1、立体几何复习课件立体几何复习课件平行问题垂直问题垂直问题角度问题角度问题距离问题距离问题体积面积问题体积面积问题生活问题和翻折问题生活问题和翻折问题综合问题综合问题平行问题返回直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系直线和平面的平行关系直线和平面的平行关系平面和平面的平行关系平面和平面的平行关系返回直线在平面内直线在平面内直线和平面相交直线和平面相交直线和平面平行直线和平面平行线面位置关系线面位置关系有无数个公共点有无数个公共点有且仅有一个公有且仅有一个公共点共点没有公共点没有公共点返回平行于同一平面的二直线的位平行于同一平面的二直线的位置关系是置关系是 (）（A A）一定平行一定平行（B B
2、）平行或相交平行或相交（C C）相交相交（D D）平行，相交，异面平行，相交，异面D返回（1 1）点）点A A是平面是平面 外的一点，过外的一点，过A A和和平面平面 平行的直线有平行的直线有 条。条。A无数无数返回（2 2）点）点A A是直线是直线l l 外的一点，过外的一点，过A A和直线和直线l l 平行的平面有平行的平面有 个。个。A无数无数返回（3 3）过两条平行线中的一条和另）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有一条平行的平面有 个。个。无数无数返回（4 4）过两条异面直线中的一条和另）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有一条平行的平面有 个。个。且仅有一且仅有一返回（5
3、 5）如果）如果l l1 1/l l2 2,l l1 1 平行于平行于平面平面,则则l l2 2 平面平面 l1 l2l2 或或 /返回（6 6）如果两直线）如果两直线a a，b b相交相交,a,a平行于平行于平面平面，则，则b b与平面与平面 的位置关系的位置关系是是 。a bb相交或平行相交或平行返回(1)(1)定义定义直线与平面没有公共点直线与平面没有公共点(2)(2)定理定理如果平面外一条直线和如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。条直线和这个平面平行。返回如图如图,两个全等的正方形两个全等的正方形ABCDABCD和和
4、ABEFABEF所所在平面交于在平面交于AB,M.NAB,M.N分别是对角线上的点，分别是对角线上的点，AM=FNAM=FN。求证。求证:MN/:MN/面面BCEBCE。ABCDEFMNGHMN/GH MN/面面BCE线线平行线线平行线面平行线面平行返回GABCDEFMNHAFN BNH AN/NH=FN/BN AN/NH=AM/MC MN/CH MN/面面BCE如图如图,两个全等的正方形两个全等的正方形ABCDABCD和和ABEFABEF所所在平面交于在平面交于AB,M.NAB,M.N分别是对角线上的分别是对角线上的点，点，AM=FNAM=FN，求证，求证:MN/:MN/面面BCEBCE。返
5、回ABDCA1B1D1C1 在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中的中点，求证：点，求证：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEFDB1/EF DB1/面面A1C1E线线平行线线平行线面平行线面平行返回在正方体在正方体ACAC1 1中，中，O O为平面为平面ADDADD1 1A A1 1的的中心，求证：中心，求证：CO/CO/面面A A1 1C C1 1B BABDCA1B1D1C1B1OF返回线面平行的性质线面平行的性质线面平行的性质线面平行的性质(1)1)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面则这条直线与这个平
6、面无公共点无公共点(2)(2)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线则这条直线与这个平面内的直线成成异面直线或平行直线异面直线或平行直线(3)(3)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条交，则这条直线与交线平行直线与交线平行。返回如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条相交，则这条直线与交线平行直线与交线平行如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平
7、面和这个平面经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条相交，则这条直线与交线平行直线与交线平行已知：已知：a/,a,=b 求证：求证：a/b ab =bb a/a b=a/b返回如果平面外的两条平行线中的一条如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直线与与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行这个平面也平行abc返回如果一条直线和两个相交平面都平如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行行，则这条直线与它们的交线平行abc l已知：已知：a/a/，a/a/，=l l求证：求证：a/a/l l返回abABOMNPD如图，如图，a,ba,b是异面直线，是异面直线，
