2020高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（20）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（20） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|4x23x0，Bx|y= 2 1，则 AB（ ） A0，3 4 B C0，1 2 D1 2， 3 4 2 （5 分）若 a+2i（1i） （1+bi） （a，bR，i 为虚数单位） ，则复数 abi 在复平面内对 应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知某团队有老年人 28 人，中年人 56 人，

2、青年人 84 人，若按老年人，中年人， 青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 12 的样本，则从中年人中应抽取（ ） A2 人 B4 人 C5 人 D3 人 4 （5 分）已知双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 5 （5 分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值() ,1 4 ，2-，那么输入的实数 x 的取 值范围是（ ） A1，2 B2，1 C （，12，+） D （，1（2，+） 6 （5 分）已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如图所示，则该 凸多面

3、体的体积 V（ ） 第 2 页（共 20 页） A1+ 2 6 B1 C 2 6 D1+ 2 2 7 （5 分）设an是等比数列，若 a23，a71，则数列an前 8 项的积为（ ） A56 B80 C81 D128 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ） （单位： cm3） A2 B6 C10 D12 9 （5 分）设（1+2x+3x2）7a0+a1x+a2x2+a14x14，则 a4+a6+a8+a10+a12+a14（ ） A129927 B129962 C139926 D139962 10 （5 分）若抛物线 xmy2的焦点到准线的距离为 2，

4、则 m（ ） A4 B1 4 C 1 4 D1 4 11 （5 分）已知() = |3( + 1)|， (1，8) 4 6 ， ,8，+ - 若 f（m1）f（x）20 在定义域 上恒成立，则 m 的取值范围是（ ） A （0，+） B1，2） C1，+） D （0，1） 12 （5 分）设x为不超过 x 的最大整数，an为xx（x0，n） ）可能取到所有值的个数， Sn是数列 * 1 +2+前 n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ） （1）a34 （2）190 是数列an中的项 （3）10= 5 6 第 3 页（共 20 页） （4）当 n7 时，:21 取最小值 A1 个 B2 个 C3

5、 个 D4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知平面向量 ， 的夹角为 6，| |1，| |2，则 = 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 5 2 + 1 0 + 2 2 0 ，则 z3x+y 的最小值为 15 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的部分图象如图所示，其中 M （ 3，3）是图象的一个最高点，N（ 4 3 ，0）是图象与 x 轴的交点，将函数 f（x）的图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 1 12后，再向右平移 4个单位长度，得到函数 g（x）的图 象，则函数 g（x）的单调

6、递增区间为 16 （5 分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度 d（每层玻璃的厚度 相同）及两层玻璃间夹空气层厚度 l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 q 满足关系式：q1 | ( 1 2:2) ，其中玻璃的热传导系数 1410 3 焦耳/（厘米度） ，不 流通、干燥空气的热传导系数 22.510 4 焦耳/（厘米度） ，T 为室内外温度差q 值越小，保温效果越好现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表： 型号 每层玻璃厚度 d （单位：厘米） 玻璃间夹空气层厚度 l （单位：厘米） A 型 0.5 3 B 型 0.5 4 C 型 0.6 2 D 型 0.6

7、 3 则保温效果最好的双层玻璃的型号是 型 第 4 页（共 20 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17 已知三角形 ABC 的面积为3，A= 5 6 ， D 在边 BC 上， CAD= 6， BD2DC，内角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c求 a，b，c 18如图所示，在三棱锥 SBCD 中，平面 SBD平面 BCD，A 是线段 SD 上的点，SBD 为等边三角形，BCD30，CD2DB4 （）若 SAAD，求证：SDCA； （）若直线 BA 与平面 SCD 所成角的正弦值为4195 65 ，求 AD 的长 19 为了感谢消费者对超市的购物支持， 超市老板决定对超市积

