1、第24讲相似三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点一考点一 相似三角形的定义相似三角形的定义定义：如果两个三角形的各角对应定义：如果两个三角形的各角对应 ，各对应边，各对应边 ，那，那么这两个三角形相似么这两个三角形相似考点二考点二 相似三角形的性质相似三角形的性质1 1相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边，对应边 .2 2相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于等于_._.3.3.相似三角形的周长之比等于相似三角形的周长之比等于 ，面积之比等于，面积之比等于 .相等相等的比相等的比相等相等相等的
2、比相等的比相等相似比相似比相似比的平方相似比的平方相似比相似比考点三考点三 相似三角形的判定相似三角形的判定1 1两组对应边两组对应边 ，且夹角，且夹角 的两个三角形相似的两个三角形相似2 2两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似3 3三组对应边三组对应边 的两个三角形相似的两个三角形相似温馨提示：温馨提示：直角三角形相似的条件：（直角三角形相似的条件：（1 1）两直角边对应成比例的两个直角三角）两直角边对应成比例的两个直角三角形相似形相似.（2 2）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.（3 3）有斜边和一）有斜边和一直角边的比对应相等
3、的两个直角三角形相似直角边的比对应相等的两个直角三角形相似.的比相等的比相等相等相等的比相等的比相等考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页第24讲相似三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三 (1)(2011 (1)(2011深圳深圳)如图所示，小正方形的边长均为如图所示，小正方形的边长均为1 1，则下列图中的三角形则下列图中的三角形(阴影部分阴影部分)与与ABCABC相似的是相似的是()(2)(2011(2)(2011铜仁铜仁)已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABCABC中，中，AEDAEDB B，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是()(3)(2011(
4、3)(2011重庆重庆)如图，在如图，在ABCABC中，中，DEBCDEBC，DEDE分别交边分别交边ABAB、ACAC于于D D、E E两点，若两点，若ADABADAB1313，则，则ADEADE与与ABCABC的面积的面积比为比为_【点拨点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定本组题重点考查相似三角形的性质和判定宇轩图书宇轩图书目目 录录-46OXYAB 例例 在平面直角坐标系中，矩形在平面直角坐标系中，矩形OABCOABC的顶点的顶点O O在在坐标原点，边坐标原点，边OAOA在在X X轴上，轴上，OCOC在在Y Y轴上，如果矩形轴上，如果矩形ODEFODEF与矩形与矩形OABCOABC
5、关于点关于点O O位似，且矩形位似，且矩形ODEFODEF的面积的面积等于矩形等于矩形OABCOABC面积的面积的 ，那么点，那么点E E的坐标是多少？的坐标是多少？41宇轩图书宇轩图书目目 录录AB E D H C F K G例例2如图如图,矩形矩形EFGH的顶点的顶点F,G分别分别在三角形在三角形ABC的两边上的两边上,EH在在BC边边上上.AD是三角形的高是三角形的高,已知已知BC=120,AD=80,设设EF=X,矩形的面矩形的面积为积为S,求求S关于关于X的关系式的关系式,并求当并求当X取何值时取何值时,S最大最大.宇轩图书宇轩图书目目 录录用相似或勾股定理求线段长度：用相似或勾股定
6、理求线段长度：例例1.如图，已知如图，已知E为平行四边形为平行四边形ABCD中中DC边的延边的延长线上的一点，且长线上的一点，且CE=DC，连接，连接AE分别交分别交BC、BD于于F、G。（1）求证：）求证：AFB EFC (2)若若BD=12cm，求，求DG的长。的长。B AGFE C D宇轩图书宇轩图书目目 录录如图：如图：P是是 O的半径的半径OA上的一点，上的一点，D在在 O上，且上，且 PD=PO，过点，过点D作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点C，延长延长DP交交 O于于K，连接，连接KO，OD.（1）证明：）证明：PC=PD（2）若该圆半径为）若该圆半径为5，CD