8、O O为为ABAB的中点，的中点，过点过点O O作平面作平面 与两异面直线与两异面直线a,ba,b都平行都平行MNMN交平面于点交平面于点P P，求证：，求证：MP=PNMP=PN 返回一、两个平面平行的判定方法一、两个平面平行的判定方法1 1、两个平面没有公共点、两个平面没有公共点2 2、一个平面内有两条相交、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面直线都平行于另一个平面3 3、都垂直于同一条直线、都垂直于同一条直线的两个平面的两个平面两个平面平行两个平面平行返回二、两个平面平行的性质二、两个平面平行的性质4 4、一直线垂直于两个平行平面中、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另
9、一个平面的一个，则它也垂直于另一个平面2 2、其中一个平面内的直线平行、其中一个平面内的直线平行于另一个平面于另一个平面3 3、两个平行平面同时和第三个平、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行面相交，它们的交线平行两个平面平行两个平面平行5 5、夹在两个平行平面间的平行线、夹在两个平行平面间的平行线段相等段相等1 1、两个平面没有公共点、两个平面没有公共点返回判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？1 1、平行于同一直线的两平面平行、平行于同一直线的两平面平行2 2、垂直于同一直线的两平面平行、垂直于同一直线的两平面平行3 3、与同一直线成等角的两平面平行、与同一直线成等角的两
10、平面平行返回4.4.垂直于同一平面的两平面平行垂直于同一平面的两平面平行5.5.若若,则平面则平面内任一直线内任一直线a a 6.6.若若n n ,m ,m ,n,m,n,m则则nm返回2.如图如图,设设AB、CD为夹在两个平行平面为夹在两个平行平面 、之间之间 的线段，且直线的线段，且直线AB、CD为异面直线，为异面直线，M、P 分别分别为为AB、CD 的中点，的中点，求证：求证：直线直线MP/平面平面 .ADCBPMNE返回例例:如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，求中，求证：面证：面ABAB1 1D D1 1面面BDCBDC1
11、 1证明：证明：BDBBDB1 1D D1 1BD BD 面面BDCBDC1 1B B1 1D D1 1 面面BDCBDC1 1B B1 1D D1 1面面BDCBDC1 1同理：同理：ABAB1 1面面BDCBDC1 1B B1 1D D1 1ABAB1 1=B=B1 1面面ABAB1 1D D1 1面面BDCBDC1 1线线线线线线面面面面面面ABCDA1B1C1D1返回证法证法2 2：ACBDACBDA A1 1AA面面ACACA A1 1C C在面在面ACAC上的上的射影为射影为ACACA A1 1CBDCBDBDBCBDBC1 1=B=BA A1 1CBCCBC1 1同理同理:A A
12、1 1CC面面BDCBDC1 1同理同理:A A1 1CC面面ABAB1 1D D1 1面面ABAB1 1D D1 1面面BDCBDC1 1ABCDA1B1C1D1返回变形变形1:1:如图，在正方如图，在正方体体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E,F,GE,F,G分别为分别为A A1 1D D1 1,A,A1 1B B1 1,A,A1 1A A的中点的中点,求证：面求证：面EFGEFG面面BDCBDC1 1变形变形2:2:若若O O为为BDBD上的点上的点求证：求证：OCOC1 1 面面EFGEFGO面面面面 由上知面由上知面EFGEFG面面BDCBD
13、C1 1OCOC1 1 面面BDCBDC1 1ABCDA1B1C1D1EFG线线面面OCOC1 1 面面EFGEFG证明：证明：返回变形变形3:3:如图如图,在正在正方体方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，中，E,F,M,NE,F,M,N分别为分别为A A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1,B,B1 1C C1 1,C C1 1D D1 1 的中点的中点ABCDA1B1C1D1EFNM求证：面求证：面AEFAEF面面BDMNBDMN返回小结：小结：线线平行平行线线 线线平行平行 面面 面面平行平行 面面线面平行判定线面平行判定线面平行性质线面
14、平行性质面面平行判定面面平行判定面面平行性质面面平行性质三种平行关系的转化三种平行关系的转化返回垂直问题线面垂直的判定方法线面垂直的判定方法(1)(1)定义定义如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的任任意一条意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。直线都垂直，则直线与平面垂直。(2)(2)判定定理判定定理1 1如果两条如果两条平行线平行线中的一条垂中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。(3)(3)判定定理判定定理2 2如果一条直线和一个平面内如果一条直线和一个平面内的的两条相交直线两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。都垂直，则直线
15、与平面垂直。返回线面垂直的性质线面垂直的性质(1)(1)性质性质如果一条直线和一个平面垂直则如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的这条直线垂直于平面内的任意一条任意一条直线直线(2)(2)性质定理性质定理如果两条直线同垂直于一个如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平面，则这两条直线平行平行。返回(3)(3)性质性质 过空间一点作直线的垂面过空间一点作直线的垂面有且只有一个有且只有一个,作平面的垂线作平面的垂线有且只有一条有且只有一条.填空填空（1）l ,m l_m（2）n,m,m与与n_,l m,l n,l （3）l ,m ,l_m（4）l/m,l ,m_ 相交相交/返回PA
