1、题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题类型三与三角形形状有关的问题类型三与三角形形状有关的问题省卷：省卷：2015.23；昆明卷：；昆明卷：2016.23(3)例如图，在平面直角坐标系例如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与中，抛物线与x轴交于点轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，直线，直线BC的解析式为的解析式为ykx3，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为D，对称轴与直线，对称轴与直线BC交交于点于点E，与，与x轴交于点轴交于点F.题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】已知直线已知直线ykx3经过经
2、过B点，代入点，代入B点坐标可求得直线点坐标可求得直线BC解析式，将解析式，将x0代入直线代入直线BC的解析式求出的解析式求出C点坐标，已知抛物线与点坐标，已知抛物线与x轴交点轴交点A，B的坐标，可设抛的坐标，可设抛物线解析式为交点式，将物线解析式为交点式，将C点坐标代入求解即可点坐标代入求解即可例题图(1)求直线求直线BC和抛物线的解析式；和抛物线的解析式；解：解：(1)将点将点B(3，0)代入代入ykx3中，得：中，得：3k30，解得，解得k1，直线直线BC的解析式为的解析式为yx3.把把x0代入代入yx3中，得中，得y3，点点C的坐标为的坐标为(0，3)，抛物线与抛物线与x轴交于点轴交于
3、点A(1，0)，B(3，0)，设抛物线解析式为设抛物线解析式为ya(x1)(x3)，将点将点C(0，3)代入，得代入，得3a(01)(03)，解得，解得a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】观察题图可知观察题图可知CAF应该是以应该是以AC、FC为腰的等腰三角形，为腰的等腰三角形，又又COAF，所以只需求得，所以只需求得AOFO即可得证，即可得证，A点坐标已知，点坐标已知，F点为对称点为对称轴与轴与x轴的交点，只需根据抛物线解析式求出对称轴即可轴的交点，只需根据抛物线解析式求出对称轴即可例题图(2)连
4、接连接AC，CF，判断，判断CAF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；解：解：(2)CAF是等腰三角形，理由如下：是等腰三角形，理由如下：抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x 1，点点F的坐标为的坐标为(1，0)又又点点A(1，0)，AOOF1，COAF，CO是线段是线段AF的垂直平分线，的垂直平分线，CACF，CAF是等腰三角形；是等腰三角形；22(1)-题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】要使要使BCJ是是BC为底边的等腰三角形，可作线段为底边的等腰三角形，可作线段BC的垂直平分线与抛的垂直平分线与抛物线的交点即为所求点物线的交点即为所求点J.例题图(
5、3)抛物线上是否存在点抛物线上是否存在点J，使得使得BCJ是以是以BC为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形，若存在若存在，求出点求出点J的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；解：解：(3)存在存在直线直线BC的解析式为的解析式为yx3，由由B(3，0)、C(0，3)两点坐标可得，线段两点坐标可得，线段BC的中点坐标为的中点坐标为(，)，易得易得BC的垂直平分线的垂直平分线l的解析式为的解析式为yx，联立抛物线与直线联立抛物线与直线l的解析式可得的解析式可得 ，解得解得 或或满足条件的点满足条件的点J的坐标为（的坐标为（，）或）或（，）32321132 111-1321-13
6、2xy=1132 111+1321+132xy=1-1321-132223yxyxx=-+题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】要使要使BCM是等腰三角形，需考虑是等腰三角形，需考虑BC为底为底和腰两种情况当和腰两种情况当BC为底时，只有一种情况为底时，只有一种情况CMBM；当；当BC为腰时，分为腰时，分BCBM，BCCM两种情况进行讨论两种情况进行讨论例题图(4)若点若点M为抛物线对称轴上一点为抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点是否存在这样的点M，使得使得BCM是等腰三角形是等腰三角形，若存在若存在，求出点求出点M的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说
