1、 本章知识结构：本章知识结构：一、整式的有关概念一、整式的有关概念 1、代数式、代数式 2、单项式、单项式 3、单项式的系数及次数、单项式的系数及次数 4、多项式、多项式 5、多项式的项、次数、多项式的项、次数 6、整式、整式 二、整式的运算二、整式的运算（一）整式的加减法（一）整式的加减法 1、单项式除以单项式、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式、多项式除以单项式（三）整式的除法（三）整式的除法你回忆起了吗？就这些你回忆起了吗？就这些知识知识 1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法 2、幂的乘方、幂的乘方 3、积的乘方、积的乘方 4、同底数的幂相除、同底数的幂相除 5、单项式乘以单项式、单项
2、式乘以单项式 6、单项式乘以多项式、单项式乘以多项式 7、多项式乘以多项式、多项式乘以多项式 8、平方差公式、平方差公式 9、完全平方公式、完全平方公式（二）整式的乘法（二）整式的乘法01一、整式的有关概念一、整式的有关概念1、单项式单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。单独的一个数或字母也是单项式。2、单项式的系数：单项式的系数：单项式中的数字因数。单项式中的数字因数。3、单项式的次数：单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和单项式中所有的字母的指数和。4、多项式：多项式：几个单项式的和叫多项式。几个单项式的和叫多项式。5
3、、多项式的项及次数：多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！是组成多项式的所有字母指数和！6、整式：、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）有字母的代数式不是整式）02二、整式的运算二、整式的运算（一）整式的加减法（一）整式的加减法基本步骤：去括号，合并同类项。基本步骤：去括号，合并同类项。1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘
4、法法则：法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示数学符号表示：（其中（其中m、n为正整数）为正整数）nmnmaaa（二）整式的乘法（二）整式的乘法练习：判断下列各式是否正确。练习：判断下列各式是否正确。6623222844333)()()()(2,2xxxxxmmmbbbaaa2、幂的乘方、幂的乘方法则：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示：数学符号表示：mnnmaa)(（其中（其中m、n为正整数）为正整数）练习：判断下列各式是否正确。练习：判断下列各式是否正确。2244241222443243284444
5、)()()(,)()(,)(mmmnnaaaxxbbbaaamnppnmaa)(（其中（其中m、n、P为正整数）为正整数）3、积的乘方、积的乘方法则：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。，再把所得的幂相乘。符号表示：符号表示：)()(),(,)(为正整数其中为正整数其中ncbaabcnbaabnnnnnnn练习：计算下列各式。练习：计算下列各式。32332324)(,)2(,)21(,)2(baxybaxyzpnmpnmaa)(（其中（其中 m、n、p都是正整数）都是正整数）.(abc)n=anbncn.(n为正整数)am an
6、 ap=am+n+p（m、n、p都是正整数)1、若、若10 x=5,10y=4,求求102x+3y-1 的值的值.2、计算：、计算：0.251000（-2）20016701004)271()9.(3注意点：注意点：（1）指数：加减）指数：加减乘除乘除转化转化（2）指数：乘法）指数：乘法幂的乘方幂的乘方转化转化（3）底数：不同底数）底数：不同底数同底数同底数转化转化例：比较大小：例：比较大小：3555，4444，5333解：解：3 3555555=（3 35 5）111111=243=2431111114 4444444=（4 44 4）111111=256=2561111115 5333333
7、=（5 53 3）111111=125=1251111112562562432431251254 44444443 35555555 5333333例：如果例：如果 2 28 8n n1616n n=2=22222,求：求：n n的值的值解：解：由由2 28 8n n1616n n=2=22222，得，得2 2（2 23 3）n n（2 24 4）n n=2=222222 21+3n+4n1+3n+4n=2=222222 22 23n3n2 24n4n=2=22222所以：所以：1+3n+4n=221+3n+4n=22解得：解得：n=3n=34.4.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘
8、，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn5.多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘：=am+an+bm+bn（1）、平方差公式）、平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式.,)(22也可以是代数式既可以是数其中babababa说明说明：平方差公式是根据多项式乘以多平方差
