1、Wang 1 中点四大模型中点四大模型 模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 图 图 构造全等 倍长类中线 倍长中线 E E DCB A FF A BC D A BC D D CB A 模型分析模型分析 如图， AD 是ABC 的中线， 延长 AD 至点 E 使 DEAD， 易证： ADCEDB （SAS） 如图，D 是 BC 中点，延长 FD 至点 E 使 DEFD，易证：FDBEDC（SAS） 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对 已知条件中的线段进行转移 模型实例模型实例 如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，
2、E 是 AD 上一点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，AFEF，求证：ACBE F E DCB A Wang 2 1如图，在ABC 中，AB12，AC20，求 BC 边上中线 AD 的范围 DC B A 解：延长 AD 到 E，使 ADDE，连接 BE， AD 是ABC 的中线， BDCD， 在ADC 与EDB 中， DEAD BDEADC CDBD ， ADCEDB（SAS）， EBAC20， 根据三角形的三边关系定理：2012AE2012， 4AD16， 故 AD 的取值范围为 4AD16 2如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DMDN，如果 BM2CN2DM2DN2 求证：A
3、D2 4 1 (AB2AC2) N M DCB A Wang 3 证明：如图，过点 B 作 AC 的平行线交 ND 的延长线于 E，连 ME BDDC， EDDN 在BED 与CND 中， DNED CDNBDE DCBD BEDCND（SAS） BENC MDN90 ， MD 为 EN 的中垂线 EMMN BM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2， BEM 为直角三角形，MBE90 ABCACBABCEBC90 BAC90 AD2( 2 1 BC)2 4 1 （AB2AC2） 模型 2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合 一” 连接中线 A BCD D CB A 模
4、型分析模型分析 Wang 4 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得 到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、 三线合一” 模型实例模型实例 如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，求 MN 的长度 N MCB A A BCM N 解答： 连接 AM ABAC5，BC6，点 M 为 BC 中点， AMBC，BMCM 2 1 BC3 AB5， AM435 2222 BMAB MNAC， SANC 2 1 MCAM 2 1 ACMN 即： 2 1 34 2 1 5MN MN 5
5、 12 跟踪练习跟踪练习 1如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点，AEDE，AFDF，且 AEAF，求证： EDBFDC F E D C B A Wang 5 证明：连结 AD， ABAC，D 是 BC 的中点， ADBC，ADBADC90 在 RtAED 与 RtAFD 中， ADAD AFAB ， RtAEDRtAFD（HL） ADEADF， ADBADC90 ， EDBFDC 2已知 RtABC 中，ACBC，C90，D 为 AB 边的中点，EDF90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F （1）当EDF 绕 D 点旋转到 DFAC
6、 于 E 时（如图） ，求证：SDEFSCEF 2 1 SABC； （2）当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图和图这两种情况下，上述结论 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， SDEF、SCEF、SABC又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需要证明 图 图图 A B C D E F A B C D E FF E D C B A 解：（1）连接 CD；如图 2 所示： ACBC，ACB90 ，D 为 AB 中点， B45 ，DCE 2 1 ACB45 ，CDAB，CD 2 1 ABBD， DCEB，CDB90 ， Wang 6 EDF90 ， 12， 在CDE 和B
7、DF 中， BDCB BDCD 21 ， CDEBDF（ASA）， SDEFSCEFSADESBDF 2 1 SABC； （2）不成立；SDEFSCEF 2 1 SABC；理由如下：连接 CD，如图 3 所示： 同（1）得：DECDBF，DCEDBF135 SDEFS五边形DBFEC， SCFESDBC， SCFE 2 1 SABC， SDEFSCFE 2 1 SABC SDEF、SCEF、SABC的关系是：SDEFSCEF 2 1 SABC 21 A B C D E F 模型 3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 构造中位线 取另一边中点 E A B C D D C B A 模型分析模