8、分卡上积分超过 10000 分的 消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空回馈活动设计了两 种方案： 方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答； 其中单选题答对得 2 分，多选题答对得 3 分，无论单选题还是多选题答错得 0 分；每名 参赛的消费者至多答题 3 次，答题过程中得到 3 分或 3 分以上立刻停止答题，得到超市 回馈的奖品为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的 500 名 消费者中作出调研，所得结果如表所示： 男性消费者 女性消费者 选择方案一 150 80 选择方案二 150 120 （

9、）是否有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关； （）小明回答单选题的正确率为 0.8，多选题的正确率为 0.75 （）若小明选择方案一，记小明的得分为 X，求 X 的分布列以及期望； （）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由 第 5 页（共 20 页） 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20已知动圆过定点 F（0，1） ，且与直线 l：y1 相切，动圆圆心的轨迹为 C，过 F 作 斜率为 k（k0）的直线 m

10、 与 C 交于两点 A，B，过 A，B 分别作 C 的切线，两切线的交 点为 P，直线 PF 与 C 交于两点 M，N （1）证明：点 P 始终在直线 l 上且 PFAB； （2）求四边形 AMBN 的面积的最小值 21已知函数 f（x）ex（aexxa） （其中 e2.71828是自然对数的底数）的图象与 x 轴切于原点 （1）求实数 a 的值； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，满足 x0（k，k+1） ，且 kZ； （3）在（2）的条件下，求使 f（x0）m 成立的最小整数 m 的值 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22 已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （

11、 为参数） ， 以平面直角坐标系的原点 O 为极点， x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求 |2|2 |2:|2的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|的最小值为1 2 （1）求证：a+2b1； （2）若 2a+btab 恒成立，求实数 t 的最大值 第 6 页（共 20 页） 2020 高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（20） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满

12、分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|4x23x0，Bx|y= 2 1，则 AB（ ） A0，3 4 B C0，1 2 D1 2， 3 4 【解答】解：依题意， = *|42 3 0+ = *|0 3 4+， = *| = 2 1+ = *| 1 2+， 故 = ,1 2， 3 4- 故选：D 2 （5 分）若 a+2i（1i） （1+bi） （a，bR，i 为虚数单位） ，则复数 abi 在复平面内对 应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：因为 a+2i（1i） （1+bi）（1+b）+（b1）i

13、， a1+b 且 2b1； 所以：a4，b3； 复数 abi 在复平面内对应的点（4，3）所在的象限为第四象限 故选：D 3 （5 分）已知某团队有老年人 28 人，中年人 56 人，青年人 84 人，若按老年人，中年人， 青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 12 的样本，则从中年人中应抽取（ ） A2 人 B4 人 C5 人 D3 人 【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取 12 56 28+56+84 =4 人 故选：B 4 （5 分）已知双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 【

14、解答】解：根据题意，双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，设双曲线 C 第 7 页（共 20 页） 的方程为 2 2 2 6 = ， （t0） ， 又由双曲线 C 经过点 P（2，3） ，则有 2 1 2 =t，则 t= 3 2， 则双曲线的 C 的方程为 2 2 2 6 = 3 2，即： 2 3 2 9 =1，其焦距 c23，a= 3， 所以双曲线的离心率为：e= =2 故选：D 5 （5 分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值() ,1 4 ，2-，那么输入的实数 x 的取 值范围是（ ） A1，2 B2，1 C （，12，+） D （，1（2，+） 【解答】解：由

15、题意函数 f（x）可看成是分段函数， f（x）= 2 ， ,2，2- 2， (，2) (2，+ )， 当输出的函数值() ,1 4，2-时， f（x）2x1 4，2，x2，2， 即解1 4 2x2， 解得2x1，即 x2，1， f（x）2 时，x（，2）（2，+） ， 由两种情况都有可能，所以想的范围为并集， 即 x（，1（2，+） 故选：D 6 （5 分）已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如图所示，则该 第 8 页（共 20 页） 凸多面体的体积 V（ ） A1+ 2 6 B1 C 2 6 D1+ 2 2 【解答】解：几何体如图：下部是正方体，棱长为 1，上部是正