9、公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是项式得到的，它是两个数的和两个数的和与与同样的同样的两个数两个数的差的差的积的形式。的积的形式。6.乘法公式：乘法公式：一般的，我们有：一般的，我们有：（2）、完全平方公式）、完全平方公式法则法则：两数和（或差）的平方，等于它们的：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍倍。.,2)(;2)(222222也可以是代数式既可以是数其中 bababababababa2222)(:bababa即一般的，我们有：一般的，我们有：注意：（1）(a-b)=-(b-a)(2)（a-b)2=(b-a)2 (3)(
10、-a-b)2=(a+b)2 (4)(a-b)3=-(b-a)37.7.添括号的法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。如果如果a+a1=3,则则a2+a21=()(A)7(B)9(C)10(D)11所以所以=9a+a1()2所以所以a+a1=922+2A故故a a1=72+2因为因为a+a1=3解：解：(2022(2022临沂中考临沂中考)若若 则代数式则代数式(x-1)(y+1)(x-1)(y+1)的值等于的值等于()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)2(C)(D)2【解析解析】选选B.B.当当 时，时，(x-1
11、)(y+1)=(x-1)(y+1)=xy21,xy2,2 222 222 2xy21,xy2xyxy 1221 1 2 22.(2022(2022宁波中考宁波中考)若若x+y=3,xy=1,x+y=3,xy=1,则则x x2 2+y+y2 2=_.=_.【解析解析】因为因为x+y=3,x+y=3,所以所以x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2=9.=9.因为因为xy=1,xy=1,所以所以x x2 2+y+y2 2=7.=7.答案：答案：7 7第第4 4讲讲整式的乘除与因式分解整式的乘除与因式分解 教你读题教你读题1.1.注意到两个关键字注意到两个关键字“先先”与与“再再”，指明不能直接代
12、入求指明不能直接代入求值值.2.2.掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则，是正确解是正确解答本题的关键答本题的关键.(2022 (2022绍兴中考绍兴中考)先化简，再求值：先化简，再求值：a(a-2b)+2(a+b)(a-b)+(a+b)a(a-2b)+2(a+b)(a-b)+(a+b)2 2.其中其中【思路点拨思路点拨】先根据整式乘法、乘法公式展开，再合并同类先根据整式乘法、乘法公式展开，再合并同类项，代入求值项，代入求值.【自主解答】【自主解答】原式原式a a2 2-2ab+2a-2ab+2a2 2-2b-2b2 2+a+a2 2+2ab+b+2ab+b
13、2 2=4a=4a2 2-b-b2 2,当当 时，原式时，原式1a,b1.2 1a,b12 21411 10.4 教你读题教你读题1.1.注意到两个关键字注意到两个关键字“先先”与与“再再”，指明不能直接代入求指明不能直接代入求值值.2.2.掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则，是正确解是正确解答本题的关键答本题的关键.【方法指导】【方法指导】解化简求值类题解化简求值类题，为了使运算更简便为了使运算更简便，我们常需先对式我们常需先对式子进行化简子进行化简，然后再代入字母的值，然后再代入字母的值.当条件中没有明确告诉字当条件中没有明确告诉字母的取值时母的取值时
14、，有时需要对条件进行转化后整体代入求值有时需要对条件进行转化后整体代入求值.分别为分别为（）(4)若若2a2-2ab+b2-2a+1=0,则则a、b（A）1，-1（B）1，1（C）-1，1（D）0，0B(a-b)+(a-1)=022(a-b)=02(a-1)=02且且所以所以a=1,b=1+22a-2ab b-2a+1=02a+所以所以2+22a-2ab b-2a+1=0因为因为解：解：第第4 4讲讲整式的乘除与因式分解整式的乘除与因式分解 A AB BA A 20222022枣庄枣庄 图图4 42 2是一个长为是一个长为2a2a，宽为，宽为2b2b（abab）的）的长方形，用剪刀沿图中虚线（
15、对称轴）剪开，把它分成四块长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（）方形，则中间空白部分的面积是（）图图4 42 2C C 解析解析 空白面积空白面积(a(ab)b)2 24 4ababa a2 22ab2abb b2 24ab4aba a2 22ab2abb b2 2(a(ab)b)2 2，故，故C C正确正确A A.2ab .2ab B B.（a ab b）2 2C C.（a ab b）2 2 D D.a.a2 2b b2 2 20232023安庆模
16、拟安庆模拟 计算：计算：4a4a6 62a2a2 2.20222022安徽安徽 计算：（计算：（a a3 3）（）（a a1 1）a a（a a2 2）.2a2a4 4 解：原式解：原式a a2 2a a3a3a3 3a a2 22a2a2a2a2 23.3.20222022安徽安徽 观察下列关于自然数的等式：观察下列关于自然数的等式：3 32 24 41 12 25 5，5 52 24 42 22 29 9，7 72 24 43 32 21313，根据上述规律解决下列问题：根据上述规律解决下列问题：（1 1）完成第四个等式：）完成第四个等式：9 92 24 4（）2 2；（2 2）写出你猜想
