1、二次函数的综合性问题二次函数的综合性问题例例1如图，已知抛物线如图，已知抛物线yx2bxc与与直线直线AB相交于相交于A(3，0)，B(0，3)两点，两点，与与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C.抛物线对称轴为直抛物线对称轴为直线线l，顶点为，顶点为D，对称轴与，对称轴与x轴的交点为轴的交点为E.(1)求直线求直线AB的解析式及点的解析式及点D、点、点C的坐标；的坐标；例例1 1题图题图【思路思路】要求直线】要求直线AB的解析式，可先设其一般式，将的解析式，可先设其一般式，将A、B点坐标代入即可求得；再分别代入点坐标代入即可求得；再分别代入yx2bxc求出求出待定系数，将解析式转化为顶点式即
2、可求得点待定系数，将解析式转化为顶点式即可求得点D坐标，坐标，令令y0，解关于，解关于x的方程即可求出函数图象与的方程即可求出函数图象与x轴交点的轴交点的横坐标横坐标解：解：(1)设直线设直线AB的解析式为的解析式为ykxd(k0)，将将A(3，0)、B(0，3)两点分别代入直线解析式，得两点分别代入直线解析式，得 -3k+d=0 k=1 d=3 ，d=3，直线直线AB的解析式为的解析式为yx3，将将A(3，0)，B(0，3)两点分别代入抛物线的解析式，得两点分别代入抛物线的解析式，得解得解得 -9-3b+c=0 b=-2 c=3 ，c=3，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3，化为顶
3、点式得化为顶点式得y(x1)24，抛物线顶点抛物线顶点D的坐标为的坐标为(1，4)，令令y0，得，得x22x30，解得，解得x13，x21，点点C的坐标为的坐标为(1，0)；解得解得(2)已知已知M是是y轴上一点，连接轴上一点，连接AM、DM，若，若AMDM，且，且AMDM，求点，求点M的坐标；的坐标；例例1 1题图题图【思路思路】由于点由于点M是是y轴上的坐标，则轴上的坐标，则yMOM，又由于又由于AMDM，可过，可过D作作y轴垂线轴垂线DE，AOM和和MED构成构成“一线三等角一线三等角”的全等三角形，的全等三角形，即可得到即可得到OM长度，从而得到点长度，从而得到点M的坐标的坐标解：解：
4、如解图，过点如解图，过点D作作DEy轴交于点轴交于点E，AMDM，AMODME90，MAOAMO90，MAODME，AMMD，AOMDEM90，RtAMO RtMDE(AAS)，MODE1，点点M的坐标为的坐标为(0，1)；例例1 1题解图题解图(3)求求ABC的面积及四边形的面积及四边形AOBD的面积；的面积；【思路思路】要求要求ABC的面积，可以以的面积，可以以AC为为底，底，BO为高来计算；对于求不规则图形的为高来计算；对于求不规则图形的面积，常将所求图形分割成几个可以直接面积，常将所求图形分割成几个可以直接利用面积公式计算的规则图形，通过规则利用面积公式计算的规则图形，通过规则图形的面
5、积和或差计算求解如本题中求图形的面积和或差计算求解如本题中求四边形四边形AOBD的面积，因其形状不规则的面积，因其形状不规则例例1 1题图题图故可将其分割为故可将其分割为RtADE与直角梯形与直角梯形OBDE，分别求出其，分别求出其面积再相加，即可得到四边形面积再相加，即可得到四边形AOBD的面积的面积解：解：点点A(3，0)，点点B(0，3)，点点C(1，0)，AO3，OC1，OB3，AC4，BOAC，SABC ACBO 436；连接连接AD、DB，如解图如解图，点点D(1，4)，DEx轴轴1212于点于点E，点点E(1，0)，AE2，OE1，DE4，S四边形四边形AOBDSADES梯形梯形
6、OBDE AEDE (BODE)OE 24 (34)1 ；例例1 1题解图题解图12121212152例例1 1题图题图(4)在在x轴上方的抛物线上是否存在一点轴上方的抛物线上是否存在一点G，使得，使得SACG2，若存在，求点，若存在，求点G的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，说明理由；说明理由；【思路思路】观察图形可知观察图形可知ACG的面积为的面积为ACyG，过点过点G作作GGx轴交于点轴交于点G，设点设点G的横坐标的横坐标为为g，以以AC为底为底，GG为高即可得到为高即可得到SACG关于关于g的函数解析式的函数解析式，再令用再令用g表示的表示的SACG为为2，求解即可求解即可解：解：假设
