1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年江苏省高考数学模拟试卷（年江苏省高考数学模拟试卷（7） 一填空题（共一填空题（共 14 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|x0，则 AB 2 （5 分）已知 i 虚数单位，若复数 = 1 1+ ( )的虚部为3，则|z| 3 （5 分）已知样本 7，8，9，x，y 的平均数是 9，且 xy110，则此样本的方差是 4 （5 分）执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 5 （5 分）已知集合 A2，1， 1 2， 1 3， 1 2，1，2，3，任取 kA，则幂函数 f（x） xk为偶
2、函数的概率为 （结果用数值表示） 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的离心率为5 4， 则该双曲线的渐近线方程为 7 （5 分）已知函数 f（x）= 2 2， 一1 2( + 1)， 1，则 f（f（1） ） 8 （5 分）已知函数 f（x）4cos（x 6）sinxcos（2x+） （0）在区间 3 2 ， 2 上为增函数，则 的最大值为 9 （5 分）如图，在体积为 V 的圆柱 O1O2中，以线段 O1O2上的点 O 为顶点，上下底面为 底面的两个圆锥的体积分别为 V1，V2，则 1:2 的值是 10 （5 分）在正项等比数列an中，
3、a2a4a6a825，则 a1a9 第 2 页（共 18 页） 11 （5 分）已知 = 1 2+ 1 2，则 M 的最大值为 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在直线 y2x 上，过点 P 作圆 C： （x4）2+y2 8 的一条切线，切点为 T若 PTPO，则 PC 的长是 13 （5 分）函数() = :3，0 2+ 2，0 2若 g（x）f（x）kx2k 恰有两个两点， 则实数 k 的取值范围为 14 （5 分）已知函数 f（x）x22x+3a，g（x）= 2 1若对x10，3，总x22，3， 使得 f（x1）g（x2）成立，则实数 a 的取值集合为 二解答题（共二
4、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （14 分）已知函数() = ( 2 + ) + 3 （1）求函数 f（x）的最小正周期及对称中心； （2）若 f（x）a 在区间0， 2上有两个解 x1、x2，求 a 的取值范围及 x1+x2 的值 16 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N 分别是 AC，B1C1的中点求证： （1）MN平面 ABB1A1； （2）ANA1B 17 （14 分）如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，AB200 米，BC100 米， 为了便于居民观赏花草，现欲在矩形 ABCD 内修建 5 条道路
5、 AE，DE，EF，BF，CF，道 路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线 EF 垂直平分边 AD，且线段 EF 的中点是矩 形的中心，求这 5 条路总长度的最小值 第 3 页（共 18 页） 18 （16 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的离心率为1 3，F1，F2 分别是椭圆的左右 焦点，过点 F 的直线交椭圆于 M，N 两点，且MNF2的周长为 12 （）求椭圆 C 的方程 （）过点 P（0，2）作斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B，试判断在 x 轴上是否存在点 D，使得ADB 是以 AB 为底边的等腰三角形若存在，求点 D 横坐标的 取值范围
6、，若不存在，请说明理由 19（16分） 定义在R上的函数g （x） 和二次函数h （x） 满足： g （x） +2g （x） ex+ 2 9， h （2） h（0）1，h（3）2 （1）求 g（x）和 h（x）的解析式； （2）若对于 x1，x21，1，均有 h（x1）+ax1+5g（x2）+3e 成立，求 a 的取值范 围； （3）设 f（x）= ()，0 ()， 0，在（2）的条件下，讨论方程 ff（x）a+5 的解的个数 20 （16 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a32，S7a4 （）a1 ，d ，an ，当 n 时，Sn取得取小值，最 小值为 （）若数列an中相
