1、最新修正版第六讲 一元一次方程的定义【知识网络】等式和它的性质一元一次方程的解法一元一次方程一元一次方程的应用方程和它的解模块一：一元一次方程【引例】你能用你学过的知识解决一下几个问题吗？有哪些方法？1. 一本笔记本 1.2 元。小红有 6 元钱，那么她最多能买到基本这样的笔记本呢？2. 某校初中一年级 328 名师生乘车外出春游，已有2 辆校车可以乘坐 64 人，还需租用 44 座的客车多少辆?3. 在课外活动中，张老师发发现同学们的年龄大多是13 岁，就问同学：“我今年 45 岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一？”【知识导航】方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2.
2、 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x 的指数都是 1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。例如：1700+50x=1800，2(x+1.5x)=5 等都是一元一次方程。3. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。4最新修正版方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。【典型例题】例 1（1） 判断下列哪些是一元一次方程31112xx3x2xl12-3
3、=9 423535x23x+102x+yl3y1x-153x21（2）下列方程中，一元一次方程一共有() 9x + 2 ； 1 = 2 ； (1 - x)(1 + x) = 3； 1 x - 1 x = 1 ( x - 3)x352A1 个B.2 个C3 个D4 个例 2. 根据下列条件列出方程：（1） 某数比它大 4 倍小 3；（2） 某数的 1/3 与 15 的差的 3 倍等于 2；（3） 比某数的 5 倍大 2 的数是 17；（4） 某数的 3/4 与它的 1/2 的和为 5.（5）x 的 2 倍与 3 的差是 5。（6） 长方形的长比宽大 5，周长为 36，求长方形的宽。例 3(1)
4、当 x= 时，代数式的值相等.（2） 已知4x 2n-3 + 5 = 0 是关于 x 的一元一次方程，则n = .（3） 关于x 的方程(2k-1)x2-(2k+1)x+3=0 是一元一次方程,则k 值为()A.0B.1C.12D.2（4）若9axb7 与- 7a3 x-4 b 2 y-1 是同类项，则 x = , y = .例 4. （1）x=3 是下列哪个方程的解？（）A. 3x-1-9=0B. x=10-4xC. x(x-2)3D. 2x-712（2）方程 x = -6 的解是（）21A. 3.B 3C. 12D. 12（3）方程 3x-7y=6-y）A.x=0y=-1B.x=2y=0C
5、.x=1y=-12D.以上都是例 5. 根据下列问题，设未知数并列出方程：（1） 用一根长 24 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？（2） 一台计算机已使用 1700 小时，预计每月再使用150 小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2450 小时？（3） 某校女生占全体学生数的 52，比男生多 80 人，这个学校有多少学生？（4） 环形跑道一周长 400 米，沿跑道跑多少圈，可以跑3000 米？（5） 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔 20 支，两种铅笔各买了几支？【精练精学】1.（1）下列各式不是方程的是（）A. y 2
6、 - y = 4B. m = 2nC. p2 - 2 pq + q2D. y = 0（2）下列方程中是一元一次方程的是（） A 1 + x = 2x2. 列式表示：B 2x - 3y = 0C x - 1 = 4D x 2 + 4x + 5 = 0（1）比a 大 5 的数；（2）b 的三分之一；（3）x 的 2 倍与 1 的和；（4）x 的三分之一减y 的差；（5）比a 的 3 倍大 5 的数；（6）比 b 的一半小 7 的数.3.（1）若关于 x 的方程mxm-2 - m + 3 = 0 是一元一次方程，则m 是.（2） 方程（a-1）x2-ax+1=0 是一元一次方程，则a 等于（）A、0
7、B、1C、1D、-1（3） 若是2ab2c3 x+1 与-5abyc6 x-5 是同类项，则xy4（1）若 x = 1是方程5x + a = x - 3 的解，则a=.（2）如果4x + 8与3x - 7 的值互为相反数，则x 的值为.（3）如果3x + 2 = 8, 那么6x + 1 =（）A6B19C25D13x15. 若- 2 是关于 x 的方程3x + 4 =- a 的解，则a100 -2a100= .6. x时，代数式与代数式的差为 0；7.（1） 3 年前，父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，3 年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，求父子今年各是多少岁？ 设 3 年前儿子年龄为 x 岁
8、，则可列出方程：（2）某班学生为希望工程捐款 131 元，比每人平均 2 元还多 35 元。设这个班的学生有x 人，根据题意列方程为：最新修正版（ 3 ）一个梯形的下 底比上底 多 2 米， 高 5 米，面 积是 40 厘米，设上底 的长为 x，则可列出 方程：。模块二：等式的性质【知识导航】等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。等式的性质(1)用式子形式表示为： 如果 a=b，那么ac=bc。等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等。 等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c0)，那么 a
9、 = bcc注意：（1）在运用等式的性质 1 时，必须是在等式的两边同时加上（或减去）“同一个数”或“同一个式子”，不要漏掉等号的任何一边；（2）在运用等式的性质 2 时，应注意：不能在等式的两边同时除以0，因为 0 不能作除数.11最新修正版【典型例题】例 1.（1）设a=b，则(1)a-3=b-3； (2)-a=-b； (3)3a=3b； (4)- 1 a=- 1 b； (5)0a=0b； (6)22a = b00上述判断对不对?根据是什么？例 2.用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的(1)若 5x=4x+7，则 5x =7；(2)若 2a
10、=15，则 6a= ；(3)若-3y=18，则y= ； (4)若 a+8=b+8，则a= ；(5)若-5x=5y，则例 3.（1）根据等式性质， 把下列等式变成左边只剩下字母x，右边只是一个数的等式21 x+3=-102 3x=-9；3 2x+7=15；4 4- 1（2）方程4x - 5 y = 6, 用含x 的代数式表示y 得，用含y 的代数式表示x 得。5m + 15m + 1 m例 4. 要使与 互为相反数，那么443的值是 （）A 0B 20C 1D - 32020例 5. 利用等式的性质解下列方程：1（1）x+7=26;(2)-5x=20;(3) - 3 x - 5 = 4例 6.