7、存在点假设存在点G，使得，使得SACG2.连接连接AG，GC，如解图，如解图，点点G在在x轴上轴上方的抛物线上方的抛物线上，过点过点G作作GGx轴交于点轴交于点G，设点设点G的坐标为的坐标为(g，g22g3)，则则g22g30，例例1 1题解图题解图SACG ACGG 4(g22g3)，4(g22g3)2，解得解得g11 ，g2 1 ，满足题意的点满足题意的点G有两个有两个，坐标为坐标为(1 ，1)，(1 ，1)；1212123333例例1 1题图题图(5)在在x轴上是否存在一点轴上是否存在一点P，使得使得PBPD的值的值最小最小，若存在若存在，求出点，求出点P的坐标；若不存在的坐标；若不存在
8、，请说明理由；请说明理由；【思路思路】作作D关于关于x轴的对称点轴的对称点D，连接连接BD，则则BD与与x轴交点即为轴交点即为P点点解：解：(5)存在理由如下：如解图存在理由如下：如解图，作点作点D关于关于x轴的对称点轴的对称点D，D(1，4)，连接，连接BD交交x轴于点轴于点P，此时，此时PBPD的值最小，为的值最小，为BD的长的长例例1 1题解图题解图设直线设直线BD解析式为解析式为ykxb(k0)，则，则，解得解得直线直线BD解析式为解析式为y7x3，当当y0时，时，x ，点点P的坐标为的坐标为(，0)；-k b-4b 3b 3k7 73737例例1 1题图题图(6)已知点已知点P是第二
9、象限内抛物线上一动点是第二象限内抛物线上一动点，设设点点P的横坐标为的横坐标为p，ABP的面积为的面积为S，求求S关关于于p的函数解析式；当的函数解析式；当p为何值时为何值时，S有最大值有最大值，最大值是多少？最大值是多少？【思路思路】要求要求ABP的面积的面积，可构造平行于，可构造平行于y轴的边轴的边，即过点即过点P作作PPy轴交直线轴交直线AB于点于点P，则则PP将将ABP分成分成APP和和BPP两部分两部分，据此求出据此求出ABP的面积的面积，结合二次函数性质求出其最大值即可结合二次函数性质求出其最大值即可解：解：(6)如解图，如解图，点点P在抛物线上，在抛物线上，点点P的坐标为的坐标为
10、(p，p22p3)，过点过点P作作PPy轴交直线轴交直线AB于点于点P，则则P(p，p3)，则则PP(p22p3)(p3)p23p，例例1 1题解图题解图SABP OAPP 3(p23p)p2 p，即即S p2 p (p )2 ，点点P在第二象限的抛物线上在第二象限的抛物线上，3 p0，0，当当p 时时，S有最大值有最大值，最大值为最大值为 .12123292323292322783227832例例2如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，中，抛物线与抛物线与x轴交于点轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，直线，直线BC的解析式的解析式为为ykx3，抛物
11、线的顶点为，抛物线的顶点为D，对称，对称轴与直线轴与直线BC交于点交于点E，与，与x轴交于点轴交于点F.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；例例2 2题图题图【思路思路】已知已知A，B点坐标，可将点坐标，可将抛物线解析式设为交点抛物线解析式设为交点式，然后代入式，然后代入C点坐标，求解即可，而点坐标，求解即可，而C点是直线点是直线ykx3与与y轴的交点，只需令轴的交点，只需令x0，求出，求出y的值即可求得的值即可求得C点坐点坐标标解解：(1)A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线的解析式为，可设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，直线直线BC的解析式为的解析式为ykx3，令，令x0，得
