1、2020年空中课堂 初三数学利用函数模型解决问题专题复习一、知识概要二、关键内容三、典型例题一、知识概要字母表示数函数对应关系两个变量字母表示数函数对应关系两个变量字母表示数函数分类二次函数反比例函数一次函数函数自变量因变量对应关系两个变量字母表示数学生熟悉的示例或实例函数分类二次函数反比例函数一次函数函数自变量因变量数对列表法图象法解析法性质对应关系两个变量字母表示数学生熟悉的示例或实例函数分类二次函数反比例函数一次函数代数表达式函数自变量因变量数对列表法图象法解析法性质对应关系两个变量字母表示数学生熟悉的示例或实例函数分类二次函数反比例函数一次函数代数表达式二、关键内容关键问题1：将函数学
2、习经验迁移到新问题中函数研究开始函数研究开始变化过程发现对应关系函数研究开始变化过程发现对应关系确定变量间的函数关系自变量和因变量取值范围函数研究开始变化过程发现对应关系多种方法表示函数确定变量间的函数关系自变量和因变量取值范围列表法图象法解析法函数研究开始变化过程发现对应关系多种方法表示函数数形结合得出性质确定变量间的函数关系自变量和因变量取值范围列表法图象法解析法结合多种表示方法函数研究开始结束变化过程发现对应关系多种方法表示函数数形结合得出性质问题是否得到解决确定变量间的函数关系函数思想解决问题是否自变量和因变量取值范围列表法图象法解析法结合多种表示方法分析问题转化问题解决问题关键问题2
3、：函数思想解决问题 函数思想是解决“数学型”问题中的一种思维策略.如果我们能用函数的观点、方法去考虑分析问题，根据问题的条件及所给数量关系，构造函数关系，使原问题在函数关系中实现转化，再借助函数的图象与性质，就能化难为易地解决问题.三、典型例题近年北京中考对利用函数模型解决问题的考查（1）探究给定的未知函数问题（2）探究动态几何背景下的函数问题2112yxx例1有这样一个问题：探究函数 的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数 的图象 2112yxx 下面是小东的探究过程，请补充完成：与性质进行了探究.2112yxx（1）函数 的自变量x的取值范围是 ；（2）下表是y与x的几组对应值.12
4、131312321312562xm5232178551853181581232y 求m的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中 各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函 数的图象；32（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点 的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的 其他性质（一条即可）：.本题主要考查函数基础知识和基本技能的内在联系，考查探索函数性质的方法和规律.2112yxx（1）函数 的自变量x的取值范围是 ；2112yxx分析：2112yxx分析：2112yxx（1）函数 的自变量x的取值范围是 ；2112yxx分析：2112yxx（1）函数
5、的自变量x的取值范围是 ；分析：2112yxx0 x 2112yxx（1）函数 的自变量x的取值范围是 ；（2）下表是y与x的几组对应值.12131312321312562xm5232178551853181581232y求m的值；12131312321312562xm5232178551853181581232y2112yxx（2）下表是y与x的几组对应值.求m的值；12131312321312562xm5232178551853181581232y2112yxx（2）下表是y与x的几组对应值.求m的值；解：（2）把x=3，y=m代入 中，有 2112yxx211323m 912327266
6、29.6（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中 各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函 数的图象；画函数图象的步骤分析函数表达式:确定自变量的取值范围列表:参考自变量取值、关注特殊点、易于计算、取适当个数分析表格数据:分析因变量变化情况，为描点做准备描点连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.画函数图象的步骤分析函数表达式:确定自变量的取值范围列表:参考自变量取值、关注特殊点、易于计算、取适当个数分析表格数据:分析因变量变化情况，为描点做准备描点连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验
7、证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.（3）连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.（3）连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.函数的图象是曲线（3）连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.函数的图象是曲线（3）连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.0 x 0 x y与 轴没有交点y轴函数的图象是曲线（3）连线:
8、判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.12131312321312562xm5232178551853181581232y12131312321312562xm5232178551853181581232y3x 3x 和 时，仍有无数组数对满足2112yxx函数图象向两端无限延伸甲同学乙同学0 x 时函数：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数.乙同学0 x 时甲同学0 x 时两端无限延伸右侧无限靠近y轴不与y轴相交0 x
9、时两端无限延伸左侧无限靠近y轴不与y轴相交两端无延伸无限靠近y轴不与y轴相交（3）2112yxx连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左到右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点 的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的 其他性质（一条即可）：.32与坐标轴的交点情况最值变化趋势对称性经过象限观察函数图象经过象限观察函数图象整体看：图象经过一、二、三象限图象不经过第四象限局部看：时，图象经过二、三象限时，图象经过第一象限0 x 0 x 与坐标轴的交点情况观察函数图象整体看：图象与x轴有一个交点，与y轴无交点局部
