1、 第 1 页(共 18 页) 2020 高考数学(文科)全国一卷高考模拟试卷(高考数学(文科)全国一卷高考模拟试卷(9) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知集合 AxN|x1,Bx|x5,则 AB( ) Ax|1x5 Bx|x1 C2,3,4 D1,2,3,4,5 2 (5 分)若复数 z 满足 = 1+ 1 3(其中 i 为虚数单位) ,则|z|( ) A2 B3 C10 D4 3 (5 分)天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又 名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这
2、个概念星等的数值越小,星星就越亮; 星等的数值越大它的光就越暗到了 1850 年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英 国天文学家普森(MRPogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念,天体的明 暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5(lgE2lgE1) , 其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1,2)已知“心宿二”的星等是 1.00, “天津四”的 星等是 1.25, “心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍,则与 r 最接近的是(当|x|较小时, 10x1+2.3x+2.7x2) ( ) A1.24 B1.25 C1.26 D1.27 4 (5 分)设命题
3、 p:所有正方形都是平行四边形,则p 为( ) A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D不是正方形的四边形不是平行四边形 5 (5 分)若向量 =(4,2) , =(6,k) ,若 ,则 k( ) A12 B12 C3 D3 6 (5 分) 已知双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0)的一条渐近线与直线 3x2y50 垂直, 则此双曲线的离心率为( ) A 13 3 B 13 2 C 15 3 D 15 2 7 (5 分)已知 x,y 的取值如表所示,若 y 与 x 线性相关,且 =0.5x+a,则 a( ) x 0 1 3 4 第 2 页(共
4、 18 页) y 2.2 4.3 4.8 6.7 A3.5 B2.2 C4.8 D3.2 8 (5 分)已知一个简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A3+6 B6+6 C3+12 D12 9(5 分) 在区间 2, 2上机取一个实数 x, 则 sinx 的值在区间 1 2, 3 2 上的概率为 ( ) A1 3 B1 2 C2 3 D1+3 4 10 (5 分)已知函数 f(x)sin2x+acos2x,将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后,得 到 g(x)的图象若 g(x)的图象关于直线 x= 4对称,则 f()( ) A 3 3 B 3 3 C3 D3 11 (5
5、分)从 A 地到 B 地有三条路线:1 号路线,2 号路线,3 号路线小王想自驾从 A 地 到 B 地,因担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说: “2 号路线不堵车,3 号路线不 堵车, ”司机乙说: “1 号路线不堵车,2 号路线不堵车, ”司机丙说: “1 号路线堵车,2 号路线不堵车 ”如果三位司机只有一位说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线 是( ) A1 号路线 B2 号路线 C3 号路线 D2 号路线或 3 号路线 12 (5 分)如图是函数 yf(x)的导数 yf(x)的图象,则下面判断正确的是( ) 第 3 页(共 18 页) A在(3,1)内 f(x)是增函数 B在
6、x1 时 f(x)取得极大值 C在(4,5)内 f(x)是增函数 D在 x2 时 f(x)取得极小值 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)曲线 f(x)x2e x 在点(1,f(1) )处的切线方程为 14(5 分) 若抛物线 y22px (p0) 的焦点是双曲线 2 2 2 = 1的一个焦点, 则 p 15 (5 分)在ABC 中,a= 2b,sinC= 3sinB,则 cosB 16 (5 分) 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB3, AC3, BAC120,AA18,则球
