1、第二章第二章 波函数波函数和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 l2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 l2.3 2.3 波函数随时间的变化波函数随时间的变化Schrodinger Schrodinger 方程方程l2.4 2.4 量子力学中的守恒定律量子力学中的守恒定律l2.5 2.5 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程l2.6 2.6 能量算符的本征值方程能量算符的本征值方程l2.7 2.7 定态定态SchrodingerSchrodinger方程的解法方程的解法 2.1 2.1 波函数的
2、统计解释波函数的统计解释“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ”既不是经典的粒子也不是经典的波既不是经典的粒子也不是经典的波电子究竟是什么？电子究竟是什么？电子是什么？是粒子？还是波？电子是什么？是粒子？还是波？“电子既是粒子也是波电子既是粒子也是波”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。如何描述电子的行为？如何描述电子的行为？2.1.1 2.1.1 de Broglie 波波因为自由粒子的能量因为自由粒子的能量 E E 和动和动量量 p p 都是常量，所以由都是常量，所以由de de Broglie Brogli
3、e 关系可知，与自由关系可知，与自由粒子联系的波的频率粒子联系的波的频率和波和波矢矢k k（或波长（或波长）都不变，即）都不变，即是一个单色平面波。由力学是一个单色平面波。由力学可知，频率为可知，频率为，波长为，波长为，沿单位矢量沿单位矢量 n n 方向传播的平方向传播的平面波可表为：面波可表为：自由粒子自由粒子与自由粒子联系的波频与自由粒子联系的波频和波矢和波矢k k 也为常量也为常量E和和P为常量为常量de Broglie关系关系单色平面波单色平面波写成复数形式写成复数形式de Broglie de Broglie 关系：关系：=2 =2 E/h=E/E/k=1/k=1/=2 /=p/p/
4、经典物理经典物理量子力学量子力学称为称为 dedeBroglie Broglie 波，是描述自由粒子的波函数波，是描述自由粒子的波函数描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波3 3个问题？个问题？非自由情况非自由情况(1)(1)是怎样描述粒子的状态？是怎样描述粒子的状态？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？动量和能量不再是常量动量和能量不再是常量粒子处于粒子处于随时间和位随时间和位置变化的力场置变化的力场中运动中运动粒子的状态就不能用平面波描粒子的状态就不能用平面波描述，而必须采用较复杂的波函述，而必须采用较复杂的
5、波函数，一般记为：数，一般记为：2.1.2 历史上两种典型的错误看法历史上两种典型的错误看法1.1.波由粒子组成波由粒子组成这种看法与实验相矛盾！这种看法与实验相矛盾！因为如果波是由它所描写的粒子组因为如果波是由它所描写的粒子组成，则粒子流的衍射现象应当是由成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子的相互作用而于组成波的这些粒子的相互作用而形成的。形成的。即认为描述粒子的波是由大量粒子在空间形成象水波、声波一样的蔬密波电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多
6、电子在空间聚集在一子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。起时才有的现象，单个电子就具有波动性。电子单缝衍射实验电子单缝衍射实验电子源电子源感感光光屏屏QQOPP波由粒子组成的看法夸大了粒子波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。性的一面，具有片面性。2.2.粒子由波组成粒子由波组成假如微观粒子是假如微观粒子是de Brogliede Broglie波的波的某种波包，则某种波包，则相速度相速度群速度群速度用反证法来否定这一观点用反证法来否定这一观点即认为描述粒子的波是由无限多波即认为描述粒子的