7、明理由；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：(4)存在设点存在设点M(1，m)，由题意得由题意得BC3 ，BM ，CM ，当当BC为腰时，为腰时，a若若BCBM，即即 3 ，解得，解得m ，则则M1(1，)，M2(1，)，b若若BCCM，即即3 ，解得，解得m3 ，则，则M3(1，3 )，M4(1，3 )；当当BC为底边时，则为底边时，则CMBM，即，即 ，解得，解得m1，则，则M5(1，1)；综上，满足条件的点综上，满足条件的点M的坐标为的坐标为(1，)或或(1，)或或(1，3 )或或(1，3 )或或(1，1)；224+m21+(-3)m214141424+m221+(-3)m1
8、7171724+m21+(-3)m14141717题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题例题图【思维教练】【思维教练】分分CAP90，ACP90，APC90三种情况讨论结合两三种情况讨论结合两点间距离公式，利用勾股定理列方程求解点间距离公式，利用勾股定理列方程求解(5)连接连接AC，在抛物线对称轴上是否存在一点在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得使得ACP为直角三角形为直角三角形，若存在若存在，求出点求出点P的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；解：解：(5)抛物线抛物线yx22x3的对称轴为直线的对称轴为直线x1，设点设点P(1，p)，点点A(1，0)，C(0，3)，A
9、C2123210，AP2(11)2p24p2，CP212(p3)2p26p10.若若CAP90，则，则AC2AP2CP2，104p2p26p10，解得解得p ，此时点此时点P的坐标为的坐标为(1，)；2323题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题若若ACP90，则，则AC2CP2AP2，10p26p104p2，解得解得p ，此时点此时点P的坐标为的坐标为(1，)；若若APC90，则，则AP2CP2AC2，4p2p26p1010，解得解得p11，p22，此时点此时点P的坐标为的坐标为(1，1)或或(1，2)综上所述，存在满足条件的点综上所述，存在满足条件的点P的坐标为的坐标为(1，)或或(1，
10、)或或(1，1)或或(1，2)；83838323题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】BCN是以是以BC为直角边的直角三角形，需为直角边的直角三角形，需分点分点B和点和点C分别为直角顶点两种情况讨论结合分别为直角顶点两种情况讨论结合OBCOCB45，利用等腰直角三角形的性质列方程求，利用等腰直角三角形的性质列方程求解解例题图(6)在抛物线上是否存在一点在抛物线上是否存在一点N，使得使得BCN是以是以BC为直角边的直角三角形为直角边的直角三角形，若存在若存在，求出点求出点N的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题
11、解：解：(6)存在设点存在设点N(x，x22x3)如解图如解图，当，当N1CB90时，过点时，过点N1作作N1Hy轴于点轴于点H，BOC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BCO45，N1CH180904545，N1CH是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，N1HHC，即，即xx22x33，解得解得x10(舍去舍去)，x21，N1(1，4)；例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题如解图如解图，当，当CBN290时，过点时，过点N2作作N2Gy轴，过点轴，过点B作作BGx轴交轴交N2G于点于点G，同理可得同理可得BN2G45，BN2G是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，N2GBG，即，即
12、3x(x22x3)，解得解得x12，x23(舍去舍去)，N2(2，5)综上所述，存在满足条件的点综上所述，存在满足条件的点N的坐标为的坐标为(1，4)或或(2，5)；例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】由由B、C两点坐标可得两点坐标可得OBOC，即，即BOC是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，则BCQ也是等腰直角三角形在坐标轴上找点也是等腰直角三角形在坐标轴上找点Q时，分时，分BC为直角边和为直角边和BC为斜边两为斜边两种情况：种情况：当当BC为直角边时，又分为直角边时，又分CBQ90、BCQ90两种情况进行讨两种情况进行讨论；论；当当BC为斜边时，点为斜