7、 O 的表面积为 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和 Snn2+n,等比数列bn的公比 q1,且 b3+b4+b5 28,b4+2 是 b3,b5的等差中项 ()求数列an和bn的通项公式; ()求数列bn+ 1 21的前 n 项和 Tn 18(12分) 如图, 矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直, BADADC90, ABAD= 1 2CD, BEDF ()若 M 为 EA 中点,求证:AC平面 MDF: ()若 AB2,求四棱锥 EABCD 的体积 19 (12 分)某市高中某学科竞赛
8、中,某区 4000 名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图 第 4 页(共 18 页) 所示 (1)求这 4000 名考生的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表) ; (2)记 70 分以上为合格,70 分及以下为不合格,结合频率分布直方图完成下表,能否 在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关? 不合格 合格 合计 男生 720 女生 1020 合计 4000 附: P(K2k0) 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 K2= ()2 (+)(+(+)(+) 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 4 + 2 3 = 1
9、的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且点 M 满足 = (1)若点 M(1, 3 4 ) ,求直线 l 的方程; (2) 若直线 l 过点 F2且不与 x 轴重合, 过点 M 作垂直于 l 的直线 l与 y 轴交于点 A (0, t) ,求实数 t 的取值范围 21 (12 分)已知函数 f(x)lnx+a(x2x) (aR) (1)当 a0,证明:f(x)x1; (2)如果函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1x2) ,且 f(x1)+f(x2)k 恒成立,求 实数 k 的取值范围; 第 5 页(共 18 页) (3)当 a0 时,求函数 f(x)
10、的零点个数 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)在平面直角坐标系 x0y 中,直线 l1的参数方程为 = 3 = (t 为参数) ,直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 (m 为参数) 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 ()求出曲线 C1的普通方程; ()以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32,点 Q 为曲线 C1 上的动点,求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知
11、函数 f(x)|x+1|+2|x1| (1)求不等式 f(x)3 的解集; (2)若函数 yf(x)的图象的最低点为(m,n) ,正数 a,b 满足 ma+nb2,求2 + 1 的 最小值 第 6 页(共 18 页) 2020 高考数学(文科)全国一卷高考模拟试卷(高考数学(文科)全国一卷高考模拟试卷(9) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知集合 AxN|x1,Bx|x5,则 AB( ) Ax|1x5 Bx|x1 C2,3,4 D1,2,3,4,5 【解答】解:集合 AxN|x
12、1,Bx|x5, ABxN|1x52,3,4 故选:C 2 (5 分)若复数 z 满足 = 1+ 1 3(其中 i 为虚数单位) ,则|z|( ) A2 B3 C10 D4 【解答】解: = 1+ 1 3 = (1+)2 (1)(1+) 3i= 2 2 3i2i, 则|z|2|2 故选:A 3 (5 分)天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又 名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小,星星就越亮; 星等的数值越大它的光就越暗到了 1850 年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英 国天文学家普森(MRPogson)又提出了衡量天体明
