？ 答 AB OB OA AB (x2，y2)(x1，y1) (x2x1，y2y1)， |AB |x2x12y2y12. 明目标、知重点 思考1 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则x1，y1，x2， y2乊间的关系如何？反乊成立吗？ 答 abx1x2y1y20. 思考2 设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与
7、b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？ 答 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2 . 探究点三 平面向量夹角的坐标表示 明目标、知重点 例如，(1)若a(3,0)，b(5,5)，则a与b的夹角为_. (2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则ABC的形状是_三 角形. 3 4 直角 明目标、知重点 例2 已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使 得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹 角为锐角. 解 设a与b的夹角为， 则a b(1,2) (1，)12. (1)因为a与b的夹角为直角
8、，所以cos 0， 所以a b0，所以120，所以1 2. (2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且a，b不同向. 由a b0，得 1 2 ，由a与b同向得2. 所以 的取值范围为 1 2，2 (2，). 明目标、知重点 反思与感悟 由于两个非零向量a，b的夹角满足0180， 所以用cos ab |a|b|来判断，可将分五种情况：cos 1，0； cos 0，90；cos 1，180；cos 0且cos 1，为锐角. 明目标、知重点 跟踪训练2 已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝 角，求的取值范围. 解 a(1，1)，b(，1)， |a| 2，|b|12，a b1. a，b
9、的夹角为钝角. 10， 2121， 即 1， 2210. 1且1. 的取值范围是(，1)(1,1). 明目标、知重点 例3 已知在ABC中，A(2，1)、B(3,2)、C(3，1)，AD为 BC边上的高，求 与点D的坐标. 解 设点D的坐标为(x，y)， 则AD (x2，y1)，BC (6，3)， |AD | BD (x3，y2)， 存在实数 ，使BD BC ， 即(x3，y2)(6，3). 明目标、知重点 x36， y23. x32(y2)，即x2y10. 又ADBC，AD BC 0， 即(x2，y1) (6，3)0， 6(x2)3(y1)0. 即2xy30. 明目标、知重点 由可得 x1，
10、 y1， 即 D 点坐标为(1,1)，AD (1,2). |AD |1222 5， 即|AD | 5，D(1,1). 明目标、知重点 反思与感悟 在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常 见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方 程组迚行求解. 明目标、知重点 跟踪训练3 以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角OAB， B90，求点B和 的坐标. AB 解 设 B(x，y)，则|OB |x2y2， B(x，y)，A(5,2)，|AB |x52y22. 又|AB |OB |，x52y22x2y2. 可得10x4y29， 又OB (x，y)，AB (x5，y2)，且OB AB ，
11、 明目标、知重点 OB AB 0，x(x5)y(y2)0， 即x25xy22y0， 由解得 x13 2， y17 2， 或 x27 2， y23 2. B 3 2， 7 2 或 7 2， 3 2 . AB 7 2， 3 2 或AB 3 2， 7 2 . 明目标、知重点 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为( ) B 解析 |a| 10，|b| 5，a b5. cosa，b a b |a|b| 5 10 5 2 2 . 又a，b的夹角范围为0，. a 与 b 的夹角为 4. 明目标、知重点 1 2 3 4 2.
12、已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等 于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 解析 (2ab) b2a b|b|2 2(1n2)(1n2)n230， n23.|a| 12n22. C 明目标、知重点 1 2 3 4 解析 BC AC AB (2,3)(k,1)(2k,2)， 3.在ABC 中，C90 ，AB (k,1)，AC (2,3)，则 k 的值为 _. AC (2,3)，BC AC 2(2k)60，k5. 5 明目标、知重点 4.已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(a b)b，则|c| _. 解析 a(2,4)，b(1,2)，a b2(1)426， ca6b，c2a212a b36b220126365128. |c|8 2. 1 2 3 4 8 2 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决 平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力 的工具支持. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长 度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学 问题的能力. 明目标、知重点 3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可 以对比学习、记忆.若a(x1，y1)，b(x2，y2).则abx1y2 x2y10，abx1x2y1y20.
