1、第13讲二次函数的综合应用【例例1】(2020营口营口)某超市销售一款免洗洗手液，这款免洗洗手液的成本某超市销售一款免洗洗手液，这款免洗洗手液的成本价为每瓶价为每瓶16元，当销售单价定为元，当销售单价定为20元时，每天可售出元时，每天可售出80瓶根据市场行情，瓶根据市场行情，现决定降价销售市场调查反映：销售单价每降低现决定降价销售市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出元，则每天可多售出20瓶瓶(销售单价不低于成本价销售单价不低于成本价)，若设这款免洗洗手液的销售单价为，若设这款免洗洗手液的销售单价为x(元元)，每天，每天的销售量为的销售量为y(瓶瓶).(1)求每天的销售量求每天的
2、销售量y(瓶瓶)与销售单价与销售单价x(元元)之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最当销售单价为多少元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？大利润为多少元？利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般是运用利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般是运用“总利润总售价总利润总售价总成本总成本”或或“总利润每件商品所获利润总利润每件商品所获利润销售数量销售数量”，建立利润与价格，建立利润与价格之间的函数关系；设问一般涉及求二次函数的表达式及最值之间的函数关系；设问一般涉及求二次函数的表达式及最值二次函数的实际应
3、用题求最值二次函数的实际应用题求最值若函数图象的对称轴在自变量的取值范围内，则顶点的纵坐标或自变量两若函数图象的对称轴在自变量的取值范围内，则顶点的纵坐标或自变量两端点的函数值为最值；端点的函数值为最值；若函数图象的对称轴不在自变量的取值范围内，那么最值为自变量两端点若函数图象的对称轴不在自变量的取值范围内，那么最值为自变量两端点的函数值，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值，的函数值，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值，从而求解出从而求解出最值最值 1某网店销售一种儿童玩具，成本为每件某网店销售一种儿童玩具，成本为每件30元，物价部门规定销售利润不元，物价部门规定销售利润不
4、高于成本的高于成本的60%.在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y(件件)与销售与销售单价单价x(元元)满足一次函数关系当销售单价为满足一次函数关系当销售单价为35元时，每天的销售量为元时，每天的销售量为350件；件；当销售单价为当销售单价为40元时，每天的销售量为元时，每天的销售量为300件件(1)求求y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？最大利润是多少？【例例2】(2020省卷省卷28题题10
5、分分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2交交x轴于轴于A，B两点，交两点，交y轴于点轴于点C，且，且OA2OC8OB.点点P是第三象限是第三象限内抛物线上的一动点内抛物线上的一动点(1)求此抛物线的表达式；求此抛物线的表达式；(2)若若PCAB，求点，求点P的坐标；的坐标；(3)连接连接AC，求，求PAC面积的最大值及此时点面积的最大值及此时点P的坐标的坐标1求图形面积求图形面积(1)有一条边在坐标轴上，以在坐标轴上的边为底边，过顶点作垂线；有一条边在坐标轴上，以在坐标轴上的边为底边，过顶点作垂线；(2)没有边在坐标轴上，过动点作平行于坐标轴的直线没
6、有边在坐标轴上，过动点作平行于坐标轴的直线2求面积最值求面积最值一般涉及动点在抛物线上一般涉及动点在抛物线上，解题关键是面积的表示方法解题关键是面积的表示方法，这是中考的热点这是中考的热点和难点和难点(1)可设动点运动时间为可设动点运动时间为t或动点的坐标为或动点的坐标为(t，at2btc)；(2)找出题中图形属于找出题中图形属于1中所述的哪种类型，再根据面积公式，写出面积中所述的哪种类型，再根据面积公式，写出面积S关关于于t的函数关系式；的函数关系式；(3)利用二次函数的性质求最值利用二次函数的性质求最值 2(2020海南海南)抛物线抛物线yx2bxc经过点经过点A(3，0)和点和点B(2，
7、0)，与，与y轴轴交于点交于点C.(1)求该抛物线的函数表达式；求该抛物线的函数表达式；(2)点点P是该抛物线上的动点，且位于是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧轴的左侧如图，过点如图，过点P作作PDx轴于点轴于点D，作，作PEy轴于点轴于点E，当，当PD2PE时，求时，求PE的长；的长；如图，该抛物线上是否存在点如图，该抛物线上是否存在点P，使得，使得ACPOCB？若存在，请？若存在，请求出所有点求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 1(2018兰州兰州24题题7分分)某商家销售一款商品，进价每件某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件元，售价每件145元
8、，每天销售元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费件，每销售一件需支付给商场管理费5元未来一个月元未来一个月(按按30天计算天计算)，这款商品将开展，这款商品将开展“每天降低每天降低1元元”的促销活动，即从第一天起每的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该商品单价每降元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天元，每天销售量增加销售量增加2件，设第件，设第x天天(1x30且且x为整数为整数)的销售量为的销售量为y件件(1)直接写出直接写出y与与x的函数关系式；的函数关系式；(2)设第设第x天的利润为天的利润为W元，试求出元，试求出W