7、波是由无限多波长不同的平面波迭加而成的波包长不同的平面波迭加而成的波包相速度相速度 粒子运动速度粒子运动速度群速度群速度=粒子运动速度粒子运动速度意味着意味着de Broglie波会扩散波会扩散，或形象地，或形象地说，经过足够长时间后，粒子会长胖！说，经过足够长时间后，粒子会长胖！实验上观测到的电子，总是处于一实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小其广延不会超过原子大小1 1 。2.1.3 电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验实验分三步实验分三步进行，观察进行，观察在屏上出现在屏上出现的衍射画样的衍射画样P1 12 2S1S
8、2电子源电子源感感光光屏屏1 1、电子枪发射强电子束、电子枪发射强电子束2 2、电子枪发射强电子束电子枪发弱、电子枪发射强电子束电子枪发弱电子束电子束(弱到电子一个一个电子射向双缝弱到电子一个一个电子射向双缝)3 3、将感光屏换成照相底版、将感光屏换成照相底版,对经过双缝对经过双缝到达底版上的弱电子束作长时间曝光到达底版上的弱电子束作长时间曝光1.1.电子枪发射强电子束电子枪发射强电子束屏上迅速显示出衍射图样屏上迅速显示出衍射图样2.2.电子枪发弱电子束电子枪发弱电子束(弱到电子一个一个电子射向双缝弱到电子一个一个电子射向双缝)屏上就出现了一个个亮点屏上就出现了一个个亮点,表明电子是作为完整的
9、颗表明电子是作为完整的颗粒一个一个地到达屏上的粒一个一个地到达屏上的3.3.对经过双缝到达底版上的弱电子束作长时间曝光对经过双缝到达底版上的弱电子束作长时间曝光屏上出现和强电子束相同的衍射图样屏上出现和强电子束相同的衍射图样!观察到的结果观察到的结果电子的波动性电子的波动性电子的粒子性电子的粒子性电子的波粒二象性电子的波粒二象性2.1.4 波函数统计解释波函数统计解释19241924年年BornBorn提出了波函数的统计解释提出了波函数的统计解释强电子束强电子束:在出现亮条纹的地方到达的电子数目多在出现亮条纹的地方到达的电子数目多,而在比较暗的地方到达的电子数目少而在比较暗的地方到达的电子数目
10、少.弱电子束弱电子束:电子到达亮条纹的几率较大电子到达亮条纹的几率较大,而到达暗而到达暗 的地方几率较小的地方几率较小.衍射实验衍射实验:无论是强电子束还是弱电子束无论是强电子束还是弱电子束,在接受屏上出现相同的衍射图样在接受屏上出现相同的衍射图样这就是首先由 Born 提出的波函数的统计解释，是量子力学的基本原理。波函数波函数 是描述粒子状态的函数是描述粒子状态的函数,波函数波函数t时刻某一点处的强度时刻某一点处的强度(模平模平方方)正比于该点处找到粒子的几率正比于该点处找到粒子的几率波函数的统计解释波函数的统计解释称为几率密度称为几率密度描写粒子的波是描写粒子的波是几率波几率波，波的强度反
11、映在空间某波的强度反映在空间某处找到粒子的几率的大处找到粒子的几率的大小，因此小，因此,波函数又称为波函数又称为几率幅几率幅。在在 t 时刻，空间任意两时刻，空间任意两点点 r1 和和 r2 处找到粒子处找到粒子的相对几率之比是：的相对几率之比是：可见，可见，(r,t)和和 C (r,t)所描写状态的相所描写状态的相对几率是相同的对几率是相同的,因此因此,它们它们描述粒子的同一描述粒子的同一状态，意味着状态，意味着波函数有一常数因子不定性波函数有一常数因子不定性。2.1.5 波函数的归一化波函数的归一化考虑两个波函数考虑两个波函数:(r,t)C=constantC (r,t)对于对于一个粒子一
12、个粒子而言而言,尽管不知道它会出尽管不知道它会出现在何处现在何处,但知道它总会在空间中出现但知道它总会在空间中出现,或者说粒子在全空间出现的几率等于一或者说粒子在全空间出现的几率等于一.满足该式的波函数称之为满足该式的波函数称之为归一化波函数归一化波函数若描述某个粒子的波函数若描述某个粒子的波函数 不满足归一化条件，即不满足归一化条件，即则可通过归一化过程将其则可通过归一化过程将其归一化归一化归一化归一化过程具体步骤过程具体步骤：令令使得使得因此因此,描述粒子的同一状态描述粒子的同一状态只差一个常数因子只差一个常数因子称为波函数归一化称为波函数归一化1/C1/C称为归一化常数称为归一化常数注意
13、：对归一化波函数仍有注意：对归一化波函数仍有一个一个相因子不定性相因子不定性。因为下。因为下列两函数的模是相等的。列两函数的模是相等的。例题例题考虑一维运动的粒子，其波函数为考虑一维运动的粒子，其波函数为试将其进行归一化并求出归一化常数试将其进行归一化并求出归一化常数解：由归一化条件，有 2.1.6 推广到多粒子体系推广到多粒子体系设由设由N N个粒子组成的体系的波函数为个粒子组成的体系的波函数为则则第第1 1个粒子出现在个粒子出现在r r1 1处处drdr1 1小区域中小区域中.表示表示t t时刻时刻,第第2 2个粒子出现在个粒子出现在r r2 2处处drdr2 2小区域中小区域中.第第N