13、暗程度的亮度的概念,天体的明 暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5(lgE2lgE1) , 其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1,2)已知“心宿二”的星等是 1.00, “天津四”的 星等是 1.25, “心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍,则与 r 最接近的是(当|x|较小时, 10x1+2.3x+2.7x2) ( ) A1.24 B1.25 C1.26 D1.27 【解答】解:设“心宿二”的星等是 m1, “天津四”的星等是 m2, “心宿二”的亮度是 E1, “天津四”的亮度是 E2, 则 m11.00,m21.25,E1rE2, 两颗星的星等与亮度满
14、足 m1m22.5(lgE2lgE1) , 11.252.5(lgE2lgrE2) , 即:lgr0.1, r100.11+2.30.1+2.7(0.1)21+0.23+0.0271.257, 第 7 页(共 18 页) 与 r 最接近的是 1.26, 故选:C 4 (5 分)设命题 p:所有正方形都是平行四边形,则p 为( ) A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D不是正方形的四边形不是平行四边形 【解答】解:命题的否定为否定量词,否定结论 故p,有的正方形不是平行四边形 故选:C 5 (5 分)若向量 =(4,2) , =(6,k) ,若
15、,则 k( ) A12 B12 C3 D3 【解答】解:根据题意,向量 =(4,2) , =(6,k) , 若 ,则有 4k2612, 解可得 k3; 故选:D 6 (5 分) 已知双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0)的一条渐近线与直线 3x2y50 垂直, 则此双曲线的离心率为( ) A 13 3 B 13 2 C 15 3 D 15 2 【解答】解:双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0)的一条渐近线:y= ,与直线 3x 2y50 垂直 可得: 3 2 = 1,可得 3a2b,所以 9a24b24c24a2,可得 13a24c2, 可得 e= 13 2 故选:B 7 (5 分)已
16、知 x,y 的取值如表所示,若 y 与 x 线性相关,且 =0.5x+a,则 a( ) x 0 1 3 4 第 8 页(共 18 页) y 2.2 4.3 4.8 6.7 A3.5 B2.2 C4.8 D3.2 【解答】解:由图表知, =2, =4.5, 代入 =0.5x+a,得 4.50.52+a,解得 a3.5 故选:A 8 (5 分)已知一个简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A3+6 B6+6 C3+12 D12 【解答】解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为组合体,左边部分是四分之一圆锥,右边部分为三棱锥, 则其体积 V= 1 4 1 3 32 4 + 1 3
17、1 2 3 3 4 = 3 + 6 故选:A 9(5 分) 在区间 2, 2上机取一个实数 x, 则 sinx 的值在区间 1 2, 3 2 上的概率为 ( ) A1 3 B1 2 C2 3 D1+3 4 第 9 页(共 18 页) 【解答】解: 1 2 sinx 3 2 , 当 x 2, 2时, x 6, 3 所求概率 P= 3( 6) 2( 2) = 1 2, 故选:B 10 (5 分)已知函数 f(x)sin2x+acos2x,将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后,得 到 g(x)的图象若 g(x)的图象关于直线 x= 4对称,则 f()( ) A 3 3 B 3 3 C3 D3
18、【解答】解:() = ( 6) = (2 3) + (2 3), 因为 g(x)的图象关于直线 = 4对称, 所以( 4) = 6 + 6 = 1 + 2, 即1 2 + 3 2 = 1 + 2, 解得 = 3,故() = = 3 故选:D 11 (5 分)从 A 地到 B 地有三条路线:1 号路线,2 号路线,3 号路线小王想自驾从 A 地 到 B 地,因担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说: “2 号路线不堵车,3 号路线不 堵车, ”司机乙说: “1 号路线不堵车,2 号路线不堵车, ”司机丙说: “1 号路线堵车,2 号路线不堵车 ”如果三位司机只有一位说法是完全正确的,那么小王最应