9、与与x之间的函数关系式，并求出哪一天之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？的利润最大？最大利润是多少元？解：解：(1)y2x40(1x30)；(2)W(2x40)(145805x)2(x20)23200，1x30且且x为整数，为整数，x20时，时，W取最大值，为取最大值，为3200.答：第答：第20天的利润最大，为天的利润最大，为3200元元2(2019天水天水23题题10分分)天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价本价10元元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价件，已知销售价不低于成本价，且物价部
10、门规定这种产品的销售价不高于不高于16元元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件件)与销售价与销售价x(元元/件件)之间的函数关系如图所示之间的函数关系如图所示(1)求求y与与x之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；的取值范围；(2)求每天的销售利润求每天的销售利润W(元元)与销售价与销售价x(元元/件件)之间的函数关系式，并求出每之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？类型一面积问题类型一面积问题3(2018省卷省卷2
11、8题题12分分)如图，已知二次函数如图，已知二次函数yax22xc的图象经过点的图象经过点C(0，3)，与，与x轴分别交于点轴分别交于点A，点，点B(3，0).点点P是直线是直线BC上方的抛物线上一动上方的抛物线上一动点点(1)求二次函数求二次函数yax22xc的表达式；的表达式；(2)连接连接PO，PC，并把，并把POC沿沿y轴翻折，得到四边形轴翻折，得到四边形POPC.若四边形若四边形POPC为菱形，请求出此时点为菱形，请求出此时点P的坐标；的坐标；(3)当点当点P运动到什么位置时，四边形运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时的面积最大？求出此时P点的坐点的坐标和四边形标和四
12、边形ACPB的最大面积的最大面积解：解：(1)该二次函数的表达式为该二次函数的表达式为yx22x3；(2)若四边形若四边形POPC是菱形，则点是菱形，则点P在线段在线段CO的垂直平分线上的垂直平分线上.如解图，连接如解图，连接PP，则，则PECO，垂足为点，垂足为点E，图图类型二特殊三角形存在性问题类型二特殊三角形存在性问题4(2018兰州兰州28题题12分分)如图，抛物线如图，抛物线yax2bx4经过经过A(3，0)，B(5，4)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接AB、AC、BC.(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；(2)求证：求证：AB平分平分CAO；(3)抛物线的对称
13、轴上是否存在点抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，使得ABM是以是以AB为直角边的直角为直角边的直角三角形若存在，求出点三角形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(3)解：如解图，设抛物线的对称轴交解：如解图，设抛物线的对称轴交x轴于点轴于点E，交，交BC于点于点F.(3)解：如解图，设抛物线的对称轴交解：如解图，设抛物线的对称轴交x轴于点轴于点E，交，交BC于点于点F.(3)解：如解图，设抛物线的对称轴交解：如解图，设抛物线的对称轴交x轴于点轴于点E，交，交BC于点于点F.(4)点点H是抛物线的顶点，在是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点的条件下，点P是平
14、面内使得是平面内使得EPF90的的点，在抛物线的对称轴上是否存在点点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，使得HPQ是以是以PQH为直角的等为直角的等腰直角三角形若存在，直接写出符合条件的所有点腰直角三角形若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请的坐标；若不存在，请说明理由说明理由类型三线段问题类型三线段问题6(2019省卷省卷28题题12分分)如图，抛物线如图，抛物线yax2bx4交交x轴于轴于A(3，0)，B(4，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接AC，BC.点点P是第一象限内抛物线上的一是第一象限内抛物线上的一个动点，点个动点，点P的横坐标为的横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式；求此抛物线的表达式；(2)过点过点P作作PMx轴，垂足为点轴，垂足为点M，PM交交BC于点于点Q.试探究点试探究点P在运动过程在运动过程中，是否存在这样的点中，是否存在这样的点Q，使得以，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点形若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点过点P作作PNBC，垂足为点，垂足为点N.请用含请用含m的代数式表示线段的代数式表示线段PN的长，并求的长，并求出当出当m为何值时为何值时PN有最大值，最大值是多少？有最大值，最大值是多少？