13、边时，点Q与点与点O重合，不符合题意重合，不符合题意例题图(7)判断判断BOC的形状的形状，在坐标轴上是否存在一点在坐标轴上是否存在一点Q(不与点不与点O重合重合)，使使BCQ的形的形状与状与BOC相同相同，若存在若存在，请求出点请求出点Q的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：(7)BOC为等腰直角三角形为等腰直角三角形，存在点存在点Q使使BCQ与与BOC形状相同形状相同点点B(3，0)，C(0，3)，OBOC，即即BOC为等腰直角三角形为等腰直角三角形，BCQ也是等腰直角三角形也是等腰直角三角形若若BC为斜边为斜边，此时点此
14、时点Q与点与点O重合重合，不符合题意不符合题意，舍去；舍去；若若BC为直角边为直角边，如解图如解图，当当BCQ190时时，点点Q1在在x轴上轴上，CBQ145，BCQ1为等腰直角三角形为等腰直角三角形，例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题COBQ1，OQ1OB3，Q1(3，0)；如解图如解图，当当CBQ290时时，点点Q2在在y轴上轴上，BCQ245，BCQ2为等腰直角三角形为等腰直角三角形，BOCQ2，OQ2OC3，Q2(0，3)综上所述综上所述，存在满足条件的点存在满足条件的点Q的坐标为的坐标为(3，0)或或(0，3)；例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练
15、】【思维教练】根据等腰直角三角形的性质，有一个根据等腰直角三角形的性质，有一个角为直角，一个锐角为角为直角，一个锐角为45，结合，结合CBOBCO45，从而考虑分三种情况：，从而考虑分三种情况：PCQ90，则则PQy轴；轴；CPQ90，则，则CPx轴；轴；CQP90，则，则CPx轴，分别进行讨论即可轴，分别进行讨论即可求解求解例题图(8)设设P是第一象限内抛物线上的动点是第一象限内抛物线上的动点，Q是线段是线段BC上一点上一点，是否存在点是否存在点P使得使得PCQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形，若存在若存在，求出求出点点Q的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由题型七二次函数综
16、合题题型七二次函数综合题解：解：(8)存在存在BOC是等腰直角三角形是等腰直角三角形，且且BOC90，CBOBCO45.点点Q在直线在直线BC上上，直线直线BC解析式为解析式为yx3，设点设点Q的坐的坐标为标为(t，t3)，如解图如解图，当当PCQ90时时，此时点此时点P与点与点D重合重合，坐标坐标为为(1，4)，PQy轴轴，PQCBCO45，此时此时PCQ是是等腰直角三角形等腰直角三角形，点点Q与点与点E重合重合，点点Q的坐标为的坐标为(1，2)；例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题如解图如解图，当当CPQ90时时，CPx轴轴，则则PQy轴轴，PCQCBO45，此时此时CPQ是等
17、腰直角三角形是等腰直角三角形，PC2，点点Q的坐标为的坐标为(2，1)；例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题当当CQP90时时，CPx轴轴，如解图如解图，过点过点Q作作QQCP于点于点Q.CPQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形，CQPQ CP，把把y3代入抛物线解析式得代入抛物线解析式得x10，x22，CP2，CQ1.点点Q的横坐标为的横坐标为1.代入直线代入直线BC方程可得点方程可得点Q的坐标为的坐标为(1，2)；综上所述综上所述，满足条件的点满足条件的点Q有两个有两个，坐标分别为坐标分别为(1，2)，(2，1)例题解图12题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题类型四与四边形形
18、状有关的问题类型四与四边形形状有关的问题昆明卷：昆明卷：2013.23(3)例例如图如图，抛物线抛物线yax2bx5经过经过A(5，0)，B(1，0)两点两点，与与y轴交于轴交于点点C，顶点坐标为顶点坐标为M，对称轴对称轴l与与x轴交于点轴交于点D，与直线与直线AC交于点交于点E.题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】要求抛物线的解析式，已知要求抛物线的解析式，已知A，B两点的坐标，将两点坐标代入，利用两点的坐标，将两点坐标代入，利用待定系数法求解即可待定系数法求解即可例题图解：解：(1)由题知抛物线的解析式为由题知抛物线的解析式为yax2bx5，将点将点A(5，0)