7、异的三项 a6，a6+m，a6+n成等比数列，求 n 的最小值 三解答题（共三解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21 （10 分） 已知 a、 b 是实数， 矩阵 M= 1 2 1 2 所对应的变换 T 将点 （2， 2） 变成了点 P （3 1，3 +1） （1）求实数 a、b 的值； （2）求矩阵 M 的逆矩阵 N 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 4 页（共 18 页） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参数方程为 = 3 3 = 2 + 6 3 （其
8、中 t 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 3sin （1）求 C1和 C2的直角坐标方程； （2）设点 P（0，2） ，直线 C1交曲线 C2于 M，N 两点，求|PM|2+|PN|2的值 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23 （10 分）设抛物线 Q：y24x 的焦点为 F （1）过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l 与抛物线 Q 交于 A，B 两点，|AB|8求 l 的方 程； （2）若斜率为3 2的直线 m 与抛物线 Q：y 24x 的交点为 C，D，
9、与 x 轴的交点为 P若 = 3 ，求线段|CD|的长度 24 （10 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a35，S749 （I）求数列an的通项公式； （II）设= 2，Tn 为数列bn的前 n 项和，求证：Tn3 第 5 页（共 18 页） 2020 年江苏省高考数学模拟试卷（年江苏省高考数学模拟试卷（7） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 14 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|x0，则 AB x|x2 【解答】解：集合 Ax|1x2，Bx|x0， ABx|x2 故答案为：x
10、|x2 2 （5 分）已知 i 虚数单位，若复数 = 1 1+ ( )的虚部为3，则|z| 13 【解答】解： = 1 1+ = (1)(1) (1+)(1) = 1+2 12 = (1)(1) 2 = 1 2 1+ 2 ， 复数 = 1 1+ ( )的虚部为3， 1+ 2 = 3，解得 a5， z23i， |z|= (2)2+ (3)2= 13 故答案为：13 3 （5 分）已知样本 7，8，9，x，y 的平均数是 9，且 xy110，则此样本的方差是 2 【解答】解：样本 7，8，9，x，y 的平均数是 9，且 xy110， = 110 7 + 8 + 9 + + = 9 5， 解得 x1
11、0，y11 或 x11，y10， 此样本的方差为： S2= 1 5（79） 2+（89）2+（99）2+（109）2+（119）22 故答案为：2 4 （5 分）执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 21 第 6 页（共 18 页） 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S1，I1 满足条件 I6，执行循环体，I2，S3 满足条件 I6，执行循环体，I3，S6 满足条件 I6，执行循环体，I4，S10 满足条件 I6，执行循环体，I5，S15 满足条件 I6，执行循环体，I6，S21 此时，不满足条件 I6，退出循环，输出 S 的值为 21 故答案为：21 5 （5 分）已知集合 A2，1， 1
12、2， 1 3， 1 2，1，2，3，任取 kA，则幂函数 f（x） xk为偶函数的概率为 1 4 （结果用数值表示） 【解答】解：集合 A2，1， 1 2， 1 3， 1 2，1，2，3，任取 kA， 基本事件总数 n8， 幂函数 f（x）xk为偶函数包含的基本事件个数 m2， 幂函数 f（x）xk为偶函数的概率为 P= = 2 8 = 1 4 故答案为：1 4 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的离心率为5 4， 则该双曲线的渐近线方程为 = 3 4 【解答】 解： 因为双曲线 2 2 2 2 = 1 （a0， b0） 的离心率为5 4
