2020年北京海淀区空中课堂初三数学第28课：平面几何中有关中点问题的研究 ppt课件 (共2份打包).zip

平面几何中有关中点问题的研究（上）2020年海淀区空中课堂初三年级数学学科第28课 线段的中点把线段分成相等的两部分,图形中出现中点可以引起我们丰富的联想：首先,它和三角形的中线紧密联系,若中点是在直角三角形的斜边上,又可以引用结论“斜边上的中线等于斜边的一半”；其次,中点又与三角形的中位线息息相关；另外,中点还可以与中心对称相联系.解答中点问题的关键是恰当的添加辅助线.类型一：倍长中线 凡是出现中线或经过线段中点的线段，可以考虑倍长该线段，从而构造SAS 型全等三角形，实现线段和角的等量转化特别的，当有中点的线段两端所连线段有平行关系时，延长中线或经过线段中点的线段即可.如图1：在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，倍长 AD 至 E，连接 BE，则 BDECDA（SAS）如图2：在ABC 中，点 D 为 BC 边上的中点，倍长 ED 至 F，连接 BF，则 BDFCDE（SAS）如图3：已知 ABCD，点 E 为 AD 边上的中点，延长 CE 交 AB 于 F，则 AFEDCE（AAS）类型一：倍长中线例1.如图，在 ABC 中，AB=12，AC=8，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是_.三边关系：三角形两边的差第三边三角形两边的和类型一：倍长中线例1.如图，在 ABC 中，AB=12，AC=8，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是_.解：如图，倍长 AD 至 E，连接 BEAD 是 BC 边上的中线 BD=CD又BDE=CDA，ED=ADBDECDA（SAS）BE=AC=8在 ABE 中，ABBEAEAB+BE即 42AD20 2AD10类型一：倍长中线 倍长中线其实也构成了“两条线段交于中点”的基本图形，当顺次连接线段的端点时，可以得到平行四边形这一中心对称图形，从而利用平行四边形的性质得到更多线段和角的关系，如图4所示.类型一：倍长中线类型二：构造中位线 凡是出现中点或中线时，可以考虑取另一边中点或延长三角形一边，从而构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质建立线段之间的数量和位置关系.如图5，在 ABC 中，点 D 是 AB 边上的中点，取 AC 中点 E，连接 DE，则 DEBC 且 .如图6，在 ABC 中，点 D 是 AC 边上的中点，倍长 AB 至 E，连接 EC，则 BDEC且 .类型二：构造中位线例2.如图，在 ABC 中，延长 BC 至 D，使得 ，过AC 的中点 E 作 EFCD (点 F 位于点 E 右侧），且 EF=2CD，连接 DF,若 AB=8，则 DF 的长为 _.寻求 DF 与 AB 的数量关系类型二：构造中位线例2.如图，在 ABC 中，延长 BC 至 D，使得 ，过AC 的中点 E 作 EFCD (点 F 位于点 E 右侧），且 EF=2CD，连接 DF,若 AB=8，则 DF 的长为 _.解：如图，取 BC 的中点 G，连接 EG，则 BG=CG=CD点 E 为 AC 中点 EF=2CD，BC=2CD=2CG EF=GD又EFCD 四边形 EFDG 为平行四边形 FD=EG=4类型二：构造中位线类型三：构造斜边中线 只要出现直角三角形或有直角，可以考虑连接斜边中线，从而由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得相等的线段，相等的角，为问题的解决提供更多的条件.如图7：在 RtABC 中，CAB=90，点 D 是 BC 边上的中点，连接 AD，则 .类型三：构造斜边中线例3.如图，在四边形 ABCD 中，DAB=90，DCB=90，E，F 分别是 BD，AC 的中点，AC6，BD10，则 EF 的长为_.基本图形：共斜边的两个直角三角形类型三：构造斜边中线例3.如图，在四边形 ABCD 中，DAB=90，DCB=90，E，F 分别是 BD，AC 的中点，AC6，BD10，则 EF 的长为_.类型三：构造斜边中线解：如图，连接 CE，AEDAB=DCB=90，点 E 是 BD 的中点又点 F 是 AC 的中点 CF=AF=3，EFAC在 RtCFE 中，类型四：构造“三线合一”只要等腰三角形底边有中点时，可以考虑连接底边中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到底边垂线和顶角的角平分线，从而寻求解题的突破口.如图8：在 ABC 中，AB=AC，点 D 为 BC 边上的中点，连接 AD，则 ADBC 且 AD 平分 BAC.类型四：构造“三线合一”例4.如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 边上的一点，AB=AD，E，F 分别是 AC，BD 的中点，EF2，则 AC 的长为_.类型四：构造“三线合一”例4.如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 边上的一点，AB=AD，E，F 分别是 AC，BD 的中点，EF2，则 AC 的长为_.