19、，B(1，0)代入代入，得得解得解得 ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx26x5；(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；2555050abab-+=-+=16ab=题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】根据平移的性质可知，点根据平移的性质可知，点A平移到点平移到点B的规律与点的规律与点C平移到点平移到点C的规律的规律一致，即可得到点一致，即可得到点C的坐标，再由的坐标，再由AACC，AACC即可判断四边形的形状即可判断四边形的形状例题图(2)将抛物线沿直线将抛物线沿直线AB平移平移，使得点使得点A落在点落在点B处记为处记为A，此时点此时点C的对应点为的对应点为
20、C，求求点点C的坐标的坐标，判断四边形判断四边形AACC的形状的形状，并说明理由；并说明理由；解：解：(2)A(5，0)、B(1，0)、C(0，5)，AAAB4，由平移的性质可知由平移的性质可知C(4，5)四边形四边形AACC是平行四边形是平行四边形，理由如下：理由如下：AACC4，AACC，四边形四边形AACC是平行四边形；是平行四边形；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点，可顺次连接已知三点构已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点，可顺次连接已知三点构成成ACM，分别以，分别以AC，AM，CM作为平行四边形的对角线进行分类讨
21、论，利用作为平行四边形的对角线进行分类讨论，利用“对对角线互相平分的四边形是平行四边形角线互相平分的四边形是平行四边形”及中点坐标公式求解及中点坐标公式求解例题图(3)G是坐标平面内一点是坐标平面内一点，当以当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时为顶点的四边形是平行四边形时，求点求点G的坐标；的坐标；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：(3)抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx26x5(x3)24，点点M(3，4)设点设点G(x，y)，A(5，0)，C(0，5)，若若AC为平行四边形为平行四边形AMCG的对角线时，则的对角线时，则AC与与MG互相平分，互相平分，解得，解得，
22、G1(2，9)；2ACxx 2MGxx+2ACyy 2MGyy-3+2Gx-5+02052-4+2Gy-29GGxy=题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题若若AM为平行四边形为平行四边形AGMC的对角线的对角线，则则AM与与CG互相平分互相平分，解得解得 ，G2(8，9)；2AMxx 2CGxx 2AMyy 2CGyy 532 02Gx 042 52Gy 89GGxy=-=-题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题若若CM为平行四边形为平行四边形AMGC的对角线的对角线，则则AG与与CM互相平分互相平分，解得解得 G3(2，1)综上所述综上所述，点点G的坐标为的坐标为(2，9)或或(8，9
23、)或或(2，1)；2AGxx 2CMxx 2AGyy 2CMyy 52Gx 032 02Gy 542 21GGxy=题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】分分NS为平行四边形的边和为平行四边形的边和NS为平行四边形的对角线两种情况讨为平行四边形的对角线两种情况讨论结合图形，过点论结合图形，过点N作作NTx轴于点轴于点T，由平行四边形的性质得到，由平行四边形的性质得到SNT AED，从而得到，从而得到NTED2，即可得到点，即可得到点N的坐标的坐标例题图(4)设设N是抛物线上一点是抛物线上一点，点点S是是x轴上一点轴上一点，是否存在点是否存在点N，使得以使得以A，E，N
24、，S为为顶点的四边形是平行四边形顶点的四边形是平行四边形，若存在若存在，求出点求出点N的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：如解图如解图，过点过点N作作NTx轴轴，交交x轴于点轴于点T，当当NS为平行四边形的一条边为平行四边形的一条边时时，SNAE，且且SNAE，则则NSTEAD，NTx轴轴，EDx轴轴，NTSEDA90，又又SNAE，SNTAED(AAS)例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题设直线设直线AC的解析式为的解析式为ykxb，由由A(5，0)，C(0，5)得得yx5.抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x
25、3，把把x3代入直线解析式得代入直线解析式得E(3，2)，NTED2.设点设点N的坐标为的坐标为(n，n26n5)当点当点N在在x轴上方时轴上方时，NTn26n52，解得解得n1 3，n2 3.此时点此时点N的坐标为的坐标为(3，2)，(3，2)；62 16666题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题例题解图当点当点N在在x轴下方时轴下方时，NTn26n52，解得解得n33 ，n43 ，此时点此时点N的坐标为的坐标为(3 ，2)，(3 ，2)；如解图如解图，过点过点N作作NTx轴轴，交交x轴于点轴于点T，当当NS 是平行四边是平行四边形的对角线时形的对角线时，则则NEx轴轴，点点N的纵坐标为
