1、专题9 四点共圆巧解中考题 2020春成都地区中考数学第二部分系统复习考点解读 四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.1.1.四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”2 2四点共圆的性质(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等(2)圆内接四边形的对角互补(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角方法提炼方法提炼3 3四点
2、共圆的判定(1)用“角”判定：一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上(2)“等线段”判定：四顶点到同一点的距离相等，若OAOBOCOD，则A，B，C，D四点共圆(3)用“比例线段”判定：若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PAPCPBPD，则A，B，C，D四点共圆.例 1(2019潍坊)如图，四边形 ABCD 内接于O，AB为直径，ADCD，过点 D 作 DEAB 于点 E，连接 AC 交 DE 于点 F.若 sinCAB35，DF5，
3、则 BC 的长为()A8 B10 C12 D16 课堂精讲课堂精讲 【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明ADEDAC得到FDFA5，再根据正弦的定义计算出EF3，则AE4，DE8，接着证明ADEDBE，利用相似比得到BE16，所以AB20，然后在RtABC中利用正弦定义计算出BC的长 答 案 图【答案】C课堂精讲 【方法归纳】若已知圆上四点，常常使用四点共圆的性质，找角之间的转化关系本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径，用“四点共圆”的思想进行角的数量代换，有助
4、于我们更好地解题课堂精讲 例2如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE2CE，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF，求OF的长课堂精讲【分析】方法一：正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC，BD 的交点AOB，AOD，BOC，COD 为等腰直角三角形，且 AOBOCODO3 2.DE2CE，CE2，DE4.BE2 10(在 RtBCE 中用勾股定理求得)然后利用BCFBEC，求得 BF.利用BFBDBOBE，易证BOFBED，根据比例求解 OF 即可 课堂精讲方法二：我们观察这个图形可以发现点 B，C，F，O这四点是共圆的，故1245(
5、圆中同弧所对圆周角相等)，所以1345，加上公共角DBE，就能得到BOFBED，这样的方法是利用几何图形中的变换得到所要的结论，少了许多计算 这道题的方法还有很多，还可以过点 O 向 BE 作垂线，垂足为 M，然后利用勾股定理求解 课堂精讲【解】方法一：CFBE，BCFEBC90.EBCBEC90，BECBCF.BCEBFC90，BCFBEC.BCBEBFBC.BC6，CE2，BE BC2CE22 10.BF9510.BFBD95106 23105，BOBE3 22 103105.BFBDBOBE.DBEDBE，BOFBED.BOBEOFDE3105.DE4，OF655.课堂精讲方法二：如图，
6、BOCBFC90，B，C，F，O 四点共圆 1245.2345，1345.DBEFBO，BOFBED.BOBEOFDE3105.DE4，OF655.答案图 【方法归纳】求线段长常用的方法就是两种：利用相似中的比例线段求线段长或者利用直角三角形中的勾股定理求线段长课后精练1 1(2019镇江)如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DCCB.若C110，则ABC的度数等于()第 1 题图 A55 B60 C65 D70 A课后精练 2 2(2018邵阳)如图，四边形ABCD为O的内接四边形，BCD120，则BOD的大小是()第2题图 A80 B120 C100 D90B课后精练
7、 3 3(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若D80，则EAC的度数为()第3题图 A20 B25 C30 D35C课后精练4 4如图，以 RtABC 的斜边 BC 为一边在ABC 的同侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为点 O，连接 AO，如果AB4，AO6 2，那么 AC 的长等于_.第 4 题图 16课后精练5 5已知ABC 为等腰直角三角形，C 为直角，延长 CA 至点 D，以 AD 为直径作圆，连接 BD与O 交于点 E，连接 CE，CE 的延长线交O 于另一点 F，那么BDCF的值等于_ 第 5 题图 课后精练 6 6
8、如图，AB为圆的直径，AD，BC为圆的两条弦，且BD与AC相交于点E.求证：ACAEBDBEAB2.第6题图课后精练证明：过点E作EFAB于点F.EFB90，C90，EFBC180.B，C，E，F四点共圆AEACAFAB.EFA90，D90，EFAD180.A，D，E，F四点共圆BEBDBFAB.，得AEACBEBDAFABBFAB.AFBFAB，AEACBEBDAB2.课后精练7 7如图，已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点N，点M在对角线BD上，且满足BAMDAN，BCMDCN.求证：(1)M 为 BD 的中点；(2)ANCNAMCM.第 7 题图 课后精练证明：(1)
9、根据同弧所对的圆周角相等，得DANDBC，DCNDBA.又DANBAM，BCMDCN，BAMMBC，ABMBCM.BAMCBM.BMCMAMBM，即 BM2AMCM.又DCMDCNNCMBCMNCMACBADB，DAMMACDANMACBAMBACCDM，DAMCDM.则DMCMAMDM，即 DM2AMCM.由式，得 BMDM，即 M 为 BD 的中点 课后精练(2)如图，延长 AM 交圆于点 P，连接 CP.BCPPABDACDBC.PCBD，ANCNAMPM.又MCBDCAABD，DBCPCB，ABCMCP.又ABCAPC，则APCMCP.有 MPCM.由式，得ANCNAMCM.答案图课后
10、精练8 8如图，O 的半径 r25，四边形 ABCD 内接于O，ACBD 于点 H，P 为 CA 延长线上的一点，且PDAABD.(1)试判断 PD 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若 tanADB34，PA4333AH，求 BD 的长；(3)在(2)的条件下，求四边形 ABCD 的面积 第 8 题图 课后精练解：(1)PD与O相切理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，DE是直径，DAE90.AEDADE90.PDAABDAED，PDAADE90，即PDDO.PD与O相切于点D.答案图课后精练(2)tanADB34，可设 AH3k，则 DH4k.PA4333AH，PA(433)k.PH43k.在 RtPDH 中，tanPDHPH33.P30，PDH60.PDDO，BDE90PDH30.连接 BE，则DBE90，DE2r50，BDDEcos 30253.课后精练(3)由(2)知，BH25 34k，HC43(25 34k)又PD2PAPC，(8k)2(4 33)k4 3k43(25 34k)解得 k4 33，AC3k43(25 34k)24 37.S四边形 ABCD12BDAC1225 3(24 37)900175 32.单击此处编辑母版标题样式谢谢