16、BC如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，C C是异于是异于A A，B B的圆周上的任意一点，的圆周上的任意一点，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面所在的平面（1）BC面面PAC返回PABC H2)2)若若AHPC,AHPC,则则AHAH面面PBCPBC如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，C C是异于是异于A A，B B的圆周上的任意一点，的圆周上的任意一点，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面所在的平面返回PABC H3)3)若若AHPC,AEAHPC,AEPB,则则PBHEPBHE如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，C C是异于是异于A A
17、，B B的圆周上的任意一点，的圆周上的任意一点，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面所在的平面返回EABDCA1B1D1C1O在正方体在正方体ACAC1 1中中,O,O为下底面的中心为下底面的中心,求证：求证：ACAC面面D D1 1B B1 1BDBD返回ABDCA1B1D1C1OH在正方体在正方体ACAC1 1中，中，O O为下底面的中为下底面的中心，心，B B1 1H DH D1 1O,O,求证：求证：B B1 1HH面面D D1 1ACAC返回ABDCA1B1D1C1OH在正方体在正方体ACAC1 1中，中，O O为下底面的中为下底面的中心，心，H H为为D D1 1D D的中点的
18、中点,求证：求证：B B1 1OO面面HACHAC返回OHABDCA1B1D1C1E如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直直二面角，则这两个平面垂直如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直直二面角，则这两个平面垂直返回如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直条垂线，则这两个平面互相垂直ABEDC线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直返回如图，如图，C C为以为以ABAB为直径的圆周上一点，为直径的圆周上一点，PAPA面面ABCABC，找出图中互
19、相垂直的平面。，找出图中互相垂直的平面。PABCPA面面ABC面面PAC面面ABC面面PAB面面ABCBC面面PAC面面PBC面面PAC返回如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面于它们的交线的直线垂直于另一个平面ABDCE线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直返回求证：如果一个平面与另一个平面的求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直垂线平行，则这两个平面互相垂直 ab 返回求证：如果两个相交平面都与另一个平面求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线垂直，则这
20、两个平面的交线 l 垂直于另一垂直于另一个平面个平面 l返回求证：如果两个相交平面都与另一个平面求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一垂直于另一个平面个平面 lPAB返回四面体四面体ABCDABCD中，面中，面ADCADC面面BCDBCD，面，面ABD ABD 面面BCDBCD，设，设DEDE是是BCBC边上的高，边上的高，求证：求证：平面平面ADE ADE 面面ABC ABC ABCED面面ADC面面BCD面面ABD 面面BCDAD 面面BCDAD BCDE BCBC 面面ADE面面ABC 面面ADE线面垂直线面垂直面面垂直面面垂
21、直线线垂直线线垂直返回PACBABCABC是直角三角形是直角三角形,ACB=90,ACB=90,P,P为为平面外一点，且平面外一点，且PA=PB=PC.PA=PB=PC.求证：求证：平面平面PAB PAB 面面ABC ABC O返回课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习空间四面体空间四面体ABCDABCD中，若中，若AB=BCAB=BC，AD=CDAD=CD，E E为为ACAC的中点，则有的中点，则有(）ABCED(A)(A)平面平面ABD ABD 面面BCDBCD(B)(B)平面平面BCD BCD 面面ABCABC(C)(C)平面平面ACD ACD 面面ABCABC(D)(D)平面平面ACD AC
22、D 面面BDEBDE返回如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PBPB底面底面ABCABC，ACB=90ACB=90,PB=BC=CA,E,PB=BC=CA,E为为PCPC中点，中点，求证：求证：平面平面PAC PAC 面面PBC PBC 求异面直线求异面直线PAPA与与BEBE所成角的大小所成角的大小ACBEP返回如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面是菱的底面是菱形，形，PAPA底面底面ABCDABCD，BAD=BAD=120120,E,E为为PCPC上任意一点，上任意一点，ACDBPE求证：求证：平面平面BED BED 面面PACPACO若若E E是是PCP