26、的纵坐标为2，将其代入抛物线得将其代入抛物线得n26n52，解得解得n5 3，n6 3，此时点此时点N的坐标为的坐标为(3，2)，(3，2)综上所述综上所述，满足条件的点满足条件的点N有四个有四个，分别为分别为(3，2)，(3，2)，(3 ，2)，(3 ，2)；222266666622题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】要使以要使以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，只为顶点的四边形是矩形，只需需ACG是直角三角形即可，可分为是直角三角形即可，可分为ACG90，CAG90，CGA90三种情况，分别利用勾股定三种情况，分别利用勾股定理列方程即可求解理列方程即可求解例题
27、图(5)设设G是抛物线的对称轴上一点是抛物线的对称轴上一点，K是坐标平面内一点是坐标平面内一点，是否存在点是否存在点G，使得以使得以A，C，G，K 为顶点的四边形是矩形为顶点的四边形是矩形，若存在若存在，求出点求出点G的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理请说明理由；由；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：(5)存在存在要使以要使以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形为顶点的四边形是矩形，则则ACG一定是直角三角形一定是直角三角形点点G在对称轴上在对称轴上，设点设点G的坐标为的坐标为(3，g)，由勾股定理得由勾股定理得AC2525250，AG2(53)2g24g2，CG232(g
28、5)2g210g34，若若ACG90，则则AC2CG2AG2，即即50g210g344g2，解得解得g8，此时点此时点G的坐标为的坐标为(3，8)；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题若若CAG90，则则AC2AG2CG2，即即504g2g210g34，解得解得g2，此时点此时点G的坐标为的坐标为(3，2)；若若CGA90，则则CG2AG2AC2，即即g210g344g250，解得解得g16，g21，此时点此时点G的坐标为的坐标为(3，6)或或(3，1)；综上所述综上所述，存在满足题意的点存在满足题意的点G，点点G的坐标为的坐标为(3，8)，(3，2)，(3，6)，(3，1)；题型七二次函
29、数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】由四边形由四边形AQCR是菱形可确定是菱形可确定AC是是对角线，结合对角线，结合OCOA，过点，过点O作作OIAC，则，则OI平分平分AC，从而可得点，从而可得点Q在在OI上只需求出上只需求出OI所在所在直线的解析式，与抛物线联立解方程组即可求得直线的解析式，与抛物线联立解方程组即可求得点点Q的坐标的坐标例题图(6)设设Q是抛物线上一点是抛物线上一点，点点R是坐标平面内一点是坐标平面内一点，是否存在四边形是否存在四边形AQCR是菱形？若是菱形？若存在存在，求出点求出点Q的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；题型七二次函数综
30、合题题型七二次函数综合题解：解：(6)存在存在如解图如解图，过点过点O作作OIAC于点于点I，四边形四边形AQCR是菱形是菱形，QR垂直平分垂直平分AC.OAOC5，AICI，OI是是AC的垂直平分线的垂直平分线，点点Q、R在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上，点点Q是直线是直线OI与抛物线的交点与抛物线的交点例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题I是是AC的中点的中点，xI ，yI ，点点I的坐标为的坐标为(，)，设直线设直线OI的解析式为的解析式为ytx，将点将点I的坐标代入的坐标代入，可得可得t1，直线直线OI的解析式为的解析式为yx，-5+025-20+52525-252联立
31、联立解得解得 或或存在满足题意的点存在满足题意的点Q，点点Q的坐标为的坐标为(，)或或(，)-7-2927+292-7+2927-292265yxxyx=+=-11-7-2927+292xy=22-7+2927-292xy=题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】正方形存在性问题可转化为等腰直角正方形存在性问题可转化为等腰直角三角形存在性问题若以三角形存在性问题若以A、P、Q、R为顶点的四边为顶点的四边形为正方形时，可转化为等腰直角三角形形为正方形时，可转化为等腰直角三角形APQ的存的存在性问题，分在性问题，分A、P、Q分别为直角顶点三种情况讨分别为直角顶点三种情况讨论
