1、一般三角形一般三角形及其性质及其性质三角形的分类三角形的分类三角形的边、角关系三角形的边、角关系三角形中的重要线段三角形中的重要线段知识溯源温故知新返回返回三 角三 角形 的形 的分类分类按边分按边分按角分按角分不等边三角形不等边三角形等腰三角形等腰三角形 _斜三角形斜三角形等边三角形等边三角形底和腰不等的等腰三角形底和腰不等的等腰三角形 _锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形三 角三 角形 的形 的边、边、角 关角 关系系与边的关系：三角形两边的和与边的关系：三角形两边的和 第三边，三角形第三边，三角形两边的差两边的差 第三边第三边温馨提示：温馨提示：判断三条边判断三
2、条边(a,b,c,abc)能否构成三角形，只能否构成三角形，只需比较两条短边需比较两条短边a、b的和与第三边的和与第三边c的大小，的大小，若若a+bc，则能构成三角形；反之不能构成三角形则能构成三角形；反之不能构成三角形角与角的关系角与角的关系大于大于小于小于边角关系边角关系三 角三 角形 的形 的边、边、角 关角 关系系三个内角的和等于三个内角的和等于_任意一个外角任意一个外角_与它不相邻的两个内角的和，与它不相邻的两个内角的和，如图，如图，1A+_任意一个外角任意一个外角_与它不相邻的任何一个内角与它不相邻的任何一个内角,如图，如图，1A，1B角与角与角的角的关系关系返回返回180等于等于
3、边角关系：同一个三角形中，等边边角关系：同一个三角形中，等边对对 ，等角对等边，大边，等角对等边，大边对对 ，如图，若，如图，若ABACB，则则 _ _ _B大于大于等角等角大角大角abc回忆一下：三角形中的重要线段？性质如何？1.角平分线角平分线2.2.中线中线3.3.中位线中位线4.4.高线高线一起探讨！一起探讨！知识溯源温故知新四线四线图形图形性质性质备注备注角平分线角平分线1 _ BAC三角形三条角平分线的交点是三角三角形三条角平分线的交点是三角形的内心；形的内心；内心到三角形三条边距离相等内心到三角形三条边距离相等中线中线(1)BD _ _ BC;(2)SABD=SACD中线将三角形
4、分割成等底同高（即中线将三角形分割成等底同高（即面积相等）的两个三角形面积相等）的两个三角形三 角三 角形 中形 中的 重的 重要 线要 线段段未完继续未完继续2CD12四线四线图形图形性质性质备注备注中位线中位线 _BC且且DE _ BC知识迁移知识迁移构造法构造法1.当三角形中遇到中点时，常构造三角形的中当三角形中遇到中点时，常构造三角形的中位线，进一步利用其证明线段平行或倍分问题位线，进一步利用其证明线段平行或倍分问题，可简单的概括为，可简单的概括为“已知中点找中位线已知中点找中位线”；2.在平行四边形或菱形中遇到边上有中点时，在平行四边形或菱形中遇到边上有中点时，需连接中点与对角线的交
5、点构造中位线需连接中点与对角线的交点构造中位线三 角三 角形 中形 中的 重的 重要 线要 线段段未完继续未完继续DE12返返回回四线四线图形图形性质性质备注备注高线高线AD _，即，即ADBADC90常应用高线中的常应用高线中的互余角互余角三 角三 角形 中形 中的 重的 重要 线要 线段段线段垂线段垂直平分直平分线线AM_ BM且且OM_AB;BN _CN且且ON _BC1.外心是三角形三边垂直平分线的交点；外心是三角形三边垂直平分线的交点；2.可以从垂直平分线出发得到相等线段、角可以从垂直平分线出发得到相等线段、角和互余角，还可得到等腰或直角三角形和互余角，还可得到等腰或直角三角形（构（
6、构造法）造法）温馨提示：温馨提示：BC=知识迁移活学活用一般三角形性质题源总计1.三角形边和角的性质三角形边和角的性质2.三角形中的重要线段三角形中的重要线段注意：构造法！注意：构造法！一一 三角形边和角的性质三角形边和角的性质例例 1 如图，如图，D是是ABC边边BA延长线上一点延长线上一点(1)若若BC3，AC6，则，则AB的长的范围为的长的范围为()A.AB3 B.AB 9 C.3AB9 D.AB6【解析解析】由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得于第三边，可得ACBCABBCAC，3AB9.C(2)若若AC6，则，则A
7、BC的周长可能是的周长可能是()A.8 B.10 C.12 D.14D【解析解析】由三角形内角和是由三角形内角和是180可得，可得，CABBACB180，又，又CAB36，BACB，362ACB180，ACB72.(3)若若CAB36，BACB，则，则ACB_；【解析解析】由题意可得，由题意可得，ABBCAC，由等式的性质可得，由等式的性质可得ABBCAC2AC，ABC的周长大于的周长大于12.72(4)若若CAB B ACB3 5 7，则，则CAD_144【解析解析】CAB B ACB3 5 7，设设CAB3x，B5x，ACB7x，CABBACB180，3x5x7x180，解得，解得x12，