11、当 x 等于什么数时，代数式 2x+1的值与代数式 5x -1 +1的值相等，并求出此时代数式 2x+1的值363【精练精学】1（1）在括号内填上所得等式成立的理由：1 由x - 1 = 3得x = 4 （）2 由 x = 5得x = 10 （）2（2） 回答下列问题：从 a+b=b+c，能否能到a=c，为什么？ 从 a-b=b-c，能否能到a=c，为什么？ 从 ab=bc，能否能到a=c，为什么？ 从 a/b=c/b，能否能到a=c，为什么？ 从 xy=1，能否能到x=1/y，为什么？（3） 下列变形不正确的是A、若 2x1=3，则 2x = 4B、若 3x = 6，则x =2 C、若x+3
12、=2,则x =1D、若1/2x=3,则x=6（4） 已x=y,下列变形中不一定正确的是A、x2=y2B、2x=2yC、ax=ayD、x/c2=y/c2（5） 已知，用含有x 的代数式表示y，得y= .2. 关于x 的方程a x+3=0 的解是负数,则a 一定是()A、正数B、非正数C、负数D、非负数3.（1）将等式 4x=2x+8 变形为x=4,下列说法正确的是（ ）A 运用了等式的性质 1，没有运用等式的性质 2 B 运用了等式的性质 2，没有运用等式的性质 1 C 既运用了等式的性质 1，又运用等式的性质 2 D 等式的两条性质都没有运用（2）将等式 3a2b=2a2b 变形，过程如下：
13、因为 3a2b=2a2b,所以 3a=2a所以 3=2上 述 过 程 中 ， 第 一 步 的 依 据 是， 第 二 步 得 出 错 误 结 论 ， 其 原 因是.4. 利用等式的性质解下列方程：（1）5x+4=0（2）-3x=x-9（3）0.4x=-21x1（4）3x+5= 2（5） - 6 - 5 = 3（6） 2 - 4 x = 35. 已知x=1/2 是关于x 的方程 4+x=3-2ax 的解，求a2+a+1 的值。6. x 为何值时， 3x - x + 3的值与3 互为倒数。55模块三：利用等式的性质解决实际应用问题【知识导航】列一元一次方程解实际问题。（1） 找等量关系是关键，也是难
14、点，并以文字形式写出（如大、小、多、少、倍、分等）；（2） 注意抓住基本等量关系，沟通不同量之间的关系，（如路程=速度 X 时间、总量各部分量的和）。注意：（1）在设未知数和书写答案时如果有单位，必须带单位，同一式中的各量单位要统一（2）未知数一旦设出，就可以把它看作已知数和其它已知条件一样参与列代教式【典型例题】例 1.小明去商店买练习本，回来后和同学说，店主告诉我，如果多买一些就给我 8 折优惠，我就买了 20本，结果便宜了 1.6 元，你猜原来每本价格是多少？（请你列出方程,并用等式的性质求解。）例 2 . 俄罗斯小说家契科夫的小=说家庭教师中，写了一位教师为一道算术题大伤脑筋。我们来看
15、看这道题。问题（买布问题）：顾客用 540 卢布买了两种布料共 138 尺，其中蓝布料每尺 3 卢布，黑布料每尺 5 卢布。两种布料各买了多少？（设蓝布料买了x 尺）【精练精学】1. 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买数量是前年的2 倍，今年购买数量又是去年的2 倍，前年这个学校购买了多少台计算机？设前年购买了计算机 x 台，可以表示出：去年购买计算机台，今年购买计算机台。根据问题中的相等关系：前年购买量去年购买量今年购买量140 台，列得方程.解这个方程。2. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人3 本，则剩余 20 本；如果每人 4 本，则还缺 25 本，这个班有多少学生？3. 从
16、 30 长的木条上零截出两段长度相等的木条后，还剩6 长的木条，求截去的每一段木条的长是多少？4. 世界上最大的动物是蓝鲸，一只鲸重 124 吨。比一头大象体重的 25 倍少一吨，这头大象重几吨？若已知大象的重量（如X 吨）如何求蓝鲸的重量？小故事大道理：眉毛与肚皮古时候，有位宰相请理发师给他修面，那理发师修面修到一半时，忽然停下刮刀，两眼直愣愣地看着宰相的肚皮。宰相见理发师傻乎乎发愣的样子，心里很是纳闷：这肚皮有什么好看的呢？就问道： “你为什么不好好修面，却看我的肚皮？” “听人们说，宰相肚里能撑船，我看您大人的肚皮并不大，怎么可以撑船呢？”宰相一听，哈哈大笑起来。 “那是讲宰相的心胸宽广