10、看：时，图象与x轴有一个交点，与y轴无交点0 x 0 x 时，图象与坐标轴无交点最值观察函数图象整体看：函数没有最大值和最小值局部看：时，函数没有最大值和最小值 0 x 0 x 时，函数没有最大值 有最小值变化趋势观察函数图象局部看：时，y随x的增大而减小时，y随x的增大而减小0 x 0 x 1 时，y随x的增大而增大1x 对称性观察函数图象该函数图象不具有对称性（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点 的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的 其他性质（一条即可）：.32函数研究开始结束变化过程发现对应关系多种方法表示函数数形结合得出性质问题是否得到解决确定变量间的函数关系
11、函数思想解决问题是否取值范围列表法图象法解析法观察图象得出性质（已知）取值范围能够根据图表正确的画出函数图象是本题解题的关键.画函数图象需要注意（1）判断自变量的取值范围（2）根据自变量的取值范围判断图象变化趋势 是直线还是曲线 是否向两端无限延伸 与坐标轴有无交点 无限接近坐标轴？无限远离坐标轴？（3）用直线或平滑曲线在取值范围内从左至右连结例2 如图，P是 与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是 上一动点，连接PC交弦AB于点D 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长 度之间的关系进行了探究ABAB 下面是小腾的探究过程，请补充完整：例2 如图，P是 与弦AB所围成的图形的外
12、部的一定点，C是 上一动点，连接PC交弦AB于点D 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长 度之间的关系进行了探究ABAB 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在 上的不同位置，画图、测量，得到了线AB 段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度 是自变量
13、，的长度和 的长度都是这个自变量 的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定 的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度 约为 cm.本题考查了研究函数的完整过程，它的呈现形式与例1不同，没有表达式，不能准确的确定变量之间的对应关系，这就需要通过观察几何图形，分析变量，感悟变量之间的变化和对应，根据对几何图形的观察，才能建立函数模型，进而开始解决问题.DPABCDPABCPC：大小大DPABCPC：大小大PD：大小大DPABCPC：大小大PD：大小大AD：小大位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.
14、702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00PC：大小大PD：大小大AD：小大（1）在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长 度是自变量，的长度和 的长度都是这个自 变量的函数；位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00位置1
15、位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00函数：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数.位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132
16、.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00函数：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数.位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00函数：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确
17、定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数.位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00函数：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数.位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.
18、642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00（1）在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 AD 的长 度是自变量，PC 的长度和 PD 的长度都是这个自 变量的函数；位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置
19、8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.25
20、2.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00此时C点和D点都与B点重合AD最长AD=AB=6cm位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.0006AD（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；画函数图象的步骤分析函数表达式:确定自
21、变量的取值范围列表:参考自变量取值、关注特殊点、易于计算、取适当个数分析表格数据:分析因变量变化情况，为描点做准备描点连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.画函数图象的步骤分析函数表达式:确定自变量的取值范围列表:参考自变量取值、关注特殊点、易于计算、取适当个数分析表格数据:分析因变量变化情况，为描点做准备描点连线:判断是直是曲，曲线用平滑曲线，取值范围内从左至右连结验证:从图象上选点，验证横纵坐标值是否满足表达式.位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8P /cm3.443.303.072.702.252.252.