8、CADBACB5127121212144.1.三角形三边大小关系实际上是三角形三边大小关系实际上是两点之间线段最短两点之间线段最短在三角形知识中的具体应在三角形知识中的具体应用；用；2.利用三角形利用三角形内角和定理内角和定理及推论求角的问题，一般都需要利用题目所给的条及推论求角的问题，一般都需要利用题目所给的条件，转化到一个三角形中，常见问题有：件，转化到一个三角形中，常见问题有：已知两角求第三角，已知一个角以及两角的已知两角求第三角，已知一个角以及两角的数量关系数量关系，求这三个角；，求这三个角；已知三个角的数量关系，求这三个角等已知三个角的数量关系，求这三个角等 满满 分分技技法法 题源
9、总结二二 三角形中的重要线段三角形中的重要线段例例 2 已知已知ABC，BE与与CF相交于点相交于点D.问题问题1 如图，若如图，若BE和和CF分别是分别是ABC和和ACB的角平分线，的角平分线，A50.则则BDC_；【思维教练思维教练】要求要求BDC，考虑在，考虑在BDC中利用三中利用三 角形内角和求解，则需要知道角形内角和求解，则需要知道DBCDCB的值，的值，由角平分线的性质和三角形内角和为由角平分线的性质和三角形内角和为180即可解答即可解答 此题此题115【解析解析】A50，ABCACB180A18050130，D是是ABC的角平分线的角平分线BE和和CF的交的交点，点，DBCDCB
10、 (ABCACB)13065，在，在BCD中，中，BDC180(DBCDCB)18065115.1212问题问题2 (1)如图，若如图，若BE、CF分别是分别是AC、AB边上的边上的 中线，中线，AE2，AF3，且，且ABC的周长为的周长为15，则，则BC_；(2)连接连接EF，则可得，则可得EF_；A50，AEF60，则，则ABC_;【思维教练思维教练】(1)已知已知ABC的周长求一边的周长求一边BC，则只需，则只需 求出求出AB与与AC的值即可，根据中线的性质，结合的值即可，根据中线的性质，结合AE，AF的值即可得的值即可得到到AB与与AC的值；的值；(2)由中线的性质易得由中线的性质易得
11、EF是是ABC的中位线，利用的中位线，利用中位线的性质即可求解；由中位线的性质得到平行，根据平行线的中位线的性质即可求解；由中位线的性质得到平行，根据平行线的性质将性质将AEF转化为转化为ACB，再根据三角形内角和定理求解即可，再根据三角形内角和定理求解即可52.570(1)5【解析解析】CF、BE分别是分别是AB、AC边上的中线，边上的中线，AE2，AF3，AB2AF236，AC2AE224，又，又ABC的周长为的周长为15，BC15645.(2)2.5；70【解析解析】如解图，连接如解图，连接EF，E、F 分别是分别是AC、AB中点，则中点，则EF为为ABC的中位线，的中位线，EF BC2
12、.5；EFBC，ACBAEF60，又又A50，ABC180AACB180506070.12问题问题3 如图，若如图，若ABAC，且，且BDDC，求证：，求证：ABDACD；【思维教练思维教练】根据等边对等角可得根据等边对等角可得ABCACB，DBCDCB，作差即，作差即可得证可得证 证明：证明：ABAC，ABCACB.又又BDCD，EBCFCB.ABCEBCACBFCB，即即ABDACD；问题问题4 如图，在问题如图，在问题3的基础上的基础上BEAC，CFAB，求证：，求证：DEDF.【思维教练思维教练】要证要证DEDF，根据，根据BEAC，CFAB，考虑利用角平分线的性，考虑利用角平分线的性
13、质，只需证明质，只需证明AD平分平分BAC即可；此时只要证明即可；此时只要证明AD是是BC的垂直的垂直平分线，便可使问题得证平分线，便可使问题得证证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD.ABAC，A在在BC的垂直平分线上，的垂直平分线上，BDDC，D在在BC的垂直平分线上，的垂直平分线上，又又两点确定一条直线，两点确定一条直线，AD是是BC的垂直平分线，的垂直平分线，ABAC，AD平分平分BAC，又又DFAB，DEAC，DEDF.解直角三角解直角三角形及其应用形及其应用锐角三角函数锐角三角函数特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系解直角三角形的实际应用解
14、直角三角形的实际应用精确度精确度知识溯源温故知新返回返回如图，在如图，在RtABC中中,C=90,A、B、C的的对边分别为对边分别为a、b、cA的正弦：的正弦：sinA=_A的余弦：的余弦：cosA=_A的正切：的正切：tanA =_锐角三锐角三角函数角函数acbcabA 的对边斜边A 的邻边斜边AA的对边的邻边返回返回规律记忆法：规律记忆法：30，45，60的正弦值的分母都的正弦值的分母都是是2，分子依次为，分子依次为1，；30,45,60的余弦值的余弦值是是60，45，30的正弦值的正弦值特殊角特殊角的三角的三角函数值函数值304560sin _cos_tan_图表记图表记忆法忆法2212