8、型分析 Wang 7 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DEBC，且 DE 2 1 BC 来解题中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该 模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题 模型实例模型实例 如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并延长， 分别与 BA、CD 的延长线交于点 M，N求证：BMECNE N M F E D C B A 解答 如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HE、HF E、F 分别是 BC、AD 的中点， FH 2 1 AB，FHAB，HE 2 1 D
9、C，HENC 又ABCD， HEHF HFEHEF FHMB，HENC， BMEHFE，CNEFEH BMECNE 练习：练习： 1.（1）如图 1，BD，CE 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作 ADBD，AECE，垂足 分别为 D，E，连接 DE，求证：DEBC，DE= 1 2 （AB+BC+AC） ； （2）如图 2，BD，CE 分别是ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图 3，BD 是ABC 的内角平分线，CE 是ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与 BC 还平行吗？它与ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并对其中一种情 况进行证
10、明. Wang 8 ED CB A 图1 G F ED CB A 图2 F E D C B A 图3 1.解答 （1）如图，分别延长 AE，AD 交 BC 于 H，K. 在BAD 和BKD 中， ABDDBK BDBD BDABDK BAD BKD（ASA） AD=KD，AB=KB. 同理可证，AE=HE，AC=HC. DE= 1 2 HK. 又HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC. DE= 1 2 （AB+AC+BC）. （2）猜想结果：图结论为 DE= 1 2 （AB+AC-BC） 证明：分别延长 AE，AD 交 BC 于 H，K. 在BAD 和BKD 中 Wang 9 ABDDBK
11、BDBD BDABDK BADBKD（ASA） AD=KD，AB=KB 同理可证，AE=HE，AC=HC. DE= 1 2 HK. 又HK=BK+CH-BC =AB+AC-BC DE= 1 2 （AB+AC-BC） G A BC DE KH F 图2 （3）图的结论为 DE= 1 2 （BC+AC-AB） 证明：分别延长 AE，AD 交 BC 或延长线于 H，K. 在BAD 和BKD 中， ABDDBK BDBD BDABDK BAD BKD（ASA） AD=KD，AB=KB. 同理可证，AE=HE，AC=HC. DE= 1 2 KH. 又HK=BH-BK =BC+CH-BK =BC+AC-A
12、B DE= 1 2 （BC+AC-AB）. Wang 10 A B C D E KH F 图3 2.问题一：如图，在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E，F 分别是 BC， AD 的中点，连接 EF，分别交 DC，AB 于点 M，N，判断OMN 的形状，请直接写出结论. 问题二：如图，在ABC 中，ACAB，D 点在 AC 上，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的 中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若EFC=60，连接 GD，判断AGD 的形状并证明. 图1 N M O F E D C B A E 图2 G A B C D F 2.证明
13、 （1）等腰三角形（提示：取 AC 中点 H，连接 FH，EH，如图） （2）AGD 是直角三角形 如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF，HE. F 是 AD 的中点， HFAB，HF= 1 2 AB. 1=3. 同理，HECD，HE= 1 2 CD， 2=EFC， AB=CD， HF=HE. 1=2. Wang 11 EFC=60， 3=EFC=AFG=60. AGF 是等边三角形. AF=FG. GF=FD. FGD=FDG=30. AGD=90，即AGD 是直角三角形. 图2 3 2 1 G A BC D F E H 模型 4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
14、构造直角三角形斜边上的中线 D C B A D CB A 模型分析模型分析 在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半，即 CD= 1 2 AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角 形：ACD 和BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例模型实例 如图，在ABC 中，BE，CF 分别为 AC，AB 上的高，D 为 BC 的中点，DM EF 于点 M， 求证：FM=EM. M F E D C B A 证明 连接 DE，DF. BE，CF 分别为边 AC，AB 上的高，D 为 BC 的中点， Wang 12 DF=
15、 1 2 BC，DE= 1 2 BC. DF=DE，即DEF 是等腰三角形. DMEF， 点 M 是 EF 的中点，即 FM=EM. A BC D E F M 练习：练习： 1.如图，在ABC 中，B=2C，ADBC 于 D，M 为 BC 的中点，AB=10，求 DM 的长度. MD C B A 1.解答 取 AB 中点 N，连接 DN，MN. 在 RtADB 中，N 是斜边 AB 上的中点， DN= 1 2 AB=BN=5. NDB=B. 在ABC 中，M，N 分别是 BC，AB 的中点， MNAC NMB=C， 又NDB 是NDM 的外角， NDB=NMD+DNM. 即B=NMD+DNM=