13、， 可得 = 5 4， 所以 = 3 4， 所以渐近线方程为 y3 4x 第 7 页（共 18 页） 故答案为：y3 4x 7 （5 分）已知函数 f（x）= 2 2， 一1 2( + 1)， 1，则 f（f（1） ） 2 【解答】解：根据题意，f（x）= 2 2， 一1 2( + 1)， 1，则 f（1）（1） 22 （1）3， 则 f（f（1） ）f（3）log（3+1）2； 故答案为：2 8 （5 分）已知函数 f（x）4cos（x 6）sinxcos（2x+） （0）在区间 3 2 ， 2 上为增函数，则 的最大值为 1 6 【解答】解：函数 f（x）4cos（x 6）sinxcos（
14、2x+）4cosx 3 2 +sinx 1 2sinx+cos2x= 3sin2x+2sin 2x+cos2x= 3sin2x+1， 所以函数的单调递增区间为 2 2x 2，整理得 4 4， 由于在区间 3 2 ， 2上为增函数， 所以 3 2 ， 2 4， 4， 故 4 3 2 2 4 ，解得 1 2 1 6 ，故 1 6 即 的最大值为1 6 故答案为：1 6 9 （5 分）如图，在体积为 V 的圆柱 O1O2中，以线段 O1O2上的点 O 为顶点，上下底面为 底面的两个圆锥的体积分别为 V1，V2，则 1:2 的值是 1 3 【解答】解：在体积为 V 的圆柱 O1O2中，以线段 O1O2
15、上的点 O 为项点， 第 8 页（共 18 页） 上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为 V1，V2， 上下底面为底面的两个圆锥全等，且圆锥的底面和圆柱的底面全等， 上下底面为底面的两个圆锥的和之和为圆的高， 1:2 = 1 3 212 212 = 1 3 故答案为：1 3 10 （5 分）在正项等比数列an中，a2a4a6a825，则 a1a9 5 【解答】解：在正项等比数列an中，a2a4a6a825= (1 9)2，则 a1a95， 故答案为：9 11 （5 分）已知 = 1 2+ 1 2，则 M 的最大值为 1 【解答】解：由题意，1y20，1x20，1x1，1y1； 设 xsin，ys
16、in， 2， 2，则 Mx1 2+y1 2=sincos+cossinsin（+） ， ， 2， 2，+， sin（+）的最大值为 1， 即 Mx1 2+y1 2的最大值为 1 故答案为：1 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在直线 y2x 上，过点 P 作圆 C： （x4）2+y2 8 的一条切线，切点为 T若 PTPO，则 PC 的长是 13 【解答】解：根据题意，点 P 在直线 y2x 上，设 P 的坐标为（t，2t） ， 圆 C： （x4）2+y28，其圆心为（4，0） ，半径 r22， 过点 P 作圆 C： （x4）2+y28 的一条切线，切点为 T，若 PTPO
17、， 则|PC|2|PT|2|PC|2|PO|2r2，即（t4） 2+（2t0）2（t0）2+（2t0）28， 变形可得：8t8，即 t1； 故 P 的坐标为（1，2） ，则|PC|= 9 + 4 = 13， 第 9 页（共 18 页） 故答案为： 13 （5 分）函数() = :3，0 2+ 2，0 2若 g（x）f（x）kx2k 恰有两个两点， 则实数 k 的取值范围为 (2， 3 2 ) 0， 2 4 ) 【解答】解：函数 g（x）f（x）kx2k 恰有两个零点， 即为 f（x）k（x+2）有两个不等的实根，如图： 当 x0 时，直线和曲线相切，设切点为（m，km+2k） ， f（x）ex
18、+3，f（m）em+3， 由 em+3km+2k，k，k0，解得 ke2，m1， k 3 2 ， 当直线经过点（0，e3） ，k= 3 2 时，直线和曲线有两个交点， 当直线 kxy+2k0 和半圆相切，dr1，圆心为（1，0） ， 由 |3| 2:1 =1，解得 k= 2 4 （负的舍去） ， 由图象可得，0k 2 4 时，直线和半圆有两个交点 则有 k 的取值范围是：0， 2 4 ）e2， 3 2 ） 故答案为：0， 2 4 ）e2， 3 2 ） 14 （5 分）已知函数 f（x）x22x+3a，g（x）= 2 1若对x10，3，总x22，3， 使得 f（x1）g（x2）成立，则实数 a
19、的取值集合为 (， 1 3 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：由题意，函数 f（x）在0，3的最大值小于等于函数 g（x）在2，3的最大 值， 函数 g（x）在2，3上为减函数，故其最大值为 g（2）2， 函数 f（x）的对称轴为 x1，其在0，1上为减函数，在（1，3上为增函数，故其最大 值为 f（x）3a+3， 则 3a+32，解得 1 3 故答案为：(， 1 3 二解答题（共二解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （14 分）已知函数() = ( 2 + ) + 3 （1）求函数 f（x）的最小正周期及对称中心； （2）若 f（x）a 在区间0， 2上有两个