17、的第）写出你猜想的第n n个等式（用含个等式（用含n n的式子表示），并的式子表示），并验证其正确性验证其正确性.47 解：解：(1)4(1)41717(2)(2n(2)(2n1)1)2 24n4n2 2(2n(2n1)1)2n.2n.验证：左边验证：左边4n4n2 24n4n1 14n4n2 24n4n1.1.右边右边(2n(2n1)1)2n2n4n4n1.1.左边右边，猜想正确左边右边，猜想正确（1）、同底数幂的除法）、同底数幂的除法即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。一般地，我们有一般地，我们有nmnmaaa（其中（其中a0，m、n为为正整数正整数
18、,并且并且mn）)0(10aa8.整式的除法：整式的除法：即任何不等于即任何不等于0的数的的数的0次幂都等于次幂都等于1（2）、单项式除以单项式）、单项式除以单项式 法则：法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。个因式。（3）、多项式除以单项式）、多项式除以单项式 法则：法则：多项式除以单项式，先把这个多项多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商式的每一项除以
19、这个单项式，再把所得的商相加。相加。例题例题例 计算:（1）x8x2 ；（2）a4 a ；（3）(ab)5(ab)2；（4）（-a）7（-a）5（5）(-b)5(-b)2解解:(1)x8 x2=x 8-2=x6.(2)a4 a=a 4-1=a3.(3)(ab)5(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.（4）(-a)7(-a)5=(-a)7-5=(-a)2=a2 (5)(-b)5(-b)2=(-b)5-2=(-b)3=-b3讨论（讨论（1）计算（）计算（1.901024）（5.981021）说）说说你计算的根据是什么？说你计算的根据是什么？还可以从除法的意义去考虑还可以从除法的意义去考
20、虑:1.计算下列各式：计算下列各式：(1)(am+bm)m；(2)(a2+ab)a；(3)(4x2y+2xy2)2xy解：解：(1)计算计算(am+bm)m，就是要求一个多项式，就是要求一个多项式，使它与使它与m的积是的积是am+bm(a+b)m=am+bm，(am+bm)m=a+b又又amm+bmm=a+b，(am+bm)m=amm+bmm同理同理,(a2+ab)a=a2a+aba;(4x2y+2xy2)2xy=4x2y2xy+2xy22xy例例3：计算：计算(12a3-6a2+3a)3a;解：解：(12a3-6a2+3a)3a=12a33a-6a23a+3a3a=4a2-2a+1例例3：计
21、算：计算(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y);解：解：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y分解因式分解因式定义定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式叫做把这个多项式因式分解因式分解或或分解因式分解因式。与整式乘法的关系：与整式乘法的关系：互为逆过程，互逆关系互为逆过程，互逆关系方法方法提公因式法提公因式法公式法公式法步骤一提：一提：提公因式提公因式二用：二用：运用公式运用公式三查：三查：检查因式分解的结果是否正确检查因式分解的结果是否正确 （彻
22、底性）（彻底性）平方差公式平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式完全平方公式a22ab+b2=(ab)2九九.(l)结果一定是积的形式；(2)每个因式必须是整式；(3)各因式要分解到不能再分解为止 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解因式分解，分解因式几个特点即：即：一个多项式一个多项式 几个整式的积几个整式的积下列变形是否是因式分解？为什么?(1)3x(1)3x2 2y-xy+y=y(3xy-xy+y=y(3x2 2-x)-x)；(2)x(2)x2 2-2x+3=(x-1)-2x+3=(x-1)2 2+2+2；(3)x(3)x
23、2 2y y2 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x(4)xn n(x(x2 2-x+1)=x-x+1)=xn+2n+2-x-xn+1n+1+x+xn n.提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.不满足因式分解的含义 因式分解是恒等变形而本题不恒等.是整式乘法.练习练习 填空填空1.若若 x2+mx-n能分解成能分解成(x-2)(x-5),则则m=,n=。2x2-8x+m=(),m=。-7-10 x-4x-41623.下列等式中下列等式中,从左到右的变形是分解因式的是从左到右的变形是分解因式的是()A.(x+5)(x-5)=x2-25 B.x