19、该选择的路线 是( ) A1 号路线 B2 号路线 C3 号路线 D2 号路线或 3 号路线 【解答】解:如果司机甲说法正确,则司机乙和司机甲说法矛盾,不合题意; 如果司机乙说法正确,则 1 号线不堵车,2 号线不堵车,3 号线堵车,符合题意; 若果司机丙说法正确,则 1 号线路堵车,2 号线路不堵车,3 号线路堵车,符合题意 故选:B 12 (5 分)如图是函数 yf(x)的导数 yf(x)的图象,则下面判断正确的是( ) 第 10 页(共 18 页) A在(3,1)内 f(x)是增函数 B在 x1 时 f(x)取得极大值 C在(4,5)内 f(x)是增函数 D在 x2 时 f(x)取得极小
20、值 【解答】解:根据题意,依次分析选项: 对于 A,在(3, 3 2)上,f(x)0,f(x)为减函数,A 错误; 对于 B,在( 3 2,2)上,f(x)0,f(x)为增函数,x1 不是 f(x)的极大值点, B 错误; 对于 C,在(4,5)上,f(x)0,f(x)为增函数,C 正确; 对于 D,在( 3 2,2)上,f(x)0,f(x)为增函数,在(2,4)上,f(x)0, f(x)为减函数,则在 x2 时 f(x)取得极大值,D 错误; 故选:C 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)曲线 f(x)x2e x 在点
21、(1,f(1) )处的切线方程为 xey0 【解答】解:f(x)2xe xx2ex,(1) =1 ,(1) = 1 故切线为: 1 = 1 ( 1),即 xey0 故答案为:xey0 14(5 分) 若抛物线 y22px (p0) 的焦点是双曲线 2 2 2 = 1的一个焦点, 则 p 12 【解答】解:抛物线 y22px(p0)的焦点是双曲线 2 2 2 = 1的一个焦点, 可得 2 =2 + ,解得 p12 故答案为:12 15 (5 分)在ABC 中,a= 2b,sinC= 3sinB,则 cosB 6 3 【解答】解:a= 2b,sinC= 3sinB, 第 11 页(共 18 页)
22、由正弦定理可得 c= 3b, 由余弦定理可得 cosB= 2+22 2 = (2)2+(3)22 223 = 6 3 故答案为: 6 3 16 (5 分) 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB3, AC3, BAC120,AA18,则球 O 的表面积为 100 【解答】解:设ABC 外接圆的圆心为 D, AB3,AC3,BAC120, DADBDC3, 而点 O 一定在直三棱柱 ABCA1B1C1的中垂面上,且 OD平面 ABC, OD= 1 2 1= 4, 球 O 的半径 = 2+ 2= 42+ 32= 5, 球 O 的表面积为 452100 故答案
23、为:100 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和 Snn2+n,等比数列bn的公比 q1,且 b3+b4+b5 28,b4+2 是 b3,b5的等差中项 ()求数列an和bn的通项公式; ()求数列bn+ 1 21的前 n 项和 Tn 【解答】解: ()= 2+ ,n2 时,anSnSn12n, 又 n1 时,a1S12 满足上式, an2n; b4+2 是 b3,b5的等差中项, 可得 b3+b52(b4+2) , 又等比数列bn的公比 q1,且 b3+b4+b528, b48,b3+b5
24、20, 又35= 4 2 =64,q1,解得 b34,b516, q2,= 21; ()+ 1 21 = 21+ 1 (2)21 = 21+ 1 2( 1 21 1 2+1), 第 12 页(共 18 页) = (20+ 21+ + 21) + 1 2 (1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21) = 2 1 + 2+1 18(12分) 如图, 矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直, BADADC90, ABAD= 1 2CD, BEDF ()若 M 为 EA 中点,求证:AC平面 MDF: ()若 AB2,求四棱锥 EABCD 的体积 【解答】 ()证明:设 EC 与 DF 交于点 N
25、,连结 MN, 矩形 CDEF,点 N 为 EC 中点, M 为 EA 中点,MNAC, 又AC平面 MDF,MN平面 MDF, AC平面 MDF; ()解:取 CD 中点为 G,连结 BG,EG, AB= 1 2CDDG,ABDG,BAD90, 四边形 ABGD 是矩形,BGCD 平面 CDEF平面 ABCD, 平面 CDEF平面 ABCDCD, BG平面 ABCD, BGCD, BG平面 CDEF,同理 ED平面 ABCD, 又DF平面 CDEF, BGDF,又 BEDF,BEBGB, DF平面 BEG,DFEG RtDEGRtEFD,DE2DGEF8,DE22, 又= 1 2 (2 +