20、解 x1、x2，求 a 的取值范围及 x1+x2 的值 【解答】解： （1）函数() = ( 2 + ) + 3 = 2 + 3 2 2 = 12 2 + 3 2 2 = (2 + 6) 1 2 所以函数的最小正周期为 = 2 2 = ， 令2 + 6 = （kZ） ，解得 = 2 12（kZ） ， 所以函数的对称中心为（ 2 12 ， 1 2） （kZ） （2）由于0 2，所以 6 2 + 6 7 6 ，在区间0， 2上有两个解 x1、x2， 所以函数1 2 (2 + 6)1时，函数的图象有两个交点， 故 a 的范围为0，1 2） 由于函数的图象在区间0， 2上关于 x= 6对称， 故1+
21、2= 2 6 = 3 16 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N 分别是 AC，B1C1的中点求证： （1）MN平面 ABB1A1； （2）ANA1B 第 11 页（共 18 页） 【解答】证明： （1）取 AB 的中点 P，连结 PM、PB1， 因为 M、P 分别是 AB，AC 的中点，所以 PMBC 且 PM= 1 2BC， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1， 又因为 N 是 B1C1的中点， 所以 PMB1N，且 PMB1N（2 分） 所以四边形 PMNB1是平行四边形， 所以 MNPB1，（4 分） 而 MN平面
22、 ABB1A1，PB1平面 ABB1A1， 所以 MN平面 ABB1A1（6 分） （2）因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 BB1面 A1B1C1， 又因为 BB1面 ABB1A1，所以面 ABB1A1面 A1B1C1，（8 分） 又因为ABC90，所以 B1C1B1A1， 面 ABB1A1面 A1B1C1B1A1，B1C1平面 A1B1C1， 所以 B1C1面 ABB1A1，（10 分） 又因为 A1B面 ABB1A1，所以 B1C1A1B，即 NB1A1B， 连结 AB1，因为在平行四边形 ABB1A1中，ABAA1， 所以 AB1A1B， 又因为 NB1AB1B1，且 AB
23、1，NB1面 AB1N， 所以 A1B面 AB1N，（12 分） 而 AN面 AB1N，所以 A1BAN（14 分） 第 12 页（共 18 页） 17 （14 分）如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，AB200 米，BC100 米， 为了便于居民观赏花草，现欲在矩形 ABCD 内修建 5 条道路 AE，DE，EF，BF，CF，道 路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线 EF 垂直平分边 AD，且线段 EF 的中点是矩 形的中心，求这 5 条路总长度的最小值 【解答】解：解法一：设 = ( (0， 2)，过 E 作 EHAD 于 H， EF 垂直平分 AD， = 1 2 = 50（
24、米） ， = 50 （米） ，EH50tan（米） ， 又EF 的中点是矩形 ABCD 的中心，EF2002EH200100tan（米） ， 记这 5 条路总长度为 f（） （米） ， 则() = 4 50 + 200 100( (0， 2)， 即() = 200 + 100 2 ( (0， 2)， () = 100 (2)(2)() 2 ， 化简得() = 100 21 2 ，由 f（）0，可得 = 6， 列表如下： (0， 6) 6 ( 6 ， 2) f（） 0 + f（） 200 + 1003 由上表可知，当 = 6时，f（）取最小值( 6) = 200 + 100 21 2 3 2 =
25、 200 + 1003（米） 第 13 页（共 18 页） 答：5 条道路的总长度的最小值为200 + 1003（米） 解法二：过 E 作 EHAD 于 H，设 EHx（米） （ 0x100） 因 EF 垂直平分 AD，故 = 1 2 = 50（米） ， 又EF 的中点是矩形 ABCD 的中心，EF2002x（米） ； 在 RtAEH 中， = 2500+ 2（米） ， 由对称性可得， = = = = 2500 + 2（米） ； 记这 5 条路总长度为 f（x） （米） ，() = 42500 + 2+ 200 2，(0100)， () = 422500+2 2500+2 = 2(22500+
