1、第十三讲二次函数的图象与性质考点一二次函数的图象和性质考点一二次函数的图象和性质【主干必备主干必备】一、二次函数的概念及其关系式一、二次函数的概念及其关系式1.1.二次函数的概念二次函数的概念:形如形如_(a,b,c_(a,b,c是常是常数数,a0),a0)的函数的函数.y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c2.2.二次函数的解析式二次函数的解析式:(1)(1)一般式一般式:_.:_.(2)(2)顶点式顶点式:y=a(x-h):y=a(x-h)2 2+k(a0),+k(a0),其顶点坐标是其顶点坐标是_._.y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)(h,k)(h,k)二、
2、二次函数的图象与性质二、二次函数的图象与性质函函数数二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a,b,c(a,b,c为常数为常数,a0),a0)图图象象a0a0a0a0 函函数数二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a,b,c(a,b,c为常数为常数,a0),a0)性性质质抛物线开口向上抛物线开口向上抛物线开口向下抛物线开口向下对称轴是直线对称轴是直线x=_,x=_,顶点是顶点是_当当x-x-x-时时,y,y随随x x的增大的增大而而_ 当当x-x-x-时时,y,y随随x x的增大的增大而而_ b2a2()b 4acb,2a4ab2ab2ab2ab2a减
3、小减小增大增大增大增大减小减小函函数数二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a,b,c(a,b,c为常数为常数,a0),a0)性性质质抛物线有最低点抛物线有最低点,当当x=-x=-时时,y,y有最小有最小值值,y,y最小值最小值=抛物线有最高点抛物线有最高点,当当x=-x=-时时,y,y有最大值有最大值,y y最大值最大值=b2a24acb4ab2a24acb4a【核心突破核心突破】例例1(20181(2018成都中考成都中考)关于二次函数关于二次函数y=2xy=2x2 2+4x-1,+4x-1,下列下列说法正确的是说法正确的是()A.A.图象与图象与y y轴的交点坐标为
4、轴的交点坐标为(0,1)(0,1)B.B.图象的对称轴在图象的对称轴在y y轴的右侧轴的右侧C.C.当当x0 xyA.2y1 1yy2 2B.2yB.2y2 2yy1 1C.yC.y1 1yy2 222D.yD.y2 2yy1 122A A3.(20193.(2019安庆桐城市期末安庆桐城市期末)二次函数二次函数y=-xy=-x2 2+(8-m)x+12,+(8-m)x+12,当当x2x2时时,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小;当当x2x2时时,y,y随着随着x x的增大的增大而增大而增大,则则m m的值为的值为()A.-4A.-4B.4B.4C.6C.6D.10D.10B B4.
5、(20194.(2019上海静安区一模上海静安区一模)抛物线抛物线y=axy=ax2 2+(a-1)(a0)+(a-1)(a0)经过原点经过原点,那么该抛物线在对称轴左侧的部分是那么该抛物线在对称轴左侧的部分是_的的.(.(填填“上升上升”或或“下降下降”)下下降降考点二二次函数图象的平移考点二二次函数图象的平移【核心突破核心突破】例例2(1)(20192(1)(2019济宁中考济宁中考)将抛物线将抛物线y=xy=x2 2-6x+5-6x+5向上平移向上平移两个单位长度两个单位长度,再向右平移一个单位长度后再向右平移一个单位长度后,得到的抛得到的抛物线解析式是物线解析式是()A.y=(x-4)
6、A.y=(x-4)2 2-6-6 B.y=(x-1)B.y=(x-1)2 2-3-3C.y=(x-2)C.y=(x-2)2 2-2-2D.y=(x-4)D.y=(x-4)2 2-2-2D D(2)(2018(2)(2018绍兴中考绍兴中考)若抛物线若抛物线y=xy=x2 2+ax+b+ax+b与与x x轴两个交轴两个交点间的距离为点间的距离为2,2,称此抛物线为定弦抛物线称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦已知某定弦抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x=1,x=1,将此抛物线向左平移将此抛物线向左平移2 2个单个单位位,再向下平移再向下平移3 3个单位个单位,得到的抛物线过点得到的抛物线过
7、点()A.(-3,-6)A.(-3,-6)B.(-3,0)B.(-3,0)C.(-3,-5)C.(-3,-5)D.(-3,-1)D.(-3,-1)B B【明明技法技法】二次函数图象的平移变换二次函数图象的平移变换(1)(1)具体步骤具体步骤:先利用配方法把二次函数化成先利用配方法把二次函数化成y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式的形式,确确定其顶点定其顶点(h,k),(h,k),然后作出二次函数然后作出二次函数y=axy=ax2 2的图象的图象,将抛将抛物线物线y=axy=ax2 2平移平移,使其顶点平移到使其顶点平移到(h,k).(h,k).具体平移方法具体平移方法如图所示如