15、123232333123，22b2直角三角直角三角形的边角形的边角关系关系三边关系：三边关系：a2+_ c2两锐角关系：两锐角关系：A+_ 90边角间关系：边角间关系：sinAcos ;cosA _ acbc返回返回BsinB解直解直角三角三角形角形的应的应用用未完未完继续继续概念概念定义定义图形图形方向方向角角一般指以观测者的位置为中心，将正一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少通常表达成北（南）偏东（西）多少度，方向角的角度值在度，方向角
16、的角度值在090之之间；如图点间；如图点A、B、C关于关于O点的方向点的方向角分别是北偏东角分别是北偏东30、南偏东、南偏东60、北偏西北偏西45(也称西北方向也称西北方向)仰角仰角、俯、俯角角在视线与水平线所成的锐角中，视线在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫在水平线上方的角叫 _，视线，视线在水平线下方的角叫在水平线下方的角叫 _仰角仰角俯角俯角解直解直角三角三角形角形的应的应用用概念概念定义定义图形图形坡度坡度(坡比坡比)、坡度、坡度坡面的铅直高度坡面的铅直高度h与水平宽度与水平宽度l的比叫坡的比叫坡度（坡比），用字母度（坡比），用字母i表示；坡面与水表示；坡面与水平面的夹
17、角平面的夹角叫坡角，叫坡角，i=_=hl精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如近似数精确到哪一位，如2.15643精确到精确到0.01是是 _，精，精确到确到0.1是是 _，精确到整数位是，精确到整数位是 _返回返回tan2.162.22一一 直角三角形的边角关系相关计算直角三角形的边角关系相关计算例例 1 如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，BC8.(1)若若sinA ，求，求AB、AC的长；的长；(2)若若A60，求，求AB、AC的长；的长；(3)如图，在如图，在(1)条件下，若条件下，若D是是A
18、B中点，中点，过点过点B作直线作直线CD的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点E，求求cosABE的值的值45知识迁移活学活用解：解：(1)在在ABC中，中，ACB90，sinA ，而而BC8，AB10，由勾股定理可得由勾股定理可得AC6；(2)据题意得据题意得sinA ，即，即sin60 ，解得解得AB ，据题意可得据题意可得AC AB ；45BCABBCAB832AB16 33128 3312(3)由由(1)可得可得SABC 24，又又D是是AB的中点，的中点，CDBD AB5,SBCD SABC12，BE ，cosABE .6 822AC BC12122245BCDSCD2425BEBD二二
19、解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用 例例 2 如图，一电线杆如图，一电线杆PA由另一圆柱体水泥杆由另一圆柱体水泥杆BD作支撑，支作支撑，支撑杆撑杆BD与地面所形成的夹角为与地面所形成的夹角为63，且支撑杆的底端，且支撑杆的底端B与电线与电线杆的距离为杆的距离为2.5 m.(1)求支撑杆求支撑杆BD的长；的长；(2)某日，支撑杆突然于某日，支撑杆突然于E处折断处折断(因有钢筋相连，因有钢筋相连，两段水泥杆没有完全断开两段水泥杆没有完全断开)由于重力作用，下由于重力作用，下 段下倾，上段下坠，造成支撑杆于段下倾，上段下坠，造成支撑杆于E处下凹，并处下凹，并 停止在图的状态经测量，测得停止
20、在图的状态经测量，测得EBA46，BE2.3 m.求断裂处求断裂处E与电线杆的水平距离；与电线杆的水平距离；求支撑杆折断后其顶端下落的竖直距离求支撑杆折断后其顶端下落的竖直距离(精确到精确到0.01 m，参考数据：，参考数据：sin630.89，cos630.45,tan631.96，sin460.72，cos460.69，tan461.04，3.13)9.8176解：解：(1)在题图中，在题图中，BD 5.56 m；(2)如解图，过点如解图，过点E作作EFAD于点于点F，ENAB于点于点N，可得可得cosEBA ，即即BNcos462.30.692.3159 m，易得四边形易得四边形EFAN
21、为矩形，为矩形，EFANABBN2.51.59091(m)，即断裂处即断裂处E与电线杆的水平距离约为与电线杆的水平距离约为0.91 m；2.5cos630.45ABBNBE在题图中，可得在题图中，可得DAABtan632.51.964.9(m)，在在RtBNE中，中，ENsin462.30.722.31.66(m)，可得可得AFEN1.66 m，在在RtDEF中，中，DF 3.13(m)，DADFFA3.131.664.79(m)，DDDADA4.94.790.11(m)，答：支撑杆折断后其顶端下落的竖直距离约为答：支撑杆折断后其顶端下落的竖直距离约为0.11 m.2222()D EEFBDBEEF22(5.562.3)0.91