26、2) 2500+2 ， 令 f（x）0，解得 = 50 3 3（负值舍） 列表如下： x (0， 50 3 3) 503 3 (50 3 3 ，100) f（x） 0 + f（x） 200 + 1003 由上表可知，当 = 503 3 时，f（x）取最小值200 + 1003， 答：5 条道路的总长度的最小值为200 + 1003米 18 （16 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的离心率为1 3，F1，F2 分别是椭圆的左右 焦点，过点 F 的直线交椭圆于 M，N 两点，且MNF2的周长为 12 （）求椭圆 C 的方程 （）过点 P（0，2）作斜率为 k（k0）的直线 l
27、与椭圆 C 交于两点 A，B，试判断在 x 轴上是否存在点 D，使得ADB 是以 AB 为底边的等腰三角形若存在，求点 D 横坐标的 取值范围，若不存在，请说明理由 【解答】解： （）由题意可得 = 1 3 4 = 12 ，b2a2c2， 第 14 页（共 18 页） 所以 a3，c1，b28， 所以椭圆 C 的方程为 2 9 + 2 8 = 1 （）直线 l 的解析式为 ykx+2，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 的中点为 E（x0，y0） ， 假设存在点 D（m，0） ，使得ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形， 则 DEAB由 = + 2， 2 9 + 2 8 = 1
28、， 得（8+9k2）x2+36kx360， 故1+ 2= 36 92+8，所以0 = 18 92+8，0 = 0+ 2 = 16 92+8 因为 DEAB，所以= 1 ，即 16 92:8;0 ;18 92:8; = 1 ，所以 = 2 92+8 = 2 9+8 当 k0 时，9 + 8 29 8 = 122，所以 2 12 0； 当 k0 时，9 + 8 122，所以0 2 12， 综上：m 取值范围是 2 12，0）（0， 2 12 19（16分） 定义在R上的函数g （x） 和二次函数h （x） 满足： g （x） +2g （x） ex+ 2 9， h （2） h（0）1，h（3）2 （
29、1）求 g（x）和 h（x）的解析式； （2）若对于 x1，x21，1，均有 h（x1）+ax1+5g（x2）+3e 成立，求 a 的取值范 围； （3）设 f（x）= ()，0 ()， 0，在（2）的条件下，讨论方程 ff（x）a+5 的解的个数 【解答】解： （1）g（x）+2g（x）ex+ 2 9， g（x）+2g（x）e x+2ex9， 由以上两式联立可解得，g（x）ex3； h（2）h（0）1， 二次函数的对称轴为 x1，故设二次函数 h（x）a（x+1）2+k， 则 + = 1 4 + = 2，解得 = 1 = 2 ， h（x）（x+1）2+2x22x+1； （2）由（1）知，g（
30、x）ex3，其在1，1上为增函数，故 g（x）maxg（1）e 第 15 页（共 18 页） 3， h（x1）+ax1+5e3+3e0 对任意 x1，1都成立，即12+ (2 )1 6 0对 任意 x1，1都成立， 1 (2 ) 6 0 1 + (2 ) 6 0，解得3a7， 故实数的 a 的取值范围为3，7； （3）() = 3，0 2 2 + 1， 0，作函数 f（x）的图象如下， 令 tf（x） ，a3，7，则 f（t）a+52，12， 当 a3 时，f（t）2，由图象可知，此时方程 f（t）2 有两个解，设为 t11， t2ln5（1，2） ， 则 f（x）1 有 2 个解，f（x）l
31、n5 有 3 个解，故共 5 个解； 当3ae28 时，f（t）a+5（2，e23） ，由图象可知，此时方程 f（t）a+5 有一个解，设为 t3ln（a+8）（ln5，2） ， 则 f（x）t3ln（a+8）有 3 个解，故共 3 个解； 当 ae28 时，f（t）a+5e23，由图象可知，此时方程 f（t）a+5 有一个解 t4 2， 则 f（x）t42 有 2 个解，故共 2 个解； 当 e28a7 时，f（t）a+5（e23，12，由图象可知，此时方程 f（t）a+5 有一个解 t5ln（a+8）（2，ln15， 则 f（x）t5有 1 个解，故共 1 个解 20 （16 分）已知等差
32、数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a32，S7a4 第 16 页（共 18 页） （）a1 6 ，d 2 ，an 2n8 ，当 n 3 或 4 时，Sn取得取小值， 最小值为 12 12 （）若数列an中相异的三项 a6，a6+m，a6+n成等比数列，求 n 的最小值 【解答】解： （）在等差数列an中，由 a32，S7a4，得 1+ 2 = 2 71+ 76 2 = 1+ 3，解得 1= 6 = 2 an6+2（n1）2n8 = 6 + (1) 2 2 = 2 7， 当 n3 或 n4 时，Sn取得最小值12 故答案为：6，2，2n8，3 或 4，12，12 （）由 a6，a6+m，a