24、2+3x+1=(x+1)(x+1)-1C.x2+3x+2=(x+1)(x+2)D.a(m+n)=am+an4.下列多项式是完全平方式的是下列多项式是完全平方式的是()A.0.01x2+0.7x+49 B.4a2+6ab+9b2C.9a2b2-12abc+4c2 D.X2-0.25x+0.25CC1.提公因式法确定公因式的方法提公因式法如果多项式的各项有公因式,把公因式提出来,从而转化为几个因式乘积的形式(2)a-b(2)a-b 与与 -a+b-a+b 互为相反数互为相反数.(a-b)n=(b-a)n (n是偶数是偶数）(a-b)n=-(b-a)n (n是奇数是奇数）(1)a+b与与b+a 互为
25、相同数互为相同数,(a+b)n=(b+a)n (n是整数是整数）（3）a+b 与与-a-b 互互为相反数为相反数.(-a-b)n=(a+b)n (n是偶数是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n (n是奇数是奇数）例例 用提公因式法将下列各式因式分解用提公因式法将下列各式因式分解.(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：解：(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y=xy=x3 3(-z+xy).(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y
26、(a-b)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)=(a-b)(3x-2y)x x3 3+(b-a)+(b-a)-(a-b)-(a-b)(a-(a-b)b)把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：（x y）3 （x y）a2 x2y2 (2)4p(1-q)3+2(q-1)2(2)(2)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2其中，其中，a a2 22ab+b2ab+b2 2叫做完全平方式叫做完全平方式.例如：4x4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2 =(2x)=(2x)2 2-22x3y+(3y)-22x3y+(
27、3y)2 2=(2x-=(2x-3y)3y)2 2.2.公式法(1)(1)平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).例例 把下列各式分解因式把下列各式分解因式.(1)(a+b)(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2 ；(2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2；(3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9-6(m+n)+9 做做一一做做 (m+n-3)(m+n-3)2 2.(3a+b)(b-a)(3a+b)(b-a)(1-5x)(1-5x)2 2(
28、2)(a+b+c)2-(a+b-c)2(4)3ax2-3ay4；(5)m4-1(1)3x+6xy+3xy(6)y2 4xy4 x2(3)xy-4xy+4十字相乘法“拆两头，凑中间拆两头，凑中间”1582xx)3)(5(xxxx35xxx8)5()3(例1例分解因式例分解因式22109aabbaa9bb)(9(baba2256(2)23xxaa练习练习:(1)分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式分组后能直接提取公因式分组后能直接提取公因式分组分解法四项:常考虑一三分组或者是二二分组五项:常考虑二三分组分解因式。：把例bcacaba21)()(2bcacaba解：原式)()(bacbaa)(c
29、aba2:55mn mnm练习：把分解因式。22xyaxay把分解因式。22222aabbc例：把分解因式。222)2(cbaba解：原式22)(cba)(cbacba2221abb练习：(1)13.80.125+86.2(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.解：原式解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2)=0.125100 =12.5 解解:a2b+ab2=ab(a+b)=3 5=1518；巧妙计算巧妙计算）（解：原式19999 99 99+99 ）（解：原式1575131259）（解：原式1575131259=259=259 =9
30、90015725951259312591572595125931259157259512593125999299=99(99+1)；因式分解常用方法因式分解常用方法提公因式法提公因式法平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式公式法公式法十字相乘法十字相乘法分组分解法分组分解法因式分解的一般步骤：因式分解的一般步骤：一提：一提：先看多项式各项先看多项式各项有无公因式有无公因式，如有公因式则要，如有公因式则要优先优先提取公因式；提取公因式；二套：二套：两项两项考虑考虑平方差公式平方差公式；三项三项考虑考虑完全或十字完全或十字；四查：四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到解，如能分解，应分解到不能再分解为止不能再分解为止。一般步骤一般步骤四项:常考虑一三分组或者是二二分组三分课堂预设本章学生容易出现的问题1、法则混淆或公式使用不当2、漏乘3、符号错误4、因式分解不彻底5、因式分解与整式乘法的循环错误。谢谢大家！The end
