1、 数学中考复习专题 数学思想方法 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想方法的习惯。中考常用的数学思想方法有：整体思想、分类讨论思想、转化思想、方程与函数思想、数形结合思想等。在中考复习备考阶段，要系统总结这些数学思想与方法。掌握了它们的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。整体思想：整体是与局部相对应的，按常规不易求某一个或多个未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。2a-3b=13 a=8.3【例例1 1】（2020淮北模拟）若方程淮北模拟）若方程 的解是的解是 3a
2、+5b=30.9 b=1.2 2(x+2)-3(y-1)=13则方程则方程 的解是的解是 （）3(x+2)+5(y-1)=30.9 =6.3 =8.3A B y=2.2 y=1.2 x=10.3 x=10.3C D y=2.2 y=0.2A友情提示：整友情提示：整体思想在处理体思想在处理代数式求值时，代数式求值时，有广泛的应用有广泛的应用。针对训针对训练练1.（2021丽江模拟）计算（41-5）-2x（41+5）x（41-5）+（41+5）=（）A.100 B.200 C.350 D.02.（2020福州）若x+y=10，xy=1，则xy+xy的值是_.3.（2021乐山）先化简，再求值（x-
3、）其中x满足x+x-2=0.3xX+1X-2X+2x+1 分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准法或标准,将问题分为将问题分为全而不重，广而不漏全而不重，广而不漏的若干类，然的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想的思想.例例1、解关于、解关于x的不等式的不等式 ax-20 解：ax-20得ax20当a0时当a=0时当a2/a;02,则不等式无解x2/a例2、化简：
4、1x2(2)x解：原式=1+2xx当x2,当1x2,当x 1,21 12 21212 2 2 2121212原式=x-1+x-2=2x-3原式=x-1+2-x=1原式=1-x+2-x=3-2x 在解答某些问题时，因为存在一些在解答某些问题时，因为存在一些不确定的因素不确定的因素，解答无法用统一的方法，或是无法给结论做统一解答无法用统一的方法，或是无法给结论做统一的表述，对这类问题要依据情况加以分类，并逐的表述，对这类问题要依据情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳，这种解题方法叫做类求解，然后综合归纳，这种解题方法叫做分类分类讨论讨论，也叫分情况讨论。，也叫分情况讨论。分类讨论涉及初中数学很多
5、的知识点，引起分类分类讨论涉及初中数学很多的知识点，引起分类讨论的主要原因有：讨论的主要原因有：概念、公式、性质等本身概念、公式、性质等本身就是分类给出的，就是分类给出的，含参数问题，对参数取值范含参数问题，对参数取值范围的讨论，围的讨论，图形的位置、形状的不确定引起的图形的位置、形状的不确定引起的分类分类1300v例4、已知ABC内接于 O，OBC=400，则A=_AOCBA50或130度1000500400v例3、在 O中弦AB平行于弦CD，AB=6，CD=8，圆半径为5，则AB、CD之间的距离是_.OABDC1或7FEv 例题4.相交两圆的半径分别是8cm和5cm，公共弦长为8cm，则两
6、圆的圆心距为_ABCDE(4 334 33)cm或例例6 6、如图，已知、如图，已知 A、B 为定圆，半径分别为为定圆，半径分别为1 1和和4 4，AB=2AB=2，动圆，动圆 P 始终与始终与 A外切，与外切，与 B内切，当内切，当 P 的半的半径为径为_时，时，APB为等腰三角形。为等腰三角形。BAP解：设 P 的半径为r，则在APB 中，AB=2，AP=1+r，BP=4-r,当AP=AB时，1+r=2，得r=1，三边分别为2、2、3；当BP=AB时，4-r=2,得r=2,三边分别为2、2、3；当AP=BP时，1+r=4-r,得r=1.5，三边分别为2、2.5、2.5；所以r=1或2或1.
7、5.解题的关键是弄清楚解题的关键是弄清楚为什么分类为什么分类，要分要分谁谁，如何分如何分 明确分类讨论的对象和标准，分类讨论明确分类讨论的对象和标准，分类讨论的原则是的原则是一般来说，代数中的分类讨论易错点的是确定分一般来说，代数中的分类讨论易错点的是确定分类讨论的标准和界点，分类时不重不漏类讨论的标准和界点，分类时不重不漏几何分类中往往图形的位置或形状的不确定会引几何分类中往往图形的位置或形状的不确定会引起分类讨论，要把各种可能出现的情况一一画出起分类讨论，要把各种可能出现的情况一一画出在同一标准下分类在同一标准下分类 不重不漏不重不漏 化归思想 化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易
8、.如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等.例例1 ABC中，BCa，ACb，ABc.若C90，如图1，根据勾股定理，则a 2 b 2 c 2.若ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a 2 b 2与c 2的关系，并证明你的结论.【解析】勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：a2b2c2的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？如图，我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系.【答案】以
9、图3为例，证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D.设CD为x，则有BD 2 a 2-x 2.根据勾股定理，得(bx)2 a 2-x 2 c 2.即a 2 b 2 2bxc 2.b0,x0，2bx0.a 2 b 2 c 2.图1图2图3数形结合思想 数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化.例例3 抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为()x
10、cba【解析】从抛物线的图象可知：开口向上,a0,当x1时，抛物线的图象在x轴的下方，a+b+c0,又由x 0及a0可得b0，由a+b+c0，得反比例函数y=的图象在第二、四象限，由b0即-b0可知一次函数y=-bx-4ac+b2的图象过第一、三象限，综上就应选D.【答案】Dxcbaab2【小结】【小结】数形结合的常见题型：利用数轴解不等式(组)研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构建方程(组),求得有关结论等问题.1.已知等
11、腰ABC中，ADBC,交直线BC与点D，且AD=BC,则ABC底角的度数为（）A.45 B.75 C.15 或45 或75 D.60 提示：ABC是等腰三角形应分为：AB=AC、AB=BC、AC=BC三种情况进行讨论。分别画出图形。21C2、在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A做AE直线BC与点E,作AF 直线CD于点F,若AB=5,BC=6,则CE+CF的值为（）A.11+B.11-C.11+或11-D.11+或1+点拨：先根据题意画出图形，并体会垂直于直线BC与垂直于线段BC的区别。2311231123112311231123例例2 已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且ACB=50，ADB=80，求CAD的度数.【解析】由于点C、D可以在线段AB的同侧也可以在线段AB的两侧，因此要分两种情况进行讨论.解：（1）如图1，当C、D两点在线段AB的同侧时，C、D两点在线段AB的垂直平分线上，CA=CB，CAB是等腰三角形.又CEAB，CE是ACB的角平分线，ACE=BCE，而ACB=50，ACE=25.同理可得ADE=40.CAD=ADE-ACE=40-25=15.（2）如图2，当C、D两点在线段AB的两侧时，同（1）的方法可得ACE=25，ADE=40.于是CAD=180-（ADE+ACE）=180-（40+25）=180-65=115.故CAD的度数为15或115.