26、4) 2 = 6, VEABCD= 1 3SABCDED= 1 3 6 22 = 42 第 13 页(共 18 页) 19 (12 分)某市高中某学科竞赛中,某区 4000 名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图 所示 (1)求这 4000 名考生的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表) ; (2)记 70 分以上为合格,70 分及以下为不合格,结合频率分布直方图完成下表,能否 在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关? 不合格 合格 合计 男生 720 女生 1020 合计 4000 附: P(K2k0) 0.010 0.005 0.001 k0 6.635
27、7.879 10.828 K2= ()2 (+)(+(+)(+) 【解答】解: (1)由题意,得: 中间值 45 55 65 75 85 95 频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 计算 =450.1+550.15+650.2+750.3+850.15+950.170.5(分) 第 14 页(共 18 页) 所以这 4 000 名考生的平均成绩为 70.5 分 (2)列出 22 列联表如下: 不合格 合格 合计 男 720 1180 1900 女 1080 1020 2100 合计 1800 2200 4 000 计算 K2= 4000(720102011801080)2
28、1800220019002100 = 40005454 18221921 73.826.635, 故能在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 4 + 2 3 = 1的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且点 M 满足 = (1)若点 M(1, 3 4 ) ,求直线 l 的方程; (2) 若直线 l 过点 F2且不与 x 轴重合, 过点 M 作垂直于 l 的直线 l与 y 轴交于点 A (0, t) ,求实数 t 的取值范围 【解答】解: (1)由题意点 M 满足 = ,可得 M 是 PQ 的中
29、点 设 P(x,y) ,Q(x,y) ,则 x+x2,y+y= 3 2 , 点 P,Q 在椭圆 C 上, 2 4 + 2 3 = 1 2 4 + 2 3 = 1 , 两式相减,得(+)() 4 + (+)() 3 =0, k= = 3(+) 4(+) = 3, 直线 l 的方程为:y 3 4 = 3(x1) ,即 43x+4y53 =0 (2)由题意,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , M 是 PQ 的中点,M(1+2 2 ,1+2 2 ) 当直线 l 斜率不存在时,直线 l 的直线方程为:x1 此时 P(1, 3 2 ) ,Q(1, 3 2 ) ,M(1,0) 第 15 页(共 1
30、8 页) 直线 l:y0,A(0,0) t0 当直线 l 斜率存在时,设斜率为 k, (k0) ,则 直线 l:yk(x1) 联立 = ( 1) 2 4 + 2 3 = 1 , 整理,得(4k2+3)x28k2x+4k2120 则64k44(4k2+3) (4k212)144(k2+1)0 x1+x2= 82 42+3,x1x2= 4212 42+3 1+2 2 = 42 42+3, 1+2 2 = (11)+(21) 2 =k(1+2 2 1)k( 42 42+3 1)= 3 42+3 点 M 坐标为( 42 42+3, 3 42+3) 直线 l与直线 l 互相垂直, 直线 l的斜率为 1
31、直线 l的直线方程:y+ 3 42+3 = 1 (x 42 42+3) 将 A(0,t)代入直线 l的直线方程,可得 t+ 3 42+3 = 1 ( 42 42+3) , 解得 t= 42+3 (i)当 k0 时,t= 42+3 = 1 4+3 , 4k+ 3 24 3 =43当且仅当 4k= 3 ,即 k= 3 2 时,等号成立 0t= 1 4+3 1 43 = 3 12 (ii)当 k0 时,t= 42+3 = 1 4+3 = 1 4()+ 3 , 4(k)+ 3 24() 3 =43当且仅当 4(k)= 3 ,即 k= 3 2 时,等号 成立 3 12 = 1 43 t= 1 4()+
32、3 0 第 16 页(共 18 页) 综上所述,可知实数 t 的取值范围为 3 12, 3 12 21 (12 分)已知函数 f(x)lnx+a(x2x) (aR) (1)当 a0,证明:f(x)x1; (2)如果函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1x2) ,且 f(x1)+f(x2)k 恒成立,求 实数 k 的取值范围; (3)当 a0 时,求函数 f(x)的零点个数 【解答】解: (1)证明:当 a0 时,f(x)x1 等价于 lnxx1,即证 xlnx10, 令 g(x)xlnx1,则() = 1 1 = 1 , 当 0x1 时,g(x)0,g(x)递减;当 x1 时,g(x)0