16、四棱锥，高为： 2 2 ， 所以该凸多面体的体积 V111+ 1 3 1 1 2 2 =1+ 2 6 故选：A 7 （5 分）设an是等比数列，若 a23，a71，则数列an前 8 项的积为（ ） A56 B80 C81 D128 【解答】解：an是等比数列，若 a23，a71， 13q5q5= 1 3 数列an前 8 项的积为：a1a2a3a8a28q 1+0+1+2+3+4+5+638（1 3） 43481 故选：C 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ） （单位： cm3） 第 9 页（共 20 页） A2 B6 C10 D12 【解答】解：根据

17、几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体的底面为直角梯形，高为 2 四棱锥体 故 V= 1 3 1 2 (1 + 2) 2 2 = 2 故选：A 9 （5 分）设（1+2x+3x2）7a0+a1x+a2x2+a14x14，则 a4+a6+a8+a10+a12+a14（ ） A129927 B129962 C139926 D139962 【解答】解：（1+2x+3x2）7a0+a1x+a2x2+a14x14， 令 x0，a01；令 x1，即 67a0+a1+a2+a14； 令 x1，即 27a0a1+a2a3+a14； 两式相加，6 7:27 2 = 0+ 2+ 4+ + 14， 而

18、2= 7 1 3 + 7 2 22= 105， 第 10 页（共 20 页） 故 a4+a6+a8+a10+a12+a14= 67+27 2 105 1 = 139926， 故选：C 10 （5 分）若抛物线 xmy2的焦点到准线的距离为 2，则 m（ ） A4 B1 4 C 1 4 D1 4 【解答】 解： 抛物线xmy2， y2= 1 x的焦点到准线的距离为p， 由标准方程可得| 1 2|2， 解得 m1 4， 故选：D 11 （5 分）已知() = |3( + 1)|， (1，8) 4 6 ， ,8，+ - 若 f（m1）f（x）20 在定义域 上恒成立，则 m 的取值范围是（ ） A

19、（0，+） B1，2） C1，+） D （0，1） 【解答】解：() = |3( + 1)|， (1，8) 4 6 ， ,8，+ - ， 当1x8 时，log3（x+1）（，2） ，|log3（x+1）|0，2） ， x（1，0）时，f（x）|log3（x+1）|单调递减，x（0，8）时，f（x）单调递增， 且当 x= 8 9时，f（x）2 当 x8 时，f（x）= 4 6单调递减且 f（x）（0，2， 其图象如下： 第 11 页（共 20 页） 若 f（m1）f（x）20， 则 f（m1）f（x）2， （m1）f（x） 8 9， 当 f（x）0 时，mR； 当 f（x）0 时，m1 8 9

20、()，当 f（x）+时， ;8 9 ()0， m10， 解得：m1 故选：C 12 （5 分）设x为不超过 x 的最大整数，an为xx（x0，n） ）可能取到所有值的个数， Sn是数列 * 1 +2+前 n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ） （1）a34 （2）190 是数列an中的项 （3）10= 5 6 （4）当 n7 时，:21 取最小值 A1 个 B2 个 C3 个 D4 【解答】解：an为xx（x0，n） ）可能取到所有值的个数， 当 n1 时，xx0，即 a11，S1= 1 1+2 =2（1 2 1 3）= 1 3； 第 12 页（共 20 页） 当 n2 时，xx0，1，即

21、a22，S22（1 2 1 3 + 1 3 1 4）= 1 2； 当 n3 时，xx0，1，4，5，即 a34，S32（1 2 1 3 + 1 3 1 4 + 1 4 1 5）= 3 5； 当 n4 时， xx0， 1， 4， 5， 9， 10， 11， 即 a47， S42 （1 2 1 3 + 1 3 1 4 + 1 4 1 5 + 1 5 1 6） = 2 3； ，可得 an1+（1+2+3+n1）= 1 2n（n1）+1， 可令 an190，即 n2n3780，可得 n 不为整数，故（1）正确；故（2）错误； S102（1 2 1 3 + 1 3 1 4 + 1 4 1 5 + 1 5