类型四：构造“三线合一”解：如图，连接 AFAB=AD，点 F 是 BD 的中点AFBD AFC=90在 RtAFC 中，点 E 是 AC 的中点AC=2EF=4在正方形 ABCD 中，点 P 是射线 CB 上一个动点，连接 PA，PD，点 M，N 是 BC，AP 的中点，连接 MN 交 PD 于点 Q.（1）如图1，当点 P 与点 B 重合时，QPM 的形状是_；（2）当点 P 在线段 CB 的延长线上时，如图2.依题意补全图2；判断 QPM 的形状，并加以证明；思考平面几何中有关中点问题的研究（下）2020年海淀区空中课堂初三年级数学学科第28课在正方形 ABCD 中，点 P 是射线 CB 上一个动点，连接 PA，PD，点 M，N 是 BC，AP 的中点，连接 MN 交 PD 于点 Q.（1）如图1，当点 P 与点 B 重合时，QPM 的形状是_；（2）当点 P 在线段 CB 的延长线上时，如图2，依题意补全图2；判断 QPM 的形状，并加以证明；证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=90点 M，N 是 BC，AB 的中点MB=NB BMN=45又BD 平分 ABC QBM=45BQM=90，BQ=QMBQM 是等腰直角三角形BQM 的形状等腰直角三角形在正方形 ABCD 中，点 P 是射线 CB 上一个动点，连接 PA，PD，点 M，N 是 BC，AP 的中点，连接 MN 交 PD 于点 Q.（1）如图1，当点 P 与点 B 重合时，QPM 的形状是_；在正方形 ABCD 中，点 P 是射线 CB 上一个动点，连接 PA，PD，点 M，N 是 BC，AP 的中点，连接 MN 交 PD 于点 Q.（2）当点 P 在线段 CB 的延长线上时，如图2.依题意补全图2；判断 QPM 的形状，并加以证明；在正方形 ABCD 中，点 P 是射线 CB 上一个动点，连接 PA，PD，点 M，N 是 BC，AP 的中点，连接 MN 交 PD 于点 Q.（2）当点 P 在线段 CB 的延长线上时，如图2.依题意补全图2；点 Q 在正方形内点 Q 在正方形边上点 Q 在正方形外点 P 的位置决定了点 Q 的位置在正方形 ABCD 中，点 P 是射线 CB 上一个动点，连接 PA，PD，点 M，N 是 BC，AP 的中点，连接 MN 交 PD 于点 Q.（2）当点 P 在线段 CB 的延长线上时，如图2.依题意补全图2；判断 QPM 的形状，并加以证明；点 Q 在正方形内点 Q 在正方形边上点 Q 在正方形外直观猜测等腰三角形推理论证在正方形 ABCD 中，点 P 是射线 CB 上一个动点，连接 PA，PD，点 M，N 是 BC，AP 的中点，连接 MN 交 PD 于点 Q.（2）当点 P 在线段 CB 的延长线上时，如图2.依题意补全图2；判断 QPM 的形状，并加以证明；QPM是等腰三角形推理论证直观猜测等角对等边证QPM=QMP证两个角相等的方法：全等，相似，等量代换思路一、利用倍长中线构造全等三角形，从而实现线段的转化QPM是等腰三角形证明：如图，延长MN，DA交于点E，作MFAD于F在正方形ABCD中，ADBC，AD=BC，ADC=C=90E=NMP，四边形FDCM是矩形FD=MC，FM=DC又点N是AP的中点 AN=PNAENPMN（AAS）AE=PM又点M是BC的中点 AD=BC=2MC=2FDAF=FD=MC EF=PCEFMPCD（SAS）E=DPCNMP=DPC QP=QM思路二、构造中位线得平行，从而实现角的转化QPM是等腰三角形证明：如图，延长MC至点E，使CE=PB，连接AE，则BE=CP点M是BC的中点 BM=CM PM=ME又点N是AP的中点 PN=ANNMAE NMP=E在正方形ABCD中，AB=DC，ABC=DCB=90ABEDCP（SAS）E=DPCNMP=DPC QP=QM思路三、利用中位线构造相似三角形QPM是等腰三角形证明：如图，取PB的中点F，连接NF，则PB=2FB=2PF 点N是AP的中点 PN=ANNFAB且AB=2NF点M是BC的中点 BC=2BM PC=2FM在正方形ABCD中，ABC=C=90，AB=CDNFM=ABC=C=90又NFMDCP NMF=DPC QP=QM思路四、利用直角三角形斜边中线构造相似三角形，从而实现角的转化QPM是等腰三角形证明：如图，连接NB在正方形ABCD中，ABC=BAD=90，AD=BC，ADBC在RtABP中，点N是AP的中点 NBA=NAB NBM=NAD又点M是BC的中点 NBMPAD NMB=PDA 又ADBC DPC=PDANMB=DPC QP=QM本节课小结平面几何中有关中点的问题，常见的辅助线：1.倍长中线2.构造中位线3.构造斜边中线4.构造“三线合一”1.如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1，点 F，G 分别在边 BC，CD 上，P 为 AE 的中点，连接 PG，则PG 的长为_.课后作业2.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=10，BC=5，将直角三角形的直角顶点与 AC 边的中点 P 重合，直角三角形绕着点 P 旋转，两条直角边分别交 AB 边于 M，N，则 MN 的最小值是_.课后作业3.如图，在ABC 中，A=90，AB=AC，点 D 为 BC 边的中点，点 E，F 分别为 AB，AC 上的点且 DEDF，若 BE=2，CF=4，则 EF 的长为_.4.如图，在 ABC 中，AB=AC，延长 AB 到 D，使 BD=AB，点 E 为AB 边的中点，连接 CE、CD求证：CD=2CE