22、642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00C位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8P /cm3.443.303.072.702.252.252.642.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00C函数P 的图象是曲线C位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8P /cm3.443.303.072.702.252.252.642.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00函数P 的图象是曲线0
23、6AD函数P 的图象有端点CCC位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8P /cm3.443.303.072.702.252.252.642.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00C函数P 的图象是曲线06AD函数P 的图象有端点CC位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8P /cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00D函数P 的图象是曲线06AD函数P 的图象有端点DD（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度 约为 c
24、m.PC=2PD（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度 约为 cm.PC=2PDAD取相同的值时，PC是PD的2倍.（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度 约为 cm.PC=2PDxyPDPC11234567112345OPC=2PDxyQNMPDPC11234567112345OPC=2PDxyQNMPDPC11234567112345OMN=NQPC=2PDxyQNMPDPC11234567112345OxyQNMPDPC11234567112345OMN=NQx=2.3或4.0（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度 约为 2.3
25、或4.0 cm.位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 /cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00PC（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度 约为 cm.位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 /cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.
26、014.005.116.00PC（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度 约为 2.3或4.0 cm.函数研究开始结束变化过程发现对应关系多种方法表示函数数形结合得出性质问题是否得到解决确定变量间的函数关系函数思想解决问题是否自变量和因变量取值范围列表法图象法（取值范围）分析问题转化问题解决问题经历观察画图测量分析变量变化趋势得出变量间对应关系判断自变量和因变量是正确解题的一个关键.判断自变量和因变量是正确解题的一个关键.函数的两个实质：两个变量互相联系，对于自变量确定的每一个确定的值，对应的函数值都唯一确定.能够应用函数思想，运用数形结合的方法，利用图象和图表解决问题是这道
27、题的另一个关键.PC=2PDAD取相同的值时，PC是PD的2倍.位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 /cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00能够应用函数思想，运用数形结合的方法，利用图象和图表解决问题是这道题的另一个关键.PC函数研究开始函数研究开始变化过程发现对应关系经历观察画图测量分析变量变化趋势得出变量间对应关系函数研究开始变化过程发现对应关系确定变量间的函数关系自变量和因变量取值范围经历观察画图测
28、量分析变量变化趋势得出变量间对应关系函数研究开始变化过程发现对应关系多种方法表示函数确定变量间的函数关系自变量和因变量取值范围解析法经历观察画图测量分析变量变化趋势得出变量间对应关系列表法图象法（取值范围）函数研究开始变化过程发现对应关系多种方法表示函数数形结合得出性质确定变量间的函数关系自变量和因变量取值范围解析法结合多种表示方法经历观察画图测量分析变量变化趋势得出变量间对应关系列表法图象法（取值范围）函数研究开始结束变化过程发现对应关系多种方法表示函数数形结合得出性质问题是否得到解决确定变量间的函数关系函数思想解决问题是否自变量和因变量取值范围解析法结合多种表示方法分析问题转化问题解决问题经历观察画图测量分析变量变化趋势得出变量间对应关系列表法图象法（取值范围）近年北京中考对利用函数模型解决问题的考查近年北京中考对利用函数模型解决问题的考查给定的未知函数问题近年北京中考对利用函数模型解决问题的考查给定的未知函数问题动态几何背景下的函数问题近年北京中考对利用函数模型解决问题的考查给定的未知函数问题动态几何背景下的函数问题研究函数的基础知识和基本技能近年北京中考对利用函数模型解决问题的考查给定的未知函数问题动态几何背景下的函数问题研究函数的基础知识和基本技能利用函数模型解决问题的全过程思考：利用函数模型解决问题还可以从哪些方面进行考查呢？再见