8、图所示:(2)(2)平移规律平移规律:在原有函数的基础上在原有函数的基础上“左加右减左加右减”.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019绍兴中考绍兴中考)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,抛物线抛物线y=(xy=(x+5)(x-3)+5)(x-3)经变换后得到抛物线经变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),y=(x+3)(x-5),则这个变则这个变换可以是换可以是()A.A.向左平移向左平移2 2个单位个单位 B.B.向右平移向右平移2 2个单位个单位C.C.向左平移向左平移8 8个单位个单位D.D.向右平移向右平移8 8个单位个单位B B2.(20192.(2019台州温岭市期
9、末台州温岭市期末)把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图的图象先向左平移象先向左平移2 2个单位长度个单位长度,再向下平移再向下平移3 3个单位长度个单位长度,所得的图象的解析式是所得的图象的解析式是y=xy=x2 2+5x+5,+5x+5,则则a-b+ca-b+c的值为的值为 ()A.2A.2B.4B.4C.8C.8D.14D.14A A3.(20193.(2019广东模拟广东模拟)如图如图,点点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(1,4)(1,4)和和(4,4),(4,4),抛物线抛物线y=a(x-m)y=a(x-m)2 2+n+n的顶点在线段的顶点在线段ABAB
10、上运动上运动,与与x x轴交于轴交于C,DC,D两点两点(C(C在在D D的左侧的左侧),),点点C C的横坐标最小值为的横坐标最小值为-3,-3,则点则点D D的横坐标最大值为的横坐标最大值为_._.8 84.(20194.(2019安徽模拟安徽模拟)如图如图,抛物线抛物线y y1 1=ax=ax2 2-x+c-x+c与与x x轴交轴交于点于点A(-3,0)A(-3,0)和点和点B,B,并经过点并经过点 ,抛物线抛物线y y1 1的顶点的顶点为为C.C.将抛物线将抛物线y y1 1平移后得到顶点为平移后得到顶点为B B且对称轴为直线且对称轴为直线l的抛物线的抛物线y y2 2.世纪金榜导学号
11、世纪金榜导学号5(2)2，(1)(1)求抛物线求抛物线y y2 2的表达式的表达式.(2)(2)在直线在直线l上是否存在点上是否存在点P,P,使使PBCPBC为等腰三角形为等腰三角形?若若存在存在,请求出所有点请求出所有点P P的坐标的坐标;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.【解析解析】(1)(1)由于抛物线由于抛物线y y1 1=ax=ax2 2-x+c-x+c与与x x轴交于点轴交于点A(-3,0)A(-3,0)和点和点B,B,并经过点并经过点 ,解得解得 抛物线抛物线y y1 1=当当y y1 1=0=0时时,=0,=0,解得解得x x1 1=-3,x=-3,x2 2=1,=1,5
12、(2)2，9a3c0,54a2c,2 1a,23c,2 213xx22，213xx22BB点的坐标为点的坐标为(1,0),(1,0),将抛物线将抛物线y y1 1平移后得到顶点为平移后得到顶点为B B且对称轴为直线且对称轴为直线l的的抛物线抛物线y y2 2.抛物线抛物线y y2 2的表达式为的表达式为:y:y2 2=-(x-1)=-(x-1)2 2.12(2)(2)在直线在直线l上存在点上存在点P,P,使使PBCPBC是等腰三角形是等腰三角形,由由y y1 1=-x=-x2 2-x+=-(x+1)-x+=-(x+1)2 2+2+2可知可知C C点的坐标为点的坐标为(-1,2),(-1,2),
13、根据勾股定理得根据勾股定理得BC=BC=设设P P点的坐标为点的坐标为(1,m),(1,m),12321222222 2，分三种情况分三种情况:当当PB=PCPB=PC时时,m,m2 2=2=22 2+(m-2)+(m-2)2 2,解得解得m=2,m=2,此时点此时点P P坐标为坐标为(1,2);(1,2);当当PB=BCPB=BC时时,m,m2 2=(2 )=(2 )2 2,解得解得m=m=2 ,2 ,此时点此时点P P坐标坐标为为(1,2 )(1,2 )或或(1,-2 );(1,-2 );2222当当PC=BCPC=BC时时,2,22 2+(m-2)+(m-2)2 2=(2 )=(2 )2
14、 2,解得解得m=4m=4或或m=0(m=0(舍去舍去),),此时点此时点P P坐标为坐标为(1,4);(1,4);综上综上,PBCPBC是等腰三角形时是等腰三角形时,点点P P的坐标为的坐标为(1,2)(1,2)或或(1,2 )(1,2 )或或(1,-2 )(1,-2 )或或(1,4).(1,4).222考点三二次函数图象与系数的关系考点三二次函数图象与系数的关系【核心突破核心突破】例例3(20193(2019随州中考随州中考)如图所示如图所示,已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+cbx+c的图象与的图象与x x轴交于轴交于A,BA,B两点两点,与与y y轴交于点轴交于点C
15、,OA=OC,C,OA=OC,对称轴为直线对称轴为直线x=1,x=1,则下列结论则下列结论:abc0;abc0a0开口向上开口向上|a|a|越大越大开口越小开口越小a0a0(bab0(b与与a a同号同号)对称轴在对称轴在y y轴左侧轴左侧ab0(bab0c0与与y y轴正半轴相交轴正半轴相交c0c0-4ac0与与x x轴有两个不同交点轴有两个不同交点b b2 2-4ac0-4ac0,a+b+c0,即当即当x=1x=1时时,y0,y0若若a+b+c0,a+b+c0,即当即当x=1x=1时时,y0,y0;-4ac0;5a-5a-2b+c0;2b+c0;4b+3c0,4b+3c0,其中错误结论的个
