1、3.1.3 3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算一、引入一、引入1.1.共线向量定理：共线向量定理：(0)ab babab,，空空间间中中任任意意两两个个向向量量共共线线()的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数使使得得2.2.共线向量定理的推论：共线向量定理的推论：(1)若直线若直线l过点过点A且与向量且与向量 平行，则平行，则(2)三点三点P、A、B共线的充要条件有：共线的充要条件有：aOPOAta Pl点点 在在直直线线 上上tAPtABAPAB ，（1 1）存存在在实实数数，使使得得即即tOPOAtAB （2 2）存存在在实实数数，使使得得,(1)xyOPxOAyOB
2、 xy 另另：存存在在实实数数，使使得得3.3.共面向量定理：共面向量定理：).a bppxaya bxby 如如果果两两个个向向量量、不不共共线线,那那么么向向量量 与与、共共面面的的充充要要条条件件是是存存在在唯唯一一的的有有序序实实数数对对(，使使得得(,)x yAPxAByAC （1 1）存存在在有有序序实实数数对对，使使得得OOPOAxAByAC （2 2）对对空空间间中中任任意意一一点点，有有4.P4.P、A A、B B、CC四点共面充要条件：四点共面充要条件：(1)OOPxOAyOBzOC xyz 另另：对对空空间间中中任任意意一一点点，有有 1()3 ABCOMABPOPOAO
3、BOCPABCMPC ：，、练练习习如如图图，、是是三三个个不不共共线线的的点点，是是空空间间中中任任意意一一点点，是是的的中中点点若若点点 满满足足，（1 1）求求证证：、四四点点共共面面；（2 2）求求证证：三三点点共共线线.1()33OPOAOBOCOPOAOBOC （1）证明：()()OPOAOBOPOCOP 移项，得APPBPCPAPBPC ，即PABC、四点共面OABCPM（2）证明：）证明：点点M为为AB的中点的中点1()22OMOAOBOAOBOM ，即11()(2)3332OPOAOBOCOMOCOPOMOC 2()OPOMOCOP 移项，得2MPPC MPC、三点共线OAB
4、CPM1.1.数量积的定义：数量积的定义：|cosa ba b 我们规定我们规定零向量与任一向量的数量积为零零向量与任一向量的数量积为零，即，即 00a 已知已知非零向量非零向量 与与 ，我们把，我们把数量数量 叫叫作作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即，即|cosa baba b ab注意：注意：(1)数量积是两个向量之间的运算，要与数量积是两个向量之间的运算，要与“数乘数乘”相区别；相区别；(2)两个向量的两个向量的数量积是一个实数数量积是一个实数，不是向量，它的符号，不是向量，它的符号由由cos 的符号决定；的符号决定；(3)点乘符号点乘符号“”在向量运算中在
5、向量运算中不是乘号不是乘号，既，既不能不能省略，省略，也也不能不能用用“”代替代替.abab 可，也记为其其中中，为为、的的夹夹角角,二、基础知识讲解二、基础知识讲解注意在两向量的夹角定义中：注意在两向量的夹角定义中：（1）两向量必须是同起点的；）两向量必须是同起点的；（2）范围）范围0 180.，则，则AOB=叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.OAa OBb ，ab在空间中任取一点在空间中任取一点O，作，作 a b：、，？问问题题1 1已已知知非非零零向向量量它它们们的的夹夹角角应应如如何何确确定定OabAB,a b 也也可可记记为为,OA OBOB OAOA OBOAOB 思思考考：下
6、下面面式式子子表表示示什什么么意意思思？它它们们之之间间有有什什么么关关系系？,OA OBOB OAOA OBOAOB 问题问题2：平面向量的数量积的几何意义怎样？：平面向量的数量积的几何意义怎样？在空间还一样吗？在空间还一样吗？数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积。的乘积。a b a|aba|cosbBB1OAab2.2.数量积的主要性质：数量积的主要性质：2_._.(3)cos,_;(4)|_|.()aba baba babaa ba ba b ；反；(1)(1)(2)(2)若若与与同同向向,若 若与与向向,填填或或0a b|a b|a b
7、2|a|a ba b;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)3.3.数量积的运算规律：数量积的运算规律：思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c 该等式左端是与该等式左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而右端是与a共线的向量，它们不一定相等共线的向量，它们不一定相等.222220,00;();)()|;a baba bb c bacpqp qpqpqpq .（1）若则或 （）（2）若(0),则 （）（3）（）（4）(（）练练习习：判判断断下下列列说说法法的的真真假假三、例题分析三、例题分析AB
8、CO8 4 cos1358 6 cos12024 16 2 24 16 232 2cos,8 55|OA BCOA BCOABC A AD DF FC CB BE E1 1.1.如如图图,已已知知空空间间四四边边形形的的每每条条边边和和对对角角线线长长都都等等于于，点点、分分别别是是、的的中中点点。计计算算：（1 1）；（2 2）；（3 3）；（4 4）ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF AC四、针对性训练四、针对性训练五、小结巩固五、小结巩固掌握空间向量的数量积运算掌握空间向量的数量积运算.六、布置作业六、布置作业作业作业:课本课本P98 P98 习题习题3.1 A3.1 A组组 4.4.