22、 1 6 + + 1 11 1 12）= 5 6，故（3）正确； :21 = 2 + 22 1 2 2 2 22 1 2，由于 n= 44（不为自然数） ，取不到等号， 考虑 n6 时，有 3+ 11 3 1 2 = 37 6 ；n7 时，7 2 + 22 7 1 2 = 43 7 37 6 ， 则当 n7 时，:21 取最小值，故（4）正确 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知平面向量 ， 的夹角为 6，| |1，| |2，则 = 3 【解答】解：因为平面向量 ， 的夹角为 6，| |1，| |2， =|

23、 | |cos 6 =12 3 2 = 3， 故答案为：3 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 5 2 + 1 0 + 2 2 0 ，则 z3x+y 的最小值为 1 【解答】解：由实数 x，y 满足 5 2 + 1 0 + 2 2 0 ，作出可行域如图， 联立2 + 1 = 0 + 2 2 = 0，解得 A（0，1） ， 化目标函数 z3x+y 为 y3x+z， 由图可知，当直线 y3x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 30+1 1 故答案为：1 第 13 页（共 20 页） 15 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的部分图象如图所示，其

24、中 M （ 3，3）是图象的一个最高点，N（ 4 3 ，0）是图象与 x 轴的交点，将函数 f（x）的图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 1 12后，再向右平移 4个单位长度，得到函数 g（x）的图 象，则函数 g（x）的单调递增区间为 为, 9 + 3 ， 5 18 + 3 -( ) 【解答】解：依题意， = 3， 4 = 4 3 3 = ，即 T4， 故 = 1 2，() = 3( 1 2 + )； 将( 3 ，3)代入 f（x）中，可知1 2 3 + = 2 + 2， ，故 = 3 + 2， ； 不妨设 k0，得 = 3，故函数() = 3( 1 2 + 3)； 将函数 f（x）的图象压

25、缩为原来的 1 12后，得到 = 3(6 + 3)， 再向右平移 4个单位，得() = 3,6( 4) + 3- = 3(6 6)； 要求函数的增区间，只需 2 + 2 6 6 3 2 + 2， 解得 9 + 3 5 18 + 3 ， 故函数 g（x）的单调递增区间为, 9 + 3 ， 5 18 + 3 -( ) 第 14 页（共 20 页） 故答案为：, 9 + 3 ， 5 18 + 3 -( ) 16 （5 分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度 d（每层玻璃的厚度 相同）及两层玻璃间夹空气层厚度 l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 q 满足关系式：q1 |

26、 ( 1 2:2) ，其中玻璃的热传导系数 1410 3 焦耳/（厘米度） ，不 流通、干燥空气的热传导系数 22.510 4 焦耳/（厘米度） ，T 为室内外温度差q 值越小，保温效果越好现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表： 型号 每层玻璃厚度 d （单位：厘米） 玻璃间夹空气层厚度 l （单位：厘米） A 型 0.5 3 B 型 0.5 4 C 型 0.6 2 D 型 0.6 3 则保温效果最好的双层玻璃的型号是 B 型 【解答】解：A 型双层玻璃窗户：( 1 2 + 2) = 0.5( 41033 2.51040.5 + 2) = 49； B 型双层玻璃窗户：( 1 2 + 2

27、) = 0.5( 41034 2.51040.5 + 2) = 65； C 型双层玻璃窗户：( 1 2 + 2) = 0.6( 41032 2.51040.6 + 2) = 33.2； D 型双层窗户：( 1 2 + 2) = 0.6( 41033 2.51040.6 + 2) = 49.2； 根据 q1 | (1 2:2) ，且 q 值越小，保温效果越好， 故答案为：B 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17 已知三角形 ABC 的面积为3，A= 5 6 ， D 在边 BC 上， CAD= 6， BD2DC，内角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c求 a，b，c 【解答】解：依