23、C中点，中点，AB=PA=a,AB=PA=a,求二面求二面角角E-CD-AE-CD-A的大小的大小F返回角度问题一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。返回abo.aO是空间中的任意一点 点o常取在两条异面直线中的一条上bo o o o o返回一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，
24、我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L?则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是0的角。返回oLBA返回一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角
25、叫做二面角的平面角。LoBA平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L?则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。返回ALBO返回一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LoBAALBO平
26、面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L?则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。返回二、数学思想、方法、步骤：二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化化归与转化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.2.方法：方法：3.3.步骤：步骤：b.b.求直线与平面所成的角：求直线与平面所成的角：a.a.求异面直线所成的角：求异面直线所成的角：c.c.
27、求二面角的大小：求二面角的大小：作（找）证 点 算1.1.数学思想：数学思想：平移平移 构造可解三角形构造可解三角形找（或作）射影找（或作）射影 构造可解三角形构造可解三角形找（或作）其平面角找（或作）其平面角 构造可解三角形构造可解三角形返回ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为60返回在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线D1B和和B1C所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1E返回PABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，
28、的中点，PA=BC=4，MN=3，求求PA与与BC所成的角？所成的角？E返回A1ABB1CDC1D1FEG解：如图，取AB的中点G，O（证）（证）A1D1FGAD又ADA1D1FG四边形A1GFD1为平行四边形A1G D1FA1G与AE所成的锐角（或直角）就是AE与D1F所成的角。（点）（点）（算）（算）FG，A1G，A1G与AE交于O连结（作）（作）例例1:如图，如图，在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，E E、F F分分别是别是BBBB1 1、CDCD中点。求中点。求AEAE与与D D1 1F F所成的角。所成的角。即直线AE与D1F所成
29、的角为直角。E是BB1的中点tRA1AGABEAOG=90GA1A=GAO返回（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结：1 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围：（1）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（2）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（3）当当 cos =0 时，所成角为时，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有
30、 关知识关知识解决。解决。90o（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是：定角定角求角求角返回说明说明：异面直线所成角的范围是（：异面直线所成角的范围是（0，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦余弦值为负值值为负值时，其对应角为钝角，这时，其对应角为钝角，这不符合不符合两两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。的角，这一点要注意。2返回斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面
31、内的射影和它在这个平面内的射影 所成的所成的锐角锐角AOB返回若斜线段若斜线段AB的长度是它在平面的长度是它在平面内的射影长的内的射影长的2倍，则倍，则AB与与所成的角为所成的角为 。60AOB返回求直线与平面所成的角时求直线与平面所成的角时,应注意的问题应注意的问题:(1)(1)先判断直线与平面的位置关系先判断直线与平面的位置关系(2)2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线在平面上的射影作出或找出斜线在平面上的射影求出斜线段，射影，垂线段的长度求出斜线段，射影，垂线段的长度解此
