1、专题五突破解答题之 4四边形在近几年中考中,涌现了大量四边形为素材或背景或有关四边形的性质及判定,或借助一定的图形变换(折叠、平移、旋转、剪拼等)与动态操作,酝酿与构建相关图形的某种状态与结论,进行相关计算、作图、证明或探究,这对于培养与训练学生的空间观念、动手操作、合情推理和探究能力等具有重要的作用.解决这类问题的关键应把握三角形、四边形的性质与特征,加强相关图形之间的联系,利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系,进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合.从动态、变换操作的角度,运用分类讨论思想分析与解决有关两个三角形(全等或相似)、特殊三角形、特殊四边形的问题,进一步体会三角形与四
2、边形之间相互转化、相互依存的内在关系,从而提高学数学、用数学的能力与素养.在解决此类问题时要注意:平移、对称、旋转等只是改变了图形的位置,而没改变图形的形状与大小.平行四边形的判定与性质例 1:(2018 年湖南永州)如图 Z5-1,在ABC 中,ACB90,CAB30,以线段 AB 为边向外作等边三角形 ABD,点 E 是线段 AB 的中点,连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F.(1)求证:四边形 BCFD 为平行四边形;(2)若 AB6,求平行四边形 BCFD 的面积.图 Z5-1(1)证明:在ABC 中,ACB90,CAB30,ABC60.在等边三角形 ABD 中,BAD60,BAD
3、ABC60.E 为 AB 的中点,AEBE.又AEFBEC,AEF BEC.在ABC 中,ACB90,E 为 AB 的中点,CEAE.EACECA30.BCEEBC60.又AEF BEC,AFEBCE60.又D60,AFED60.FCBD.又BADABC60,ADBC,即 FDBC.四边形 BCFD 是平行四边形.(2)解:在 RtABC 中,BAC30,AB6,解题技巧此题主要考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识,解本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.特殊四边形的判定与性质例 2:(2017 年上海)已知:如图 Z5-2,在四
4、边形 ABCD 中,ADBC,ADCD,E 是对角线 BD 上一点,且 EAEC.(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;(2)如果 BEBC,且CBE BCE2 3,求证:四边形 ABCD 是正方形.图 Z5-2证明:(1)在ADE 与CDE 中,ADECDE.ADBC,ADECBD.CDECBD.BCCD.ADCD,BCAD.四边形 ABCD 为平行四边形.ADCD,四边形 ABCD 是菱形.(2)BEBC,BCEBEC.CBE BCE2 3,CBE180223345.四边形 ABCD 是菱形,ABE45.ABC90.四边形 ABCD 是正方形.名师点评本题考查了特殊平行四边形的判定,注意平
5、行四边形与特殊平行四边形之间的区别与联系,分别要从四边形的角、边和对角线来理解它们的判定与性质.四边形综合题例 3:(2017 年四川南充)如图 Z5-3,在正方形 ABCD 中,(1)求证:EFAG;(2)若点 F,G 分别在射线 AB,BC 上同时向右、向上运动,点 G 运动速度是点 F 运动速度的 2 倍,EFAG 是否成立(只写结果,不需说明理由)?图 Z5-3(3)正方形 ABCD 的边长为 4,P 是正方形 ABCD 内一点,当SPABSOAB时,求PAB周长的最小值.思路分析(1)由正方形的性质得出ADAB,EAF形的性质得出AEFBAG,再由角的互余关系和三角形内角和定理证出A
6、OE90即可.(2)证明AEFBAG,得出AEFBAG,再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论.BAGEAO90,AEFEAO90.AOE90.EFAG.(2)解:成立.理由如下:又EAFABG,AEFBAG.AEFBAG.BAGEAO90,AEFEAO90.AOE90.EFAG.(3)解:过点 O 作 MNAB,交 AD 于点 M,BC 于点 N,如图 Z5-4.图 Z5-4则 MNAD,MNAB4.P是正方形ABCD内一点,且SPABSOAB,点 P 在线段 MN 上,且当 P 为 MN 的中点时,PAB 的周长最小.思想方法由特殊到一般的思想方法是探究和拓展问题的重要方法,中考命题也常常采用此办法.从特殊到一般的过程中,往往许多思路方法不变,只是图形位置发生变化.