28、题意， = 6 ， = 2 3 ， 三角形 ABC 的面积为3， 第 15 页（共 20 页） 1 2 5 6 =3，即 = 43， 在ABD 中，由正弦定理有， = ， 在ACD 中，由正弦定理有， = ， 又 = 2， = 3 2 ， = 1 2， = ， = 3 2 ， = 6， = 22， 2= 2+ 2 2 5 6 = 6 + 8 2 6 22 ( 3 2 ) = 26， = 26 18如图所示，在三棱锥 SBCD 中，平面 SBD平面 BCD，A 是线段 SD 上的点，SBD 为等边三角形，BCD30，CD2DB4 （）若 SAAD，求证：SDCA； （）若直线 BA 与平面 SC

29、D 所成角的正弦值为4195 65 ，求 AD 的长 【解答】解： （）SAAD，SBD 为等边三角形，ABSD， 取 BD 中点 O，连结 SO，CO， 平面 SBD平面 BCD，A 是线段 SD 上的点，SBD 为等边三角形，BCD30， CD2DB4 SO底面 BCD，cos30= 2+22 2 = 2+164 8 ，解得 BC23， cosBDC= 2+22 2 = 4+1612 224 = 1 2，BDC60，DBC90， 第 16 页（共 20 页） BCBD，BC平面 SBD，SD平面 SBD，BCSD， SDBAA，SD平面 ABC， CA平面 ABC，SDCA （）解： =

30、2 2= 3CO= 2+ 2= 12 + 1 = 13， SC= 2+ 2= 3 + 13 =4， 设点 B 到平面 SCD 的距离为 h， 由 VBSDCVSBCD，得1 3 1 2 2 42 12 = 1 3 1 2 23 2 3， 解得 h= 6 15， 直线BA与平面SCD所成角的正弦值为4195 65 ， sin= ， 解得BA= 6 15 65 4195 = 13 2 ， BA2BD2+AD22BDADcos60， 13 4 = 4 + 2 2， 解得 AD= 3 2或 AD= 1 7 19 为了感谢消费者对超市的购物支持， 超市老板决定对超市积分卡上积分超过 10000 分的 消

31、费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空回馈活动设计了两 种方案： 方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答； 其中单选题答对得 2 分，多选题答对得 3 分，无论单选题还是多选题答错得 0 分；每名 参赛的消费者至多答题 3 次，答题过程中得到 3 分或 3 分以上立刻停止答题，得到超市 回馈的奖品为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的 500 名 消费者中作出调研，所得结果如表所示： 男性消费者 女性消费者 第 17 页（共 20 页） 选择方案一 150 80 选择方案二 150 120 （）是否

32、有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关； （）小明回答单选题的正确率为 0.8，多选题的正确率为 0.75 （）若小明选择方案一，记小明的得分为 X，求 X 的分布列以及期望； （）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （）依题意，完善列联表如下所示： 男性消费者 女性消费者 总计 选择方案一 150 80 230 选择方案二 150 120 270 总计 30

33、0 200 500 2= 500(15012015080)2 230270300200 4.8316.635， 故没有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关 （） （）X 的所有可能取值为 0，2，3，4， 则( = 0) = 1 4 1 5 1 5 = 1 100，( = 2) = 2 1 4 1 5 4 5 = 8 100，( = 3) = 3 4 = 75 100， ( = 4) = 1 4 4 5 4 5 = 16 100， 故 X 的分布列为： X 0 2 3 4 P 1 100 8 100 75 100 16 100 所以() = 0 1 100 + 2 8 100 + 3

34、 75 100 + 4 16 100 = 305 100 = 3.05 （）小明选择方案一获得奖品的概率为1= ( 3) = 75 100 + 16 100 = 91 100 = 0.91， 小明选择方案二获得奖品的概率为2= ( 3) = 2 1 5 4 5 4 5 + 4 5 4 5 = 112 125 = 第 18 页（共 20 页） 896 1000 = 0.896， 因为 P2P1，所以小明选择方案一更有可能获得奖品 20已知动圆过定点 F（0，1） ，且与直线 l：y1 相切，动圆圆心的轨迹为 C，过 F 作 斜率为 k（k0）的直线 m 与 C 交于两点 A，B，过 A，B 分别