14、N个粒子出现在个粒子出现在r rN N处处drdrN N小区域中的几率小区域中的几率多粒子体系波函数归一化条件为多粒子体系波函数归一化条件为2.2 2.2 态叠加态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。为态叠加原理。干涉和衍射的本质在于干涉
15、和衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相，即可相加性，加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射两个相加波的干涉的结果产生衍射。P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏2.2.1 电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验在介绍波函数统计解释时，曾介绍过电在介绍波函数统计解释时，曾介绍过电子双缝衍射实验。为了获得关于态叠加子双缝衍射实验。为了获得关于态叠加原理的某些信息，这里我们拟通过不同原理的某些信息，这里我们拟通过不同的实验步骤来进行电子双缝衍射实验。的实验步骤来进行电子双缝衍射实验。1、开、开S1关关S2电子通过电子通过S1到达屏，用到达屏，用 1描述电子通过描述电子通过S1后的状态，屏上出现
16、的衍射花后的状态，屏上出现的衍射花样由样由决定；决定；2、开、开S2关关S1电子通过电子通过S2到达屏，用到达屏，用 2描述电子通过描述电子通过S2后的状态，屏上出现的衍射花后的状态，屏上出现的衍射花样由样由决定；决定；3、同开、同开S1和和S2电子通过双缝到达屏，用电子通过双缝到达屏，用 描述电子通过双缝后的状态，屏上出现的衍描述电子通过双缝后的状态，屏上出现的衍射花样由射花样由决定。决定。|2 2=|C=|C1 11 1+C+C2 22 2|2 2 =(C =(C1 1*1 1*+C+C2 2*2 2*)(C)(C1 11 1+C+C2 22 2)=|C =|C1 1 1 1|2 2+|C
17、+|C2 22 2|2 2+C+C1 1*C C2 21 1*2 2+C+C1 1C C2 2*1 12 2*电子穿过电子穿过S S1 1出出现在点的几现在点的几率密度率密度电子穿过电子穿过S S2 2出出现在点的几现在点的几率密度率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。更一般情况下，双缝同时打开后出现在屏上的衍射花样由下式描述：更一般情况下，双缝同时打开后出现在屏上的衍射花样由下式描述：问题：双缝同时打开后出现在屏上的衍射花样到底是由问题：双缝同时打开后出现在屏上的衍射花样到底是由描述还是由描述还是由描述？描述？答案：答案：实验证明
18、是后者实验证明是后者C C1 1 和和 C C2 2 是复常数是复常数态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述：若若1 1 ，2 2,.,.,n n,.,.是体系的一系列可能的状态是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加，则这些态的线性叠加 =C=C1 11 1+C+C2 22 2+.+C+.+Cn nn n+.+.(其中其中 C C1 1,C,C2 2,.,C,.,Cn n,.,.为复常数为复常数)。也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态.，部，部分的处于分的处于n n，.根据电子双缝衍
19、射实验，我们可以提出量子力学中态叠加原理，即：2.2.2 态叠加原理态叠加原理如果如果1 1和和2 2 是体系的可能状态，则其线性叠加是体系的可能状态，则其线性叠加=C=C1 11 1+C+C2 22 2 也是该体系的一个可能状态也是该体系的一个可能状态.如果粒子处于态如果粒子处于态1 1和态和态2 2 的线性组合态的线性组合态=C=C1 11 1 +C+C2 22 2，则粒子是既处于态则粒子是既处于态1 1又处于态又处于态2 2，处于态，处于态1 1的几率为的几率为 ，处于态，处于态2的几率为的几率为 。上述的态叠加原理也可以理解为：电子在晶体表面反射后，电子可电子在晶体表面反射后，电子可能