32、直角三角形解此直角三角形,求出所成角的相应函数值求出所成角的相应函数值返回例题例题:如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O返回如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，O O为下底面为下底面ACAC的中心，求的中心，求A A1 1O O与平面与平面BBBB1 1D D1 1D D所成的角所成的角.ABCDA1B1C1D1OO返回正四面体正四面体P PABCABC中，
33、求侧棱中，求侧棱PAPA与与底面底面ABCABC所成的角所成的角PABCHD返回从一条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱返回二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所
34、成的角叫做二面角的平面角O返回2.如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面角B1-AA1-C1的大小为的大小为_，二面角，二面角B-AA1-D的大小为的大小为_，二，二面角面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.24590基础题例题基础题例题返回ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体ACAC1 1中，求二面角中，求二面角D D1 1-AC-D-AC-D的的大小？大小？O返回在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E，F F分别是分别是ABAB，ADAD的中点，求二面角的中点，求二面角C C1 1-EF-C-EF-C的大小？的大小？EFABDCA1B1D1C1H返
35、回三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PA PA 平面平面ABCABC，PA=3PA=3，AC=4AC=4，PB=PC=BC.PB=PC=BC.PABC（1 1）求二面角）求二面角P-BC-AP-BC-A的大小的大小34H返回PABC（2 2）求二面角）求二面角A-PC-BA-PC-B的大小的大小DEBD=DE=235815COS =43三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PA PA 平面平面ABCABC，PA=3PA=3，AC=4AC=4，PB=PC=BC.PB=PC=BC.（1 1）求二面角）求二面角P-BC-AP-BC-A的大小的大小返回1.1.熟练掌握求二面角大小的基本方法：熟
36、练掌握求二面角大小的基本方法：先作平面角，再求其大小先作平面角，再求其大小；返回翻折问题生活问题 如图，以等腰直角三角形斜边如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高上的高AD为折痕，使为折痕，使 ABD和和 ACD折成相垂折成相垂直的两个面。直的两个面。求证：求证：（1）BDCD；（；（2）BAC=60.ABCDABCD返回 例：已知：例：已知：E、F是正方形是正方形ABCD的边的边BC和和CD的中点，分别沿的中点，分别沿AE、EF、AF将将ABE、ECF、AFD折起，使折起，使B、C、D三点重合于三点重合于P点点,如图所示。如图所示。（1）求证：）求证：AP EF；（2）求二面角求二面角A-EF
37、-P的大小。的大小。ABCDEFAEFBCDP返回解：（1）APPF，AP PE，PEPE=P AP平面平面PEF 又又EF 平面PEF AP EF.返回（2）取）取EF的中点的中点H，连结，连结PH、AH，PE=PF，AE=AF AH EF，PH EF AHP是二面角是二面角A-EF-P的平面角。的平面角。由由(1)知知AP 平面平面PEF，而，而PH 平面平面PEFAP PH，即，即 APH是是Rt.cosAHP=，AHP=arcos 二面角二面角A-EF-P的大小为的大小为arcos 。PHAP313131返回练习练习 1、长方体、长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=3，BC=
38、2，AA1=1，一蚂蚁从点，一蚂蚁从点A沿其表面爬沿其表面爬到到C1点的最短路程为（点的最短路程为（）A、B、C、D、26522314返回 2、如图代表未折叠正方体的展、如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方开图，将其折叠起来，变成正方体后图形是（体后图形是（）ABCD返回复习复习小结小结 1 1、解折叠问题首先是准确地画、解折叠问题首先是准确地画出原来的平面图形及折叠后的空出原来的平面图形及折叠后的空间图形间图形,对照两图形中对应元素对照两图形中对应元素的位置、大小、形状的位置、大小、形状,确定不变确定不变元素，不变量是解题的基础元素，不变量是解题的基础,折折叠所成的二面角往往是解题的关叠所成的二面角往往是解题的关键。键。返回 2、求侧面上两点间的最短距、求侧面上两点间的最短距离离,一般都是将空间图形沿某一般都是将空间图形沿某一条棱或母线剪开铺平，化一条棱或母线剪开铺平，化为求两点决定的线段长为求两点决定的线段长,从而从而化化“曲曲”为为“直直”，化，化“折折”为为“平平”。展开是空间问题展开是空间问题平面化的一种常用方法。平面化的一种常用方法。返回
