1、第四章 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 1.理解圆与圆的位置关系的种类理解圆与圆的位置关系的种类； 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利能够利 用上述方法判定两圆的位置关系用上述方法判定两圆的位置关系； 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点 两圆位置关系的判定 思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位 置关系？ 答案 圆与圆的位置关系
2、有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、 内含. 答案 几何方法判断圆与圆的位置关系： 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1r2)，则 (1)当dr1r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当dr1r2 时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1r2|dr1r2 时，圆C1与圆C2相交； (4)当d|r1r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当d|r1r2|时，圆C1与圆C2内含. 思考2 已知两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2x E2yF20，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程， 当判别式0时，两
3、圆相交，当0时，两圆外切或内切， 当r1r212， 两圆外离. A (2)已知0r 1，则两圆x2y2r2与(x1)2(y1)22的位置关系是( ) A.内切 B.外切 C.内含 D.相交 解析 两圆的圆心分别为(0,0)，(1，1)， 解析答案 两圆相交. D 半径分别为 r， 2， 两圆心距 d102102 2， 0r 21， 0|r 2| 2， |r 2|d 2r 2. 2 类型二 两圆相交的问题 例2 已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80. (1)判断两圆的位置关系； 解 将两圆方程配方化为标准方程， C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，
4、解析答案 则圆 C1的圆心为(1，5)，半径 r15 2. 圆 C2的圆心为(1，1)，半径 r2 10. 又|C1C2|2 5，r1r25 2 10，r1r25 2 10， r1r2|C1C2|r1r2， 两圆相交. (2)求公共弦所在的直线方程； 解 将两圆方程相减， 得公共弦所在直线方程为x2y40. 解析答案 解 方法一 由(2)知圆C1的圆心(1，5)到 方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解析答案 反思与感悟 d |1254| 122 3 5， 公共弦长 l2r2 1d 22 50452 5. 直线x2y40的距离 x2y40， x2y22x2y80， 解得 x4
5、， y0， 或 x0， y2， 所以|AB| 4020222 5. 即公共弦长为 2 5. (3)求公共弦的长度. 跟踪训练2 (1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，1)，两圆圆心都在直线x yc0上，则mc的值为_. 解析 由题意知：直线AB与直线xyc0垂直， AB的中点坐标为(3,1)， AB的中点在直线xyc0上. 31c0，c2， mc523. 解析答案 3 31 1m 1，得 m5， kAB11， (2)求圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在直线 被圆C3：(x1)2(y1)2 所截得的弦长. 解 由题意将两圆的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的
6、直线l的方程为xy10. 圆C3的圆心为(1,1)， 解析答案 25 4 其到直线 l 的距离为 d|111| 1212 2 2 ， 由条件知，r2d225 4 1 2 23 4 ， 所以弦长为 2 23 2 23. 类型三 两圆相切问题 例3 (1)已知以C(4，3)为圆心的圆与圆O：x2y21相切，则圆C的 方程是_. 解析答案 解析 设圆C的半径为r， (x4)2(y3)216或(x4)2(y3)236 圆心距 d 4023025， 当圆C与圆O外切时，r15，r4， 当圆C与圆O内切时，r15，r6， 圆的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336. (2)已知两圆x2y
7、22x6y10和x2y210x12ym0.求： m取何值时两圆外切. 解析答案 m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 返回 跟踪训练3 若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切， 则m等于( ) A.21 B.19 C.9 D.11 解析 C2：x2y26x8ym0化为(x3)2(y4)225m. C1，C2两圆的圆心分别为(0,0)，(3,4)， 解析答案 C 两圆圆心距 d 3024025， 两圆半径分别为 1， 25m， 51 25m得 m9. 则dr1r2， 1 2 3 达标检测 4 解析答案 1.两圆x2y210和x2y24x2y40的位置关系是( ) A.内切
8、B.相交 C.外切 D.外离 解析 圆x2y210的圆心C1(0,0)，半径r11， 圆x2y24x2y40的圆心C2(2，1)，半径r23， B 两圆心距离 d|C1C2| 202102 5， 又r2r12，r1r24， 所以r2r1dr1r2， 故两圆相交. 1 2 3 4 解析答案 2.圆C1：x2y21与圆C2：x2(y3)21的内公切线有且仅有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2. B 1 2 3 4 3.若圆C1：x2y216与圆C2：(xa)2y21相切，则a的值为( ) A.3 B.5 C.3或5 D.3或
9、5 D 解析 圆 C1与圆 C2的圆心距 d a2002|a|. 当两圆外切时，有|a|415，a5， 解析答案 当两圆内切时，有|a|413，a3. 1 2 3 4 解析答案 4.圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直 平分线的方程是( ) A.xy30 B.2xy50 C.3xy90 D.4x3y70 解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排 除A、B、D. C 规律与方法 1.判断两圆的位置关系的方法： (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较 大，一般不用. (2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系. 2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在 的直线方程. 3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股 定理求弦长. 返回