20、以各种不同的动量能以各种不同的动量 p p 运动。具运动。具有 确 定 动 量 的 运 动 状 态 用有 确 定 动 量 的 运 动 状 态 用 d ed eBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示可表示成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果 dp p2.2.3 态叠加原理的应用态叠加原理的应用电子在晶体表面的衍射电子在晶体表面的衍射考虑电子的动量可考虑电子的动量可以是连续变化，
21、求以是连续变化，求和应改为积分和应改为积分展开展开系数系数利用利用显然，两式互为显然，两式互为Fourier变换式，故总是成立的。变换式，故总是成立的。可见可见同一量子态的两种同一量子态的两种不同描述方式不同描述方式坐标表象动量表象2.3 2.3 波函数随时间变化的规律波函数随时间变化的规律 Schrodinger Schrodinger 方程方程经典力学中，力学体系的运动状态随时间变化规经典力学中，力学体系的运动状态随时间变化规律由牛顿方程描述律由牛顿方程描述若知道力学体系的初始条件，利用牛顿方程即可求出体系在若知道力学体系的初始条件，利用牛顿方程即可求出体系在任何时刻的运动状态任何时刻的运
22、动状态量子力学中，量子体系的运动状态由波函数量子力学中，量子体系的运动状态由波函数(r,t)决决定，定，那么，波函数是如何随时间变化的？那么，波函数是如何随时间变化的？若知道量子体系的初始状态，通过波函数随时间变化规律就可若知道量子体系的初始状态，通过波函数随时间变化规律就可预测出量子体系在任何时刻的状态预测出量子体系在任何时刻的状态本节中心内容让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1 1）经典情况）经典情况2.3.1 基本考虑基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒
23、子的状态粒子的状态 r r 和和p p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。所以方程是时间的二阶常微分方程。（2 2）量子情况）量子情况1 1因为，因为，t=tt=t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是(r,t(r,t0 0)且只知道且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。2 2要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1(r,t)(r,t)和和2 2(r,t)(r,t
24、)是是方程的解，则方程的解，则 (r,t)=C(r,t)=C1 11 1(r,t)+C(r,t)+C2 22 2(r,t)(r,t)也也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含只能包含,对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次项对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。不能含它们的平方或开方项。3 3方程方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p,E E等，否则方程只能被粒等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满
25、足。描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解应是所要建立的方程的解将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：2.3.2 自由粒子的波函数随时间的变化规律自由粒子的波函数随时间的变化规律这不是所要寻找的方程，因为它包含状这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量态参量 E。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：同理有：(1)三个方程相加得到：三个方程相加得到：(2)这也不是所要寻找的这也不是所要寻找的方程，因为它包含状方程，因为它包含状态参量态参量 P。满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件(1)(1)(2)(2)式式2.3.3 Schrodinger
