1、题型八二次函数与几何图形综合题类型四特殊四边形存在性问题类型四特殊四边形存在性问题【例例4】(甘肃模拟甘肃模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与与x轴交于轴交于A(1，0)，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点E.(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；(2)经过经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点，点P为直线为直线BC上方抛物上方抛物线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点P运动到点运动到点E时，求时，求PCD的面积；的面积；(3)点点N在抛物线对称轴上，
2、点在抛物线对称轴上，点M在在x轴上，是否存在点轴上，是否存在点M与点与点N，使以，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由【分析分析】(1)利用待定系数法即可求解；利用待定系数法即可求解；(2)易求点易求点B的坐标的坐标，用配方法求出顶用配方法求出顶点点E的坐标的坐标，求出直线求出直线BC的表达式的表达式，得点得点D的坐标的坐标，用面积公式即可求解；用面积公式即可求解；(3)分平行四边形分平行四边形CBMN，平行四边形平行四边形CMNB及平行四边形及平行四边形CMBN三种
3、情况三种情况，利利用平行四边形的性质列方程用平行四边形的性质列方程，解方程可得结论解方程可得结论解：解：(1)抛物线的表达式为抛物线的表达式为yx22x3；(2)令令yx22x30，解得，解得x11，x23，B(3，0).yx22x3(x1)24，E(1，4).由由B(3，0)，C(0，3)得得yBCx3.易知易知D(1，2)，DE2.当点当点P运动到点运动到点E时，时，SPCD1；1平行四边形的存在性问题平行四边形的存在性问题类型一：类型一：“三定一动三定一动”型型问题：问题：如图，已知三点如图，已知三点A，B，C，找一点找一点D，使以使以A，B，C，D为顶点的为顶点的四边形为平行四边形四边
4、形为平行四边形作法：作法：连接连接AB，AC，BC，分别过点分别过点A，B，C作对边的平行线作对边的平行线，三条平行三条平行线的交点即为所求点线的交点即为所求点D.我们通常用直尺来代替线段进行平移我们通常用直尺来代替线段进行平移，很容易就能判很容易就能判断出是否存在这样的断出是否存在这样的D点点类型二：类型二：“两定两动两定两动”型型问题：问题：如图如图，已知两定点已知两定点A，B，求点，求点C，D，使得以使得以A，B，C，D为顶点的为顶点的四边形为平行四边形四边形为平行四边形作法：作法：以线段以线段AB为边为边，利用平行四边形对边平行且相等利用平行四边形对边平行且相等，将线段将线段AB平平移
5、移，确定点确定点C，D的位置以线段的位置以线段AB为对角线为对角线，线段线段AB的中点为线段的中点为线段CD的的中点确定点中点确定点C，D的位置满足的位置满足xAxBxCxD，yA yByC yD.注：注：将将“以以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形为顶点的四边形为平行四边形”改为改为“四边形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形”，解法就变了解法就变了，前者需要分类讨论；后者只存在唯一情况前者需要分类讨论；后者只存在唯一情况2矩形、菱形、正方形存在性的问题：矩形、菱形、正方形存在性的问题：思路与平行四边形类似思路与平行四边形类似，区别在于要区别在于要结合图形的特有性质结合图形的特有性质
6、1如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc经过原点经过原点O，顶点为顶点为A(2，4).(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)设点设点P为抛物线为抛物线yax2bxc的对称轴上的一点，的对称轴上的一点，点点Q在该抛物线上，当四边形在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点为菱形时，求出点P的坐标；的坐标；(3)在在(2)的条件下，抛物线的条件下，抛物线yax2bxc在第一象限的图象上是否存在一点在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点，使得点M到直线到直线OP的距离与其到的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线轴的距离相等？若存在
7、，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由的函数解析式；若不存在，请说明理由解：解：(1)设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为ya(x2)24，将将(0，0)代入上式并解得代入上式并解得a1，故抛物线的表达式为，故抛物线的表达式为yx24x；(2)由点由点A(2，4)，知抛物线的对称轴为，知抛物线的对称轴为x2.由由OAQP为菱形，为菱形，知知OAAQ，则点，则点Q(抛物线与抛物线与x轴的右侧交点轴的右侧交点)与点与点O关于函数对称轴对称，点关于函数对称轴对称，点P和点和点A关于关于x轴对称，点轴对称，点P(2，4)；3(2020聊城聊城)如图，二次函数如图，二次函数yax2bx4的图象
8、与的图象与x轴交于点轴交于点A(1，0)，B(4，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段，其对称轴与线段BC交于交于点点E.垂直于垂直于x轴的动直线轴的动直线l分别交抛物线和线段分别交抛物线和线段BC于点于点P和点和点F，动直线，动直线l在抛在抛物线的对称轴的右侧物线的对称轴的右侧(不含对称轴不含对称轴)沿沿x轴正方向移动到轴正方向移动到B点点(1)求出二次函数和求出二次函数和BC所在直线的表达式；所在直线的表达式；(2)在动直线在动直线l移动的过程中，试求使四边形移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形时点为平行四边形时点P的的坐标；坐标；(3)连接连接CP，CD，在动直线，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使，使得以点得以点P，C，F为顶点的三角形与为顶点的三角形与DCE相似？如果存在，求出点相似？如果存在，求出点P的坐的坐标；如果不存在，请说明理由标；如果不存在，请说明理由