7、KO，请求出请求出OC的长。的长。DC A P O K宇轩图书宇轩图书目目 录录 在正方形在正方形ABCD中，过点中，过点A引射线引射线AH，交边，交边CD于点于点H(点点H与点与点D不重不重合合)，通过翻折，使点，通过翻折，使点B落在射线落在射线AH上的点上的点G处，折痕处，折痕AE交交BC于于E，延长，延长EG交交CD于于F感知感知：如图：如图1，当点，当点H与点与点C重合时，可得重合时，可得FG=FD。探究探究：如图：如图2，当点，当点H为边为边CD上任意一点是时，猜想上任意一点是时，猜想FG与与FD的数量关的数量关 系，并说明理由。系，并说明理由。应用应用：在图：在图2中，当中，当AB
8、=5,BE=3时，利用探究的结论，求时，利用探究的结论，求FG的长。的长。A D A DB E C B E CF F GG(H)H宇轩图书宇轩图书目目 录录例例 在平面直角坐标系中，直角三角形在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点的顶点A,B分别分别落在坐标轴上，落在坐标轴上，O为原点，点为原点，点A的坐标为的坐标为(6,0),点点B的坐标的坐标(0,8)，动点，动点M从点从点O出发。沿出发。沿OA向终点向终点A以每秒以每秒1个单位的速个单位的速度运动，同时动点度运动，同时动点N从从A出发，沿出发，沿AB向终点向终点B以每秒以每秒 个单个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随
9、之位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点停止运动，设动点M,N运动的时间为运动的时间为t秒（秒（t0），当），当t为何值为何值时，时，MNA是一个等腰三角形？是一个等腰三角形？35O M A XYBN宇轩图书宇轩图书目目 录录例例3.在平面直角坐标系中矩形在平面直角坐标系中矩形OABCOABC的边的边OA=6cm,OC=10cm,OA=6cm,OC=10cm,正比例函数正比例函数y=3/4xy=3/4x交交ABAB于于点点D,D,动点动点P P以以2 2cm/scm/s的的速度沿速度沿O OA AD DO O动动动动,动点动点Q Q以以1 1cm/Scm/S的的速
10、度沿速度沿O OC CB B运动运动,两两个动点同时从个动点同时从O O点点出发出发,运动时间为运动时间为t,t,两个两个动点当动点当一个停止时一个停止时,另一个也随之停止另一个也随之停止,在在运动过程中运动过程中,记三角形记三角形OPQOPQ的的面积为面积为s.s.(1)(1)直接写出直接写出D D点的点的坐标和坐标和ODOD的长的长(2)(2)求求s s关于关于t t的函数关系式的函数关系式(3)(3)当三角形当三角形OPQOPQ的的面积是梯形面积是梯形ODBCODBC面积的面积的一半时一半时,运动时间运动时间t t是多少秒是多少秒?A D BO C XY宇轩图书宇轩图书目目 录录例例4.
11、已知抛物线经过点已知抛物线经过点A(0,4),B(1,4),C(3,2),与与X轴正半轴交于点轴正半轴交于点D.(1)求此求此抛物线的解析式及点抛物线的解析式及点D的坐标的坐标2)在在X轴上求轴上求一点一点E使得三角形使得三角形BCE是以是以BC为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形;(3)在在(2)的条件下的条件下,过线段过线段ED上动点上动点P作作直直线线PFBC,与与BE,CE分别交于点分别交于点F,G,将将三角三角形形EFG沿沿FG翻折翻折得到三角形得到三角形EFG,设点设点P(X,0),三角形三角形EFG与与四边形四边形FGCB重合部重合部分的面积为分的面积为S,求求S与与X的的函数关
12、系式函数关系式,及自变及自变量量X的取值范围的取值范围.4 A BCO X (2011 (2011南京南京)如图如图，P P为为ABCABC内一点，连接内一点，连接PAPA、PBPB、PCPC，在，在PABPAB、PBCPBC和和PACPAC中，如果存在一个三角形与中，如果存在一个三角形与ABCABC相似，那么就称相似，那么就称P P为为ABCABC的自相似点的自相似点(1)(1)如图如图，已知，已知RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，ABCABCA A，CDCD是是ABAB上的中上的中线，过点线，过点B B作作BECDBECD，垂足为，垂足为E.E.试说明试说明E E是是ABC
13、ABC的自相似点的自相似点(2)(2)在在ABCABC中，中，A AB BC.C.如图如图,利用尺规作出利用尺规作出ABCABC的相似点的相似点P P(写出作法并保留作图痕迹写出作法并保留作图痕迹).).若若ABCABC的内心的内心P P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数【点拨点拨】正确理解并确定自相似点，写出相似的两个三角形是解答本正确理解并确定自相似点，写出相似的两个三角形是解答本题的关键题的关键【解答】【解答】(1)(1)在在 RtABCRtABC 中，中，ACBACB9090，CDCD 是是 ABAB 上的中线，上的中线，CDC