12、，得y3，点点C的坐标为的坐标为(0，3)，将将C(0，3)代入，得代入，得3a3，解得，解得a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3；(2)连接连接CA，CF，判断，判断CAF的形状，并的形状，并说明理由；说明理由；【思路思路】观察题图猜想观察题图猜想CAF是以是以AC、FC为腰的等腰三角形，又为腰的等腰三角形，又COAF，所以只需，所以只需求证求证AOFO即可即可A点坐标已知，点坐标已知，F点为点为对称轴与对称轴与x轴的交点，只需根据抛物线解析轴的交点，只需根据抛物线解析式求出对称轴即可式求出对称轴即可例例2 2题图题图解：解：CAF是等腰三角形理由如下：是等腰三
13、角形理由如下：抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x1，点点F的坐标为的坐标为(1，0)，AOOF1，COAF，CO是线段是线段AF的垂直平分线，的垂直平分线，CACF，CAF是等腰三角形；是等腰三角形；(3)x轴上是否存在点轴上是否存在点G，使得，使得ACG是以是以AC为底边的等腰三角形，若存在，求出为底边的等腰三角形，若存在，求出点点G的坐标，若不存在，请说明理由；的坐标，若不存在，请说明理由；【思路思路】当当ACG是以是以AC为底边的等腰为底边的等腰三角形时有三角形时有AGCG，设出点，设出点G坐标，然坐标，然后表示出后表示出AG和和CG，列关系式即可求解，列关系式即可求解，若有解，则存在，
14、否则不存在若有解，则存在，否则不存在例例2 2题图题图解解：存在如解图，作：存在如解图，作AC的垂直平分线的垂直平分线，交，交x轴于点轴于点G，则点，则点G即为所求即为所求设点设点G的的坐标为坐标为(g，0)，在，在RtCOG中，中，CO3，OGg，由勾股定理得，由勾股定理得CG2CO2OG29g2，又，又AGg1，AGCG，(g1)29g2，解得，解得g4，此时点此时点G的坐标为的坐标为(4，0)；例例2 2题解图题解图(4)连接连接CD、BD，判断，判断CBD和和CDE的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；【思路思路】过点过点C作作CCDE于点于点C，分别，分别计算出计算出CD2、BC2
15、、BD2.再根据勾股定理再根据勾股定理的逆定理即可判定的逆定理即可判定CBD的形状，结合的形状，结合DCEC得到得到CDCE，即可判定，即可判定CDE的形状的形状例例2 2题图题图解解：CBD为直角三角形，为直角三角形，CDE为等腰为等腰直角三角形理由如下：直角三角形理由如下：如解图，过点如解图，过点C作作CCDE于点于点C，由由(1)知，知，yx22x3(x1)24，顶点顶点D的坐标为的坐标为(1，4)，在，在RtDCC中，中，由勾股定理得由勾股定理得CD22，在在RtBDF中，由勾股定理得中，由勾股定理得BD2DF2例例2 2题解图题解图BF220，又又BC2OB2OC218，BC2CD2
16、BD2，CBD是以是以DCB为直角的直角三角形，为直角的直角三角形，CCDE，DC1，直线直线BC的解析式为的解析式为yx3，点点E的的坐标为坐标为(1，2)，EC1，DCEC，CC垂直平分垂直平分DE，CDCE，CDE是是等腰三角形，又等腰三角形，又DCB90，CDE是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(5)在在x轴上是否存在点轴上是否存在点G使得使得BGE是直是直角三角形，若存在，求出点角三角形，若存在，求出点G的坐标，若的坐标，若不存在，请说明理由；不存在，请说明理由；【思路思路】由由EBO90，可知要使，可知要使BGE是直角三角形只需分是直角三角形只需分EGB90或或GEB90两种情况讨论即可两种情况讨论即可求解求解例例2 2题图题图解解：存在理由如下：存在理由如下：点点G在在x轴上，设点轴上，设点G的坐标为的坐标为(g，0)(i)由由EFx轴，易得当点轴，易得当点G与点与点F重合时，重合时，BEG是以是以EGB为直角的直角三角形，此时点为直角的直角三角形，此时点G的坐标为的坐标为(1，0)；(ii)当当GEEB即即GEB90时，时，EBG45，EGB45，EGEB，EFBG，GFBF2，点点G与点与点A重合，其坐标为重合，其坐标为(1，0)；使使BGE为直角三角形的点为直角三角形的点G坐标为坐标为(1，0)或或(1，0)