33、6+n成等比数列，得： 6:2= 66:，即（2m+4）24（2n+4） ， 化为 = 1 2 ( + 2)2 2 考察函数 f（x）= 1 2 ( + 2)2 2，知 f（x）在（0，+）上单调递增， 又f（1）= 5 2，f（2）6，nN *， 当 m2 时，n 有最小值 6， 故 n 的最小值为 6 三解答题（共三解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21 （10 分） 已知 a、 b 是实数， 矩阵 M= 1 2 1 2 所对应的变换 T 将点 （2， 2） 变成了点 P （3 1，3 +1） （1）求实数 a、b 的值； （2）求矩阵 M
34、的逆矩阵 N 【解答】解： （1）由题意，得 2a1= 3 1，1+2b= 3 +1， 所以 ab= 3 2 （2）由（1） ，|N|1，得矩阵 M 的逆矩阵 N= 3 2 1 2 1 2 3 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 17 页（共 18 页） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参数方程为 = 3 3 = 2 + 6 3 （其中 t 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 3sin （1）求 C1和 C2的直角坐标方程； （2）
35、设点 P（0，2） ，直线 C1交曲线 C2于 M，N 两点，求|PM|2+|PN|2的值 【解答】解： （1）直线 C1的参数方程为 = 3 3 = 2 + 6 3 （其中 t 为参数） ， 消去 t 可得2 + 2 = 0 由 cos23sin，得 2cos23sin， 代入 xcos，ysin，得曲线 C2的直角坐标方程为 x23y； （2）将直线 C1的参数方程 = 3 3 = 2 + 6 3 代入 x23y，得2 36 18 = 0， 设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2， 则1+ 2= 36，t1t218， |2+ |2= (1+ 2)2 212= 90 五解答题（共五解答题（
36、共 2 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23 （10 分）设抛物线 Q：y24x 的焦点为 F （1）过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l 与抛物线 Q 交于 A，B 两点，|AB|8求 l 的方 程； （2）若斜率为3 2的直线 m 与抛物线 Q：y 24x 的交点为 C，D，与 x 轴的交点为 P若 = 3 ，求线段|CD|的长度 【解答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由 = ( 1) 2= 4 得 k2x2（2k2+4）x+k20 16k2+160，故1+ 2= 22+4 2 所以| = | + | = (1+ 1) + (2+
37、 1) = 42+4 2 由题设知4 2:4 2 = 8，解得 k1 或 k1， k0，k1（舍去） ，k1 第 18 页（共 18 页） 因此 l 的方程为 yx1 （2） = 3 2 + 2= 4 ，得 3y28y+8b0，则6496b0， 2 3， 1+ 2= 8 3，12 = 8 3 ， = 3 ， y13y2 2= 4 3，y14， 12= 16 3 ， 则| =1 + 4 9 (1+ 2)2 412= 13 3 64 9 4 = 1613 9 24 （10 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a35，S749 （I）求数列an的通项公式； （II）设= 2，Tn 为数列bn的前 n 项和，求证：Tn3 【解答】解： （）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 则： 1+ 2 = 5 71+ 76 2 = 49 ， 解得：a11，d2， 故： 证明： （）由于：an2n1， 所以= 2 = (2 1) 1 2， 则：= 1 1 21 + 3 1 22 + + (2 1) 1 2 1 2 = 1 1 22 + 3 1 23 + + (2 1) 1 2:1 得：= 3 1 22 21 2 = 3 2+3 2 3