17、，能容天容地容古今，不会对鸡毛蒜皮的小事斤斤计较。”理发师一听这话，“扑通”一声跪倒在地：“小人该死，方才为您修面时一不小心，将您的眉毛刮掉了，万望您大德大量，恕小的一罪！”宰相听说自己的眉毛被刮了，不禁怒由心起，正准备发作，转念一想：刚才自己还讲宰相的肚量很大，我又怎好为这小事给他治罪呢？于是，只好说：“不妨，用眉笔把眉添上就行了。”大道理：聪明人在犯错误之后，会想方设法给自己找个台阶下。附加讲义（难度较大，供学有余力的同学自己完成）模块一：一元一次方程1.（1）已知方程(m+1)xm+3=0 是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（）A. 1B.1C.-1D.或（2）如果(m-1)x|m|
18、 +5x+3=0 是一元一次方程, 那么m2.（1）x是方程|k|（x2）3x 的解，那么k.（2）x9 是方程的解，那么，当1 时，方程的解；（3）已知：1- (3m - 5)2有最大值，则方程5m - 4 = 3x + 2 的解是.（4）若关于 x 的一元一次方程2x - k - x - 3k = 1的解是 x = -1,则k 的值是（）32A 2B1C - 13D07113.（1）若 x = 3 ，则 x - x =（2）若a，b 是互为相反数(a 0)，则一元一次方程， ax + b = 0的解是A1B - 1C - 1或 1D任意有理数.4 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，
19、p 的绝对值等于 2，则关于 x 的方程(a+b)x2+3cdxp2=0 的解为 。模块二：等式的基本性质（1）1.下列说法正确的是（）A、在等式ab=ac 中，两边都除以a，可得b=cabB、在等式a=b 两边都除以c2+1 可得bc=c 2 +1c2 +1C、在等式 a = a 两边都除以a，可得b=cD、在等式 2x=2a 一 b 两边都除以 2，可得x=a 一 b 2.（1）下列变形中，正确的是( )最新修正版A、若ac=bc，那么a=b。B、若 a = b ，那么a=bccC、 a b ，那么 a=b。D、若a 2 =b 2 那么 a=b（2）下列变形中，正确的是( )A、若- 3
20、= 8,则x = -12B、若ax = a,则x = 12C、若mx = my,则x = yD、若 x = y ,则x = ynn3. 根据等式的性质，完成下列问题（1） 从xy=1，能否等到 x = 1 ，为什么？y（2） 从 x y = y, 能否得到x=1,为什么？4. 利用等式的性质，由 m -1 = 3 n + 1 可得（）223（A） x = 2（B） x = 1(C) x = - 1(D) x = 0333模块三：等式的基本性质（2）1. x = 2 是方程ax - 4 = 0 的解，检验 x = 3 是不是方程2ax - 5 = 3x - 4a 的解2. 已知 x2m-3 + 6 = m 是关于 x 的一元一次方程，试求代数式(x - 3)2008的值13最新修正版3.（1）一件商品标价为a 元，打 9 折后，再打 9 折，那么现在的售价是 （2）一次买 10 斤鸡蛋打八折比打九折少花 2 元，则这 10 斤鸡蛋的原价是元4. 个两位数，个位上的数字是十位上数字的3 倍，它们的和是 12，那么这个两位数是多少？5. A、B 两桶油，从A 桶倒出1到 B 桶后，B 桶比A 桶还少 6 ，B 桶原有 30 油，则A 桶原有油多少46. 一个长方形如图所示，恰好分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1cm2，则这个长方形的面积为多少？