32、论例题图(7)设设P是抛物线上一是抛物线上一，Q是是x轴上一点轴上一点，R为坐标平面内一点为坐标平面内一点，若以若以A、P、Q、R为顶为顶点的四边形是正方形点的四边形是正方形，求点求点Q的坐标的坐标题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：(7)OAOC5，CAO45，若以若以A、P、Q、R为顶点的四边形是正方形为顶点的四边形是正方形，APQ为等腰直角三角形为等腰直角三角形当当PAQ90时时，PAy轴轴，此时点此时点P不不在抛物线上在抛物线上，不存在满足条件的点不存在满足条件的点Q；当当APQ90时时，则则QAP45，如解图如解图，过点过点A作与作与x轴成轴成45角的直线角的直线，交抛物
33、线于点交抛物线于点P，例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题当点当点P在在x轴下方时，轴下方时，Q1AP145，CAO45，CAP190，即，即P1AAC.由由A、C两点坐标可得两点坐标可得AC所在直线的解析式为所在直线的解析式为yx5，AP1所在直线的解析式为所在直线的解析式为yx5，解得解得 或或 (与与A点重合，舍去点重合，舍去)P1(2，3)AP1Q1是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，Q1是是x轴上一点，轴上一点，Q1(1，0)；联立联立 2-565yxyxx=+1123xy=-=-1150 xy=-=题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题当点当点P在在x轴上方时轴上方时
34、，CAO45OAP2，点点P2与点与点C重合重合，AP2Q2是等腰直角三角形是等腰直角三角形，Q2是是x轴上一点轴上一点，P2OAO，即点即点A与点与点Q2关于关于y轴对称轴对称，Q2(5，0)；当当AQP90时时，QAP45，点点P的情况与的情况与相同相同，如解图如解图，过点过点P1作作P1Q3x轴于点轴于点Q3，此时此时AQ3P190，Q3(2，0)；由由得得OP2x轴轴，则则Q4与与O点重合点重合，Q4(0，0)综上所述综上所述，满足条件的点满足条件的点Q有有4个个，分别为分别为(1，0)、(5，0)、(2，0)、(0，0)题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题类型五与三角形相似有关的
35、问题类型五与三角形相似有关的问题省卷：省卷：2014.23(2)；昆明卷：；昆明卷：2015.23(3)例如图，抛物线交例如图，抛物线交x轴于轴于A、B两点，点两点，点A位于位于x轴的正半轴，点轴的正半轴，点B位于位于x轴的负轴的负半轴，且半轴，且OA ，OB3 ，抛物线交，抛物线交y轴于点轴于点C(0，3)33题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】要求抛物线的解析式，已知要求抛物线的解析式，已知OA，OB 的长度，可知点的长度，可知点A、B的的坐标，再结合点坐标，再结合点C的坐标，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式的坐标，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式例题图
36、(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：(1)OA ，点点A在在x轴的正半轴轴的正半轴，A(，0)OB3 ，点点B在在x轴的负半轴轴的负半轴，B(3 ，0)设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，将点将点A(，0)，B(3 ，0)，C(0，3)代入得代入得333333解得解得此抛物线的解析式为此抛物线的解析式为y x2 x3132 33330273 303abcabcc+=-+=132 333abc=-=-=题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】要在坐标轴上找一点要在坐标轴上找一点D，使得，使得AB
37、CACD，由，由(1)知知A、B、C三点坐标，可判三点坐标，可判断出断出ABC为直角三角形，则可知为直角三角形，则可知ACD必是直角三必是直角三角形且点角形且点D对应直角顶点，根据相似三角形对应边成对应直角顶点，根据相似三角形对应边成比例可求得点比例可求得点D的坐标的坐标例题图(2)如图如图，连接连接AC、BC，在坐标轴上是否存在一点在坐标轴上是否存在一点D，使得使得ABCACD(点点D不不与点与点B重合重合)，若存在若存在，求出点求出点D的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：存在，如解图，存在，如解图，C(0，3)，OC3.