35、作 C 的切线，两切线的交 点为 P，直线 PF 与 C 交于两点 M，N （1）证明：点 P 始终在直线 l 上且 PFAB； （2）求四边形 AMBN 的面积的最小值 【解答】解： （1）动圆过定点 F（0，1） ，且与直线 l：y1 相切， 动圆圆心到定点 F（0，1）和定直线 y1 的距离相等， 动圆圆心的轨迹 C 是以 F（0，1）为焦点的抛物线， 轨迹 C 的方程为：x24y， 设(1， 1 2 4 )，(2， 2 2 4 )， x24y，= 2， 直线 PA 的方程为： 1 2 4 = 1 2 ( 1)，即：4 = 21 1 2， 同理，直线 PB 的方程为：4 = 22 2 2

36、， 由可得：(1+2 2 ， 12 4 )， 因为过 F 作斜率为 k（k0）的直线 m，所以直线 m 方程为：ykx+1， 联立 = + 1 2= 4 可得：x24kx40，所以1 + 2= 4 12= 4 ， P（2k，1） ， = 1 = 1， 点 P 始终在直线 l 上且 PFAB （2）设直线 AB 的倾斜角为 ，由（1）可得： | = 1 + 2|1 2| = 4(1 + 2) = 4(1 + 2) = 4 2， | = 4 2(+90) = 4 2， 四边形 AMBN 的面积为：1 2 | | = 8 22 = 32 22 32， 当且仅当 45或 135，即 k1 时取等号，

37、第 19 页（共 20 页） 四边形 AMBN 的面积的最小值为 32 21已知函数 f（x）ex（aexxa） （其中 e2.71828是自然对数的底数）的图象与 x 轴切于原点 （1）求实数 a 的值； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，满足 x0（k，k+1） ，且 kZ； （3）在（2）的条件下，求使 f（x0）m 成立的最小整数 m 的值 【解答】解： （1）f（x）ex（aexxa） ， f（x）ex（2aexxa1） ， 由题意可知，f（0）a10， 所以 a1， （2）由（1）可知，f（x）ex（2exx2） ， 令 g（x）2exx2，则 g（x）2ex1， 当

38、xln2 时，g（x）2ex10，g（x）单调递增，当 xln2 时，g（x）2ex 10，g（x）单调递减， 故当 xln2 时 g（x）取得最小值 g（ln2）ln210，且 g（0）0， 又 x，g（x）0，x+时，g（x）0， 故存在 x0ln2 使得 g（x0）0， 且 xx0时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增，x0x0 时，g（x）0，f （x）0，f（x）单调递减，x0 时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增， 故当 xx0时，函数存在唯一的极大值， g（2）= 2 2 0，g（1）= 2 10， 故 x0（2，1） ， 故 f（x）存在唯一的极大值点 x0，满足

39、 x0（2，1） ， （3）由（2）可得，02e 0 x02， f（x0）e 0（e0 x01）（1+ 1 2 0） （ 1 2 0）= 1 4 (02+ 20)， 结合二次函数的性质可知，x0（2，1）时， 1 4 (02+ 20) (0， 1 4)， 故使得 f（x0）m 成立的最小整数 m 的值 1 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 第 20 页（共 20 页） 22 已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ， 以平面直角坐标系的原点 O 为极点， x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，求

40、 |2|2 |2:|2的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1， 转换为极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ， 设 P（1，） ，则 Q（2， 2） ， 所以 |2|2 |2:|2 = 1 1 |2: 1 |2 = 1 1 12: 1 22 = 1 3 4 2:1 4: 3 4 2:1 4 = 4 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|的最小值为1 2 （1）求证：a+2b1； （2）若 2a+btab 恒成立，求实数 t 的最大值 【解答】解： （1）证明：a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|x+ 2|+|x+ 2|+|xb| | 2 + 2|+|x+ 2 x+b|0+|b+ 2