26、Schrodinger方程方程需要强调的是，量子力学中的基本方程实际上是个公设，它既不能由其它理论导出，更不能由经典概念给出，基本方程的正确如否只能由它导出的结论和实验是否符合来检验。基于这一原则，我们可以将在自由粒子情况下到出的波函数随时间变化的方程扩展到一般情况下，即得到我们所要建立的Schrodinger方程。量子力学基本公设之一量子力学基本公设之一经典物理中的的力学量在量经典物理中的的力学量在量子力学中用相应的算符表示子力学中用相应的算符表示基本力学量基本力学量能量能量动量动量坐标坐标经典物理经典物理E EP Px x P Py y P Pz zx y zx y z量子力学量子力学自由
27、粒子将力学量换成相应的算符并作用于波函数后即得到自由粒子的波函数随时间变化的方程一般情况下将力学量换成相应的算符并作用于波函数后即得到一般情况下的波函数随时间变化的方程Schrodinger方程通常记通常记量子系统的Hamiton算符则一般量子系统的则一般量子系统的Sch方程可写为：方程可写为：2.3.4多粒子体系的多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成，l质量分别为质量分别为 i i(i=1,2,.,N)(i=1,2,.,N)l体系波函数记为体系波函数记为 (r(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N;t)
28、;t)l粒子间的相互作用粒子间的相互作用 U(rU(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N)将力学量换成相应的算符并作用于波函数后即得到多粒子系统的Schrodinger方程经典物理中的Hamiton量为在经典物理中有各种各样的守恒定律，如：电荷、质量等在经典物理中有各种各样的守恒定律，如：电荷、质量等守恒定律，类似定律也存在于量子力学中。在讨论了状态守恒定律，类似定律也存在于量子力学中。在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们可以导出这些定律。或波函数随时间变化的规律后，我们可以导出这些定律。2.4 量子力学中的守恒定律量子力学中的守恒定律我们先讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将
29、怎样随时间我们先讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的几率点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：即几率密度是：1 1、几率守恒定律、几率守恒定律考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：取共轭取共轭在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：S 闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密是几率流密度，是一矢度，是一矢量。量。(7)(7)式就是几率（粒子数）守恒的积分表示式式就是几
30、率（粒子数）守恒的积分表示式其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同使用使用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积分前面的负号）内内的几率的几率S 几率流密度质量流密度矢量质量流密度矢量电流密度矢量电流密度矢量2 2、量子力学中各种守恒定律、量子力学中各种守恒定律守恒定律守恒定律 微分形式微分形式 积分形式积分形式几率几率质量质量电荷电荷质量密度质量密度电荷密度电荷密度表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是时间改变，其物理意义是粒子既未
31、产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。3 3、归一不变性、归一不变性由几率守恒定律的积分形式，我们有由几率守恒定律的积分形式，我们有将积分区域扩大到整个空间，明显有将积分区域扩大到整个空间，明显有推论推论如果波函数如果波函数 已归一化，则归一化条件已归一化，则归一化条件不会随时间变化。不会随时间变化。2.5 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程Schrodinger方程的一般形式为如果势场U不含或不显含时间，即则可用分离变量法，求解Schrodinger方程：令：令：于是：于是：等式两边是相互等式两边是相互无关的物理量，无关的物理量，故故应等于与应等于与 t,t,r r