16、数是其中错误结论的个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4A A2.(20192.(2019汕头潮南区期末汕头潮南区期末)如图如图,抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的对称轴为直线的对称轴为直线x=1,x=1,与与x x轴的一个交点坐标为轴的一个交点坐标为(-1,0),(-1,0),其部分图象如图所示其部分图象如图所示,下列结论下列结论:4acb4ac0;3a+c0;当当x0 x0时时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小;当当y0y0时时,x,x的取值范围是的取值范围是-1x3;-1x0;abc0;2a2a+b=0;+b=0;4a+2
17、b+c0;4a+2b+c0;若若 是抛物线上是抛物线上两点两点,则则y y1 1yn+mx+cn的解集是的解集是_._.x x-31x1(2)(2018(2)(2018云南中考云南中考)已知二次函数已知二次函数y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c的的图象经过图象经过A(0,3),B(-4,-)A(0,3),B(-4,-)两点两点.求求b,cb,c的值的值.二次函数二次函数y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c的图象与的图象与x x轴是否有公共点轴是否有公共点,若有若有,求公共点的坐标求公共点的坐标;若没有若没有,请说明情况请说明情况.31692316【自主解答自主解答】把把A(0,3
18、),B(-4,-)A(0,3),B(-4,-)分别代入分别代入y=y=-x-x2 2+bx+c,+bx+c,得得 解得解得 92316c339164bc162，9b8c3.，由可得由可得,该抛物线解析式为该抛物线解析式为:=0,=0,所以二次函数所以二次函数y=-xy=-x2 2+bx+cbx+c的图象与的图象与x x轴有公共点轴有公共点.-x.-x2 2+x+3=0+x+3=0的解的解为为:x:x1 1=-2,x=-2,x2 2=8.=8.公共点的坐标是公共点的坐标是(-2,0)(-2,0)或或(8,0).(8,0).239yxx3168 2932254381664 （）（）31631698
19、【明明技法技法】二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系(1)(1)二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象与的图象与x x轴有两个交点轴有两个交点,则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程axax2 2+bx+bx+c=0(a0)+c=0(a0)的两个解的两个解.二次函数的图象与二次函数的图象与x x轴交点的个数由相应的一元二次轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定方程的根的判别式的符号确定.(2)(2
20、)利用二次函数图象解不等式的方法利用二次函数图象解不等式的方法不等式不等式axax2 2+bx+c0(+bx+c0(或或axax2 2+bx+c 0)+bx+c0.a0时时,y0,y0取两边取两边,y0,y0取中间取中间.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019深圳罗湖区期末深圳罗湖区期末)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的部的部分图象如图所示分图象如图所示,由图象可知方程由图象可知方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根是的根是世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.xA.x1 1=-1,x=-1,x2 2=5=5B.xB.x1 1=-2,x=-2,x
21、2 2=4=4C.xC.x1 1=-1,x=-1,x2 2=2=2D.xD.x1 1=-5,x=-5,x2 2=5=5A A2.(20192.(2019潍坊中考潍坊中考)抛物线抛物线y=xy=x2 2+bx+3+bx+3的对称轴为直线的对称轴为直线x=1.x=1.若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+bx+3-t=0(t+bx+3-t=0(t为实数为实数)在在-1x4-1x4的范围内有实数根的范围内有实数根,则则t t的取值范围是的取值范围是()A.2t11A.2t11B.t2B.t2C.6t11C.6t11D.2t6D.2t0y0时时,自变量自变量x x的取值范围是的取值范围是_._.-1x3-1x35.(20195.(2019安徽模拟安徽模拟)方程方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根为的两根为x=-3x=-3和和x=1,x=1,那么抛物线那么抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的对称轴是的对称轴是直线直线_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号x=-1x=-1
