1、重难突破专题(八)几何最值问题题型解读几何最值问题知识覆盖面较广,综合性较强.对于单线段最值问题,往往利用“垂线段最短”或“点到圆的距离”来求解;对于线段和的最值问题往往可以利用“将军饮马”模型或者“胡不归”“阿氏圆”模型来解决;面积类最值问题可考虑建立函数模型求解.类型一线段的最值问题例1 点P是RtABC斜边AB上一点,PEAC于点E,PFBC于点F,BC=6,AC=8,则线段EF长的最小值为.【分层分析】连结PC,根据矩形对角线相等,可得EF=CP,因为点C为定点,点P为线段AB上的一个动点,利用“垂线段最短”的性质即可求得CP的最小值,从而得到EF的最小值.图Z8-1答案4.8例2 如
2、图Z8-2,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将BCP沿CP所在的直线翻折,得到BCP,连结BA,求BA长度的最小值.【分层分析】由翻折可知CB=CB始终成立,即CB=3为定值.由勾股定理可求得AC=4,再根据三角形三边关系即可求得BA的最小值.图Z8-2类型二将军饮马类最值问题点A,B是直线l外同侧两点,在直线l上求作一点P,使AP+BP最小.解决方法:作点A关于直线l的对称点A.连结AB,交直线l于点P,则点P使AP+BP最小.图Z8-3例32018永州节选如图Z8-4,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交
3、于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式.(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小?如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.图Z8-4例32018永州节选如图Z8-4,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式.【分层分析】(1)设出顶点式方程y=a(x-1)2+4,将E点坐标代入可得a的值;图Z8-4解:(1)设所求二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4,抛物线与y轴交于点E(0,3),a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所求二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4,即
4、y=-x2+2x+3.例32018永州节选如图Z8-4,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点E(0,3).(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小?如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.【分层分析】(2)由于点E,F位于抛物线对称轴的同侧,因此,只需要作出其中一个点关于对称轴的对称点,再连结这个对称点与另外一个点,所得直线与对称轴的交点,即为所求的点G.图Z8-4类型三PA+kPB型最值问题(胡不归和阿氏圆问题)胡不归模型解析:如图Z8-5,已知A是直线BC外一点,A,B为定点,P在BC上运动,求AP+
5、kPB(0k1)的最小值.解决方法:在B处构造直线l,使l与BC的夹角为,且满足sin=k,过P向l作垂线,垂足为Q,则PQ=kPB,过A向直线l作垂线,分别交BC,l于Pmin,Qmin两点,于是AP+kPB=AP+PQAQmin.图Z8-5图Z8-6答案B“阿氏圆”模型解析:如图Z8-7所示,O的半径为r,点A,B都在O外,P为O上的动点,已知r=kOB.连结PA,PB,求PA+kPB的最小值.解决方法:找另一个定点C,使得P在圆周上运动时,总有PC=kPB,这样就可以将问题转化为常见的求线段PA+PC和的最小值问题.如图,在线段OB上截取OC,使OC=kr,则可说明BPO与PCO相似,得
6、kPB=PC,则本题求PA+kPB的最小值转化为求PA+PC的最小值,当A,P,C三点共线,且P在线段AC上时最小.图Z8-7图Z8-8答案A类型四建立函数模型求最值图Z8-9【方法点析】破解几何最值问题的方法:核心思想:函数思想、转化思想、模型思想答案 题型精练1.如图Z8-10,BAC=30,M为AC上一点,AM=4,点P是AB上一动点,PQAC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为.图Z8-10答案2.如图Z8-11,在矩形ABCD中,AD=4,DAC=30,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是.图Z8-11答案图Z8-12答案4.如图Z8-13,在RtABC中,B=90,A
7、B=6,BC=8,点D在BC上,O为AC中点.以AC为对角线的所有 ADCE中,DE的最小值为.图Z8-13答案65.如图Z8-14所示,在菱形ABCD中,A=60,AB=2,E,F两点分别从A,B两点同时出发,以相同的速度分别向终点B,C移动,连结EF,在移动的过程中,EF的最小值为.图Z8-14答案6.如图Z8-15,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC,BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形(ACD和BCE),那么DE长的最小值是.图Z8-15答案17.正方形ABCD的边长为1 cm,M,N分别是BC,CD上两个动点,且始终保持AMMN,当BM=cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为cm2.图Z8-16答案图Z8-17答案图Z8-18图Z8-18图Z8-18(2)设AQP的面积为S.求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;(2)设AQP的面积为S.若我们规定:点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2-x1,y2-y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取得最大值时,求“向量PQ”的坐标.图Z8-18图Z8-19图Z8-19图Z8-19图Z8-19图Z8-19