32、无关的常数无关的常数代入到方程代入到方程(1)Schrodinger方程的特解方程的特解称为称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频率的关系是正弦型的，其角频率由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知：E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态时的能量。所描写的状态时的能量。此时此时体系能量有确定的值体系能量有确定的值，故这种状态称为故这种状态称为定态定态。具有上述形式的波函数称为具有上述形式的波函数称为定态波函数定态波函数。所满足的方程，即所满足的方
33、程，即2.6 能量算符的本征方程和本征值能量算符的本征方程和本征值式中f 称为算符 的本征值，u 称为算符 的属于本征值 f 的本征函数。可见定态可见定态SchrodingerSchrodinger方程就是方程就是HamitonHamiton算符的本征算符的本征值方程，即：值方程，即：其中其中E 为为 的本征值，波函数的本征值，波函数(r)(r)是是HamitonHamiton算算符符 属于本征值属于本征值 E 的本征函数。的本征函数。如果体系的Hamiton算符（或能量算符）有很多个本征值 E1,E2,E3,En,相应的本征函数为 1,2,3,n,则第 n 个状态的本征方程可写成相应的Sch
34、rodinger方程的特解为知道了特解后，则Schrodinger方程的一般解可写成这些定态波函数的线性叠加，即：2.7 定态定态SchrodingerSchrodinger方程的解法方程的解法1、波函数的标准条件波函数的统计解释已经指出，归一化的波函数为几率波的振幅，波函数具有几率幅的含义，模的平方与找到粒子的几率成正比，因此数学上，应满足三个条件：1)单值性因为 是t时刻在处出现的几率密度，因此物理上要求它 是唯一的，即要求 为单值函数为单值函数，只有这样在t时刻r处找到粒子的几率有唯一确定的值。2)有限性既要求粒子在有限空间范围内出现的几率保持有限几率保持有限，即:3)连续性定态Schr
35、dinger方程中含有对坐标一二阶导数，因此要求 及其对坐标的一阶导数连续对坐标的一阶导数连续。这三个条件是波函数的基本条件，必须记住，因为在解这三个条件是波函数的基本条件，必须记住，因为在解SchSch方程时经常用到。方程时经常用到。2、求解求解SchrodingerSchrodinger方程的一般步骤方程的一般步骤1)1)写出写出SchrSchrdingerdinger方程方程2)2)引入参数或做变量代换便于方程可以求解引入参数或做变量代换便于方程可以求解3)3)由波函数标准条件定出波函数和本征值由波函数标准条件定出波函数和本征值4)4)对波函数进行归一化对波函数进行归一化5)5)对解的物
36、理意义进行讨论对解的物理意义进行讨论-a 0 a xV(x)IIIIII例1一维无限深势阱中运动的粒子，求粒子的能级及对应的波函数，并对解的物理意义进行讨论。假设其势能为：3、求解求解SchrodingerSchrodinger方程的实例方程的实例方程可方程可 简化为：简化为：势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域，用用 I I、II II 和和 III III 表示，表示，其上的波函数分别为其上的波函数分别为 I I(x),(x),IIII(x)(x)和和 IIIIII(x)(x)。则方程为：则方程为：（2 2）引入参数使方程简化）引入参数使方程简化（1 1）写出）写出Schrodi
37、ngerSchrodinger方程方程（3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a)=(a)=0(-a)=(a)=0。-a 0 aV(x)IIIIII 1.1.单值，成立；单值，成立；2.2.有限：当有限：当x x -，有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。利用波函数连续性条件利用波函数连续性条件可求出待定参数可求出待定参数 和和(1)(2)(3)(4)由(3)得：由(4)得：