14、D1 12 2ABAB，CDCDBD.BCEBD.BCEABC.BECDABC.BECD，BECBEC90.BEC90.BECACB.BCEABC.EACB.BCEABC.E 是是ABCABC 的自相似点的自相似点 宇轩图书宇轩图书目目 录录第24讲相似三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三6 6如图，如图，ABCABC内接于内接于O O，ADAD是是ABCABC的边的边BCBC上的高，上的高，AEAE是是O O的直径，连接的直径，连接BEBE，ABEABE与与ADCADC相似吗？请证明你相似吗？请证明你的结论的结论答案：答案：ABEABE与与ADCADC相似相似理由如下：在理由如下：
15、在ABEABE与与ADCADC中中AEAE是是O O的直径，的直径，ABEABE9090，ADAD是是ABCABC的边的边BCBC上的高，上的高，ADCADC9090，ABEABEADC.ADC.又又同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，BEABEADCA.DCA.ABEABEADC.ADC.1 1如图，在如图，在ABCABC中，点中，点D D、E E分别在分别在ABAB、ACAC边上，边上，DEDEBCBC，若，若ADABADAB3434，AEAE6 6，则，则ACAC等于等于()A A3 3B B4 4C C6 D6 D8 8答案：答案：D D2 2如图所示，如图所示，RtRtABC
16、ABC RtRtDEFDEF，则，则cosEcosE的值等于的值等于()答案：答案：A A举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页第24讲相似三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三相似三角形相似三角形训练时间：训练时间：6060分钟分钟 分值：分值：100100分分一、选择题一、选择题(每小题每小题4 4分，共分，共4848分分)1 1(2010(2010中考变式题中考变式题)如图，小正方形的边长均为如图，小正方形的边长均为1 1，则下列图中的，则下列图中的三角形三角形(阴影部分阴影部分)与与ABCABC相似的是相似的是()【解析解析】观察观察ACBACB得得ACBA
17、CB135135，被选项中只有，被选项中只有A A项图中三角形项图中三角形含含135135角角【答案答案】A A【答案答案】B B3 3(2010(2010中考变式题中考变式题)下列命题中，是真命题的为下列命题中，是真命题的为()A A锐角三角形都相似锐角三角形都相似B B直角三角形都相似直角三角形都相似C C等腰三角形都相似等腰三角形都相似D D等边三角形都相似等边三角形都相似【解析解析】本题考查相似三角形的判定方法本题考查相似三角形的判定方法【答案答案】D D4.(20124.(2012中考预测题中考预测题)小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点
18、恰好在离网点恰好在离网6 6米的位置上，则球拍击球的高度米的位置上，则球拍击球的高度h h为为()【答案答案】C5 5(2011(2011深圳深圳)如图，如图，ABCABC与与DEFDEF均为等边三角形，均为等边三角形，O O为为BCBC与与EFEF的的中点，则中点，则ADADBEBE的值为的值为()【答案答案】A6 6(2010(2010中考变式题中考变式题)如图，在如图，在ABCABC中，中，D D、E E两点分别在两点分别在BCBC、ACAC边上边上，若，若BDBDCDCD，B BCDECDE，DEDE2 2，则，则ABAB的长度是的长度是()A A4 B4 B5 C5 C6 D6 D7
19、 7【解析解析】B BCDECDE，ABABDEDE.BDBDCDCD，则，则DEDE为为ABCABC的中位线的中位线，则，则ABAB2 2DEDE4.4.【答案答案】A AA3个个 B2个个 C1个个 D0个个【答案答案】A A8 8(2010(2010中考变式题中考变式题)如图，过边长为如图，过边长为1 1的等边三角形的等边三角形ABCABC的边的边ABAB上一上一点点P P，作，作PEPEACAC于于E E，Q Q为为BCBC延长线上一点，当延长线上一点，当PAPACQCQ时，连接时，连接PQPQ交交ACAC边于边于D D，则，则DEDE的长为的长为()【答案答案】B【答案答案】B101
20、0(2012(2012中考预测题中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为，一名同学测得一根长为1 1米的竹竿的影长为米的竹竿的影长为0.40.4米，同时另一名同学测米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为第一级台阶上，测得此影子长为0.20.2米，一米，一 级台阶高为级台阶高为0.30.3米，如图所示米，如图所示，若此时落在地面上的影长为，若此时落在地面上的影长为4.44.4米，则树高为米，则树