16、C+DNM. 又B=2C， DNM=C=NMD. DM=DN. DM=5. Wang 13 N MD CB A 2.已知，ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD=ACE=90，连接 DE，M 为 DE 的 中点，连接 MB，MC，求证：MB=MC. M E D C B A 2.证明 延长 BM 交 CE 于 G， ABD 和ACE 都是直角三角形， CEBD. BDM=GEM. 又M 是 DE 中点，即 DM=EM， 且BMD=GME， BMD GME. BM=MG. M 是 BG 的中点， 在 RtCBG 中，BM=CM. 3.问题 1：如图，三角形 ABC 中，点 D 是 AB 边的中
17、点，AE BC，BF AC，垂足分别 为点 E，F.AE、BF 交于点 M，连接 DE，DF，若 DE=kDF，则 k 的值为 . 问题 2：如图，三角形 ABC 中，CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在三角形 ABC 内部， 且MAC=MBC，过点 M 分别作 ME BC，MF AC，垂足分别为点 E，F，连接 DE， DF，求证：DE=DF. Wang 14 问题 3：如图，若将上面问题 2 中的条件“CB=CA”变为“CB CA” ，其他 条件不变， 试探究 DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论. 图1 M F E D CB A 图2 A BC D E F M 图
18、3 A BC D E F M 3.解答 （1）AEBC，BFAC， AEB 和AFB 都是直角三角形， D 是 AB 的中点， DE= 1 2 AB，DF= 1 2 AB. DE=DF. DE=KDF， k=1. （2）CB=CA， CBA=CAB. MAC=MBC， CBA-MBC=CAB-MAC，即ABM=BAM. AM=BM. MEBC，MFAC， MEB=MFA=90. 又MBE=MAF， MEB MFA（AAS） BE=AF. D 是 AB 的中点，即 BD=AD， 又DBE=DAF， DBE DAF（SAS） DE=DF. 图1 M F E D CB A Wang 15 （3）DE
19、=DF. 如图，作 AM 的中点 G，BM 的中点 H，连 DG，FG，DH，EH. 点 D 是边 AB 的中点， DGBM，DG= 1 2 BM. 同理可得：DHAM，DH= 1 2 AM. MEBC 于 E，H 是 BM 的中点. 在 RtBEM 中，HE= 1 2 BM=BH. HBE=HEB. MHE=2HBE. 又DG= 1 2 BM，HE= 1 2 BM， DG=HE. 同理可得：DH=FG. MGF=2MAC. DGBM，DHGM， 四边形 DHMG 是平行四边形. DGM=DHM. MGF=2MAC， MHE=2MBC， MBC=MAC， MGF=MHE. DGM+MGF=DH
20、M+MHE. DGF=DHE. 在DHE 与FGD 中 DGHE DGFDHE DHFG DHE FGD（SAS） DE=DF. 图2 A BC D E F M Wang 16 高中数学知识点高中数学知识点 二次函数二次函数 （1）一元二次方程 2 0(0)axbxca根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所 涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系 定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程 实根的分布 设一元二次方程 2 0(0)axbxca的两实根为 12 ,x x，且 12
21、xx令 2 ( )f xaxbxc， 从以下四个方面来分析此类问题： 开口方向：a 对称轴位置： 2 b x a 判别式： 端点函数值符号 kx1x2 x y 1 x 2 x 0a O a b x 2 0)(kf k x y 1 x 2 x O a b x 2 k 0a 0)(kf x1x2k x y 1 x 2 x 0a O a b x 2 k 0)(kf x y 1 x 2 x O a b x 2 k 0a 0)(kf x1kx2 af(k)0 0)(kf x y 1 x 2 x 0a O k x y 1 x 2 x O k 0a 0)(kf Wang 17 k1x1x2k2 x y 1
22、x2 x 0a O 1 k 2 k 0)( 1 kf 0)( 2 kf a b x 2 x y 1 x 2 x O 0a 1 k 2 k 0)( 1 kf 0)( 2 kf a b x 2 有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同 时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合 x y 1 x 2 x 0a O 1 k 2 k 0)( 1 kf 0)( 2 kf x y 1 x 2 x O 0a 1 k 2 k 0)( 1 kf 0)( 2 kf k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数 2 ( )(0)
23、f xaxbxc a在闭区间 , p q上的最值 设( )f x在区间 , p q上的最大值为最大值为M，最小值为，最小值为m，令 0 1 () 2 xpq （）当0a 时（开口向上） 若 2 b p a ，则( )mf p 若 2 b pq a ，则() 2 b mf a 若 2 b q a ， 则( )mf q 若 0 2 b x a ，则( )Mf q 0 2 b x a ，则( )Mf p () 2 b f a () 2 b f a () 2 b f a Wang 18 ()当0a 时(开口向下) 若 2 b p a ，则( )Mf p 若 2 b pq a ，则() 2 b Mf a 若 2 b q a ， 则( )Mf q 若 0 2 b x a ，则( )mf q 0 2 b x a ，则( )mf p () 2 b f a 0 x () 2 b f a 0 x () 2 b f a () 2 b f a () 2 b f a 0 x () 2 b f a () 2 b f a 0 x