38、合二为一得：合二为一得：合二为一得：合二为一得：再来求相应再来求相应的本征函数的本征函数(n=1,2,3,4.)（4 4）对波函数进行归一化）对波函数进行归一化归一化条件归一化条件得：得：取实数取实数最后有：最后有：(n=1,2,3,4.)-a 0 aV(x)IIIIII 一维无限深势阱中运动的粒子的能级及对应的波函数（5 5）对解的物理意义讨论）对解的物理意义讨论a.束缚态与分立能级束缚态与分立能级由解由解可知可知粒子被束缚在粒子被束缚在(-a,a)小区域内，不可能到达无限远处。小区域内，不可能到达无限远处。若粒子被束缚在若粒子被束缚在 有限区有限区域内，其状态为束缚态。域内，其状态为束缚态
39、。若粒子可到达无限远处，若粒子可到达无限远处，其状态为非束缚态。其状态为非束缚态。束缚态束缚态一般而言，只要是束缚态，一般而言，只要是束缚态，其能级肯定是分立的。其能级肯定是分立的。可见，可见，n n 取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。b.n为什么未取为为什么未取为0和负整数？和负整数？若若 n=0,则则 0=0,由于波函数模平方正比于粒子由于波函数模平方正比于粒子出现的几率，因此，出现的几率，因此，n=0 的态是没有意义的的态是没有意义的！从求解过程可以看到，仅从数学上看从求解过程可以看到，仅从数学上看n 也可取负整数也可取负整数所谓的基态是指能量最低的态所谓的基态
40、是指能量最低的态 c.不为零的基态能量不为零的基态能量 在本问题中能量最低的态对应在本问题中能量最低的态对应n=1n=1的情况，因此的情况，因此基态能量为基态能量为 这和经典粒子有本质的区别这和经典粒子有本质的区别.在经典物理中，在经典物理中，粒子的能量可以为零，这意味着粒子静止，粒子的能量可以为零，这意味着粒子静止，即粒子的坐标有确定值且动量为零。但在量即粒子的坐标有确定值且动量为零。但在量子力学中，因为波粒二象性，坐标和动量不子力学中，因为波粒二象性，坐标和动量不能同时确定，因此基态能量不能为零，这是能同时确定，因此基态能量不能为零，这是微观粒子波动性的表现微观粒子波动性的表现。所谓的激发
41、态是指基态以外的态所谓的激发态是指基态以外的态 d.激发态激发态 在本问题中，在本问题中，n2n2的态均为激发态，的态均为激发态，n=2n=2、3 3、4 4对应对应的态分别为第一激发态、第二激发态、第三激发态的态分别为第一激发态、第二激发态、第三激发态.相邻两激发态的能量间隔相邻两激发态的能量间隔当当量子数量子数n n很大时，很大时，量子效应消失而过渡到经典情况。量子效应消失而过渡到经典情况。相对能量间隔为：相对能量间隔为：能量分立性消失能量分立性消失波动性消失波动性消失e.宇称宇称称波函数具有称波函数具有正宇称（正宇称（或偶宇称或偶宇称）；称波函数具有称波函数具有负宇称（负宇称（或奇宇称或
42、奇宇称）；则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。宇宇 称称奇宇称奇宇称偶宇称偶宇称本例题之所以有确定的宇称源于势场对原点的对称本例题之所以有确定的宇称源于势场对原点的对称f.关于纳米问题关于纳米问题为什么到纳米尺度才为什么到纳米尺度才能观察到量子效应？能观察到量子效应？由上面的讨论我们知道对于由上面的讨论我们知道对于大量子数大量子数n n，问题回到经典，问题回到经典情况，这就是为什么当我们情况，这就是为什么当我们需要强调量子效应时，必须需要强调量子效应时，必须到纳米尺度时才有意义。到纳米尺度时才有意义。电子的de Broglie波长 0.1 nmn=1 a0.025 nmn=10 a
43、0.25 nmn=100 a2.5 nmn=1000 a25 nmn=10000 a250 nm线性谐振子线性谐振子 例2质量为的粒子在势场 中运动，求粒子的能级及对应的波函数。在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力F=-kx 作用，由牛顿定律可写出运动方程为：作用，由牛顿定律可写出运动方程为：x=Asin(t+)何为谐振子何为谐振子这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。量子力学中的线性谐振子就是指量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒在该式所描述的势场中运动的粒子子axV(x)
44、0V0为何要研究谐振子为何要研究谐振子自然界中随处可见简谐振动。事实上，任何体系自然界中随处可见简谐振动。事实上，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往作为复杂运动的初步近似，所以谐振简谐振动往往作为复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究无论理论还是在应用上都是很重要的。子的研究无论理论还是在应用上都是很重要的。例例:双原子分子，两原子间的双原子分子，两原子间的势势V