21、高为()A11.5米米 B11.75米米C11.8米米 D12.25米米【答案答案】C1111(2011(2011荆州荆州)如图，如图，P P为线段为线段ABAB上一点，上一点，ADAD与与BCBC交于交于E E，CPDCPDA AB B，BCBC交交PDPD于于F F，ADAD交交PCPC于于G G，则图中相似三角形有，则图中相似三角形有()A A1 1对对 B B2 2对对C C3 3对对 D D4 4对对【解析解析】C CC C，CPDCPDB B，CPFCPFCBPCBP；DPGDPGA A，D DD D，DPGDPGDAPDAP；BPFBPFD DA A，AGPAGPD DCPDCP
22、D，又，又A ACPDCPD，BPFBPFAGPAGP.又又B BA A，APGAPGBFPBFP.故选故选C.C.【答案答案】C C1212(2011(2011大连大连)如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB4 4，BCBC5 5，AFAF平分平分DAEDAE，EFEFAEAE，则，则CFCF等于等于()【答案答案】C二、填空题二、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共1616分分)1313(2011(2011吉林吉林)如图，如图，ABCABC中，点中，点D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点，连的中点，连接接DEDE，线段，线段BEBE、CDCD相交于点相交于
23、点O O.若若ODOD2 2，则，则OCOC_._.【答案答案】41414(2011(2011重庆重庆)如图，如图，ABCABC中，中，DEDEBCBC，DEDE分别交边分别交边ABAB、ACAC于于D D、E E两点，若两点，若ADADABAB1 13 3，则，则ADEADE与与ABCABC的面积比为的面积比为_【答案答案】1 19 91515(2012(2012中考预测题中考预测题)如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB9 9，ACAC6 6，点，点E E在在ABAB上上，且，且AEAE3 3，点，点F F在在ACAC上，连接上，连接EFEF，若，若AEFAEF与与ABCABC相似，
24、则相似，则AFAF_._.【答案答案】2 2或或4.54.51616(2011(2011莆田莆田)如图，一束光线从点如图，一束光线从点A A(3,3)(3,3)出发，经过出发，经过y y轴上的轴上的C C反反射后经过点射后经过点B B(1,0)(1,0)，则光线从，则光线从A A点到点到B B点经过的路线长是点经过的路线长是_【答案答案】5三、解答题三、解答题(共共3636分分)1717(12(12分分)(2011)(2011佛山佛山)如图，如图，D D是是ABCABC的边的边ABAB上一点，连接上一点，连接CDCD，若，若ADAD2 2，BDBD4 4，ACDACDB B，求，求ACAC的长
25、的长1818(12(12分分)(2010)(2010中考变式题中考变式题)如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，过点中，过点A A作作AEAEBCBC，垂足为，垂足为E E，连接，连接DEDE，F F为线段为线段DEDE上一点，且上一点，且AFEAFEB B.(1)(1)求证：求证：ADFADFDEDEC.C.【答案答案】(1)(1)证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADADBCBC，ABABCDCD.ADFADFCEDCED，B BC C180180.AFEAFEAFDAFD180180，AFEAFEB B，AFDAFDC C，ADFADFDECDEC.1919(12(12分分)(2012)(2012中考预测题中考预测题)一块直角三角形形状的铁皮材料，两直一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为角边长分别为30 cm30 cm、40 cm40 cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图、，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？种加工方法如图、，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？【答案答案】解：在图中设正方形的边长为解：在图中设正方形的边长为x x，则，则DEDEx x，ADAD3030 x xA AA A，ADEADEC C9090