38、在在RtOAC中中，tanOCA ，OCA30.在在RtBOC中中，tanBCO ，BCO60.ACBBCOOCA90，ABC为直角三角形为直角三角形在在RtBOC中中，BC 6，例题解图33OAOCOBOC3 33322OBOC 22(3 3)3 题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题在在RtACO中中，AC 2 ，要使要使ABCACD，且点且点D在坐标轴上在坐标轴上，即即 .CD3.C(0，3)，D(0，0)；22OCOA 223(3)ABACBCCD4 32 36CD3题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】要使以要使以O、D、H为顶点的三角形与为顶点的三角形与
39、AOC相似，因为相似，因为DHOB，所以，所以DHOAOC90，因为两个三角形相似的对应直角边不确定，可，因为两个三角形相似的对应直角边不确定，可分分OHDAOC或或DHOAOC两种情况讨两种情况讨论论例题图(3)如图如图，连接连接AC，点点D为第二象限抛物线上一点为第二象限抛物线上一点，过点过点D作作DHx轴于点轴于点H，是是否存在一点否存在一点H，使得以使得以O、D、H为顶点的三角为顶点的三角形与形与AOC相似相似，若存在若存在，求出点求出点H的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：(3)存在设点存在设点H(x，0)，则点则
40、点D(x，x2 x3)(3 x0)，DH x2 x3，OHx，当当OHDAOC时时，则则DOHCAO60，tanDOH ，DH OH，即即 x2 x3 x，解得解得x 或或x (舍去舍去)；当当DHOAOC时时，则则DOHACO30，tanDOH ，DH OH，即即 x2 x3 x，解得解得x 或或x (舍去舍去)132 333132 33DHOH333392 3+392DHOH3333132 33333392 3+392 132 333综上所述综上所述，点点H的坐标为的坐标为(，0)或或(，0)；3392 3392 题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题【思维教练】【思维教练】要使要使AO
41、C与与MNC相似，因为相似，因为ACOMCN，则需考虑，则需考虑AOC90这个这个直角与哪个角对应，从而分以下两种情况讨论：直角与哪个角对应，从而分以下两种情况讨论：AOCMNC，AOCNMC，根据，根据对应边成比例计算出对应边成比例计算出N点的坐标点的坐标例题图(4)如图如图，直线直线AC与抛物线与抛物线的对称轴交于点的对称轴交于点M，在在y轴上是否存在一点轴上是否存在一点N，使得使得AOC与与MNC相似相似，若存在若存在，求出点求出点N的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题解：解：(4)存在存在设直线设直线AC的解析式为的解析式为yk
42、xb(k0)，将将A(，0)，C(0，3)代入代入，得得 ，解得解得 ，直线直线AC的解析式为的解析式为y x3.由由(3)得抛物线对称轴为直线得抛物线对称轴为直线x ，将将x 代入代入y x3中中，得得y6，M(，6)又又C(0，3)，MC 2 .分以下两种情况讨论：分以下两种情况讨论：33333322(30)(63)3303kbb+=-33kb=题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题如解图如解图，过点过点M作作MNy轴于点轴于点N，此时此时AOCMNC，且点且点N与点与点M纵坐标相等纵坐标相等，此时点此时点N(0，6)；例题解图题型七二次函数综合题题型七二次函数综合题如解图如解图，过点过点M作作MNAC交交y轴于点轴于点N，此时此时AOCNMC，即即 ，NC4，则则ONOCNC347，此时点此时点N(0，7)综上所述综上所述，满足要求的点满足要求的点N的坐标为的坐标为(0，6)或或(0，7)OCMCACNC32 32 3NC例题解图