45、是二者相对距离是二者相对距离x 的函数的函数可见复杂势场下粒子的运动往往可见复杂势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。可以用线性谐振动来近似描述。处理线性谐振子的方法非常典型。处理线性谐振子的方法非常典型。（1 1）写出）写出SchrodingerSchrodinger方程方程Hamiton量量Hamiton算符算符算符代替算符代替力学量力学量(1)（2 2）方程简化）方程简化利用引入参数，则方程变成：(1)(2)方程（2）是变系数的二阶常微分方程。如果直接用幂级数方法求解，系数递推公式将会非常复杂，常用方法是先求方程的渐近解，然后再求方程再整个区间的解（这也是解Schrdinger
46、方程的一种常用方法）（3 3）渐近解渐近解 为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当 时时的行为。在此情况下，的行为。在此情况下，2，于是方程变为：于是方程变为：以尝试解 代入并略去量级较小的项(3)因此，方程因此，方程(3)(3)有两个解，分别为有两个解，分别为 和和不满足波函数有限的条件，不满足波函数有限的条件，略去略去 所需要的波函数渐近解应当为所需要的波函数渐近解应当为（4 4）由波函数标准条件确定出由波函数标准条件确定出Schrodinger方程的解方程的解令 代入到方程（2）有 该方程称为厄米方程该方程称为厄米方程(4)把H 展开成 的幂级数
47、，即 代入到方程(4)可得 由的同次幂级数之和为零，得到递推公式(5)代入递推关系得代入递推关系得：为满足波函数有限性要求，幂级数为满足波函数有限性要求，幂级数 H()必须从某一项截必须从某一项截断变成一个多项式，这就要求断变成一个多项式，这就要求 H()从某一项（如第从某一项（如第 n 项）项）起以后各项系数均为零，即起以后各项系数均为零，即 an 0,an+2=0.由得到谐振子的能量谐振子的能量(n=0,1,2,.)对应于不同的对应于不同的n n 或不同的或不同的，厄米方程的解为，厄米方程的解为 H Hn n()，H Hn n()称为称为厄米多项式厄米多项式，可表示成：，可表示成：(6)其
48、最高次幂是n，其系数为 两个递推公式因此我们可得到线性谐振子的波函数为因此我们可得到线性谐振子的波函数为归一化系数归一化系数利用利用得到得到(5).解的物理意义及讨论解的物理意义及讨论谐振子的能量取分立值：谐振子的能量取分立值：原因是：原因是：在本问题中，粒子在原点附近作简谐振荡，由于在本问题中，粒子在原点附近作简谐振荡，由于谐振子的势能谐振子的势能U(x)，当x趋于无限大，即 因此，粒子不可能出现在无限远处因此，粒子不可能出现在无限远处。结论：结论：谐振子问题属于束缚态问题谐振子问题属于束缚态问题。a.能量量子化能量量子化一般而言，只要一般而言，只要是束缚态，其能是束缚态，其能级肯定是分立的
49、。级肯定是分立的。(5).解的物理意义及讨论解的物理意义及讨论b.均匀分布的能级均匀分布的能级c.不为零的基态能量不为零的基态能量由 ，可知相邻能级间的间隔这正是这正是planck当初的假设当初的假设！经典经典能量能量量子量子在本问题中，基态对应于n0的情况。当n0时，典型的量子效应典型的量子效应 ！(5).解的物理意义及讨论解的物理意义及讨论d.和经典谐振子的比较和经典谐振子的比较经典力学中，粒子在x范围内出现的几率粒子通过x所需要的时间 粒子在x范围内出现的几率 0X经典力学中粒子经典力学中粒子在原点在原点x0 0处出处出现的几率最小。现的几率最小。（因为粒子在x0处的速度最大）经典情况波
50、函数波函数n=0n=1n=2-3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2量子情况(1)粒子在原点出现的几率要么最大（n偶），要么为0（n为奇）(3)当n越大时，其几率密度分布与经典几率密度分布越来越接近，当n时，量子和经典无差别，这也表现当量子数很大时，量子体系过渡到经典情况。(2)粒子可在经典禁区中出现几率分布几率分布-22-44|10|2 n()n=2n=1n=0-11-1 0 10()例例3 电子被关在具有理想反射壁的三维电子被关在具有理想反射壁的三维 势阱中，求电子的能级和波函数。势阱中，求电子的能级和波函数。本例题的目的是本例题的目的是介绍分离变量法介绍分离变量法xyz按题意，相当于