33、,g(x)递增; g(x)ming(1)0, g(x)0,即 xlnx10,得证; (2)令() = 1 + (2 1) = 0,则 2ax2ax+10 的两根分别为 x1,x2, = 2 80 1+ 2= 1 2 0 12= 1 20 ,解得 a8, (1) + (2) = 12+ (12 1+ 22 2) = 1 2 + (1+ 2)2 212 (1+ 2) = 2 + (1 4 1 1 2) = 2 4 1 g(a) , 显然 g(x)在(8,+)上递减, g(a)g(8)ln16214ln23, k4ln23; (3)当 a0 时,f(x)= 22+1 ,令 f(x)0,则 2ax2a
34、x+10, 其中只有一个正实数根,1= 28 4 ,212 1+ 1 = 0, a= 1 1212 (1 1 2), 且当 0xx1时,f(x)0,f(x)递增,当 xx1时,f(x)0,f(x)单减, 第 17 页(共 18 页) f(x)maxf(x1)lnx1+ 11 121, 令 h (x) lnx+ 1 12, h (x) = 1 + 12+2(1) (12)2 = 1 1 (12)2 = (41)(1) (12)2 ( 1 2), 令 h(x)0,解得 x1, 当 x(1 2 ,1),h(x)0,h(x)递减;当 x(1,+) ,h(x)0,h(x)递增, h(x)minh(1)0
35、, f(x)max0, 当 f(x)max0,即 x11 时,a1,此时 f(x)只有一个零点 x1; 当 f(x)max0,即 a0 且 a1 时,此时 f(x1)0,注意 f(1)0, (i)当 a1 时,0x11,而 lnx+a(x2x)x1+a(x2x)(x1) (1+ax) , 令(x1) (1+ax)0,解得 x= 1 ,取0 = 1 知 f(x0)0, f(x)在(x0,x1)上有一个零点,另一个零点为 1; (ii)当1a0,即 x11 时,此时取 x0= 1 ,知 f(x0)0, f(x)有一个零点为 1,另一个零点在(x1,x0)上; 故 a1 时 f(x)有一个零点,当
36、a0 且 a1 时,f(x)有两个零点 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)在平面直角坐标系 x0y 中,直线 l1的参数方程为 = 3 = (t 为参数) ,直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 (m 为参数) 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 ()求出曲线 C1的普通方程; ()以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32,点 Q 为曲线 C1 上的动点,求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 【解答】解: ()直线
37、l1的参数方程为 = 3 = (t 为参数) ,转换为直角坐标方程为 = ( + 3) 直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 (m 为参数) 转换为直角坐标方程为 = 1 3 (3 ) 第 18 页(共 18 页) 所以得到 2 3 + 2= 1(y0) ()直线 C2的极坐标方程为( + 4) = 32,转换为直角坐标方程为 x+y60 设曲线 C1的上的点 Q(3,)到直线 x+y80 的距离 d= |3+6| 2 = |2(+ 3)6| 2 , 当( + 3) = 1时, = 8 2 = 42 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)|x+1|+2|x1| (
38、1)求不等式 f(x)3 的解集; (2)若函数 yf(x)的图象的最低点为(m,n) ,正数 a,b 满足 ma+nb2,求2 + 1 的 最小值 【解答】解: (1)当 x1 时,f(x)3x+13,得 x 2 3,所以 x; 当1x1 时,f(x)x+33,得 x0,所以 0x1; 当 x1 时,f(x)3x13,得 x 4 3,所以 1x 4 3 综上:0x 4 3,不等式的解集为0, 4 3 (2)由 f(x)= 3 + 1, 1 + 3, 11 3 1, 1 的图象最低点为(1,2) ,即 m1,n2, 所以 a+2b2,因为 a0,b0, 所以2 + 1 = 1 2(a+2b) ( 2 + 1 )= 1 2(4+ 4 + ) 1 2(4+24)4, 当且仅当 a2b2 时等号成立 所以2 + 1 的取值范围是(4,+)