1、9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集
2、合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2知识拓展点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2
3、构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()题组二教材改编2P80A组T3(1)椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8C4或8 D12答案C解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.m4或8.3P49A组T5过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解
4、析由题意知c25，可设椭圆方程为1(0)，则1，解得10或2(舍去)，所求椭圆的方程为1.4P49A组T6已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P点坐标为或.题组三易错自纠5若方程1表示椭圆，则m的取值范围是()A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)答案C解析由方程表示椭圆知解得3mb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心
5、率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析AF1B的周长为4，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆C的方程为1.故选A.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案A解析由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆2过椭圆4x2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，
6、则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A2 B4C8 D2答案B解析椭圆方程变形为1，椭圆长轴长2a2，ABF2的周长为4a4.3(2017承德模拟)椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A. B. C. D4答案A解析F1(，0)，PF1x轴，P，|，|4.4(2017呼和浩特模拟)已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_答案66解析椭圆方程化为1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，|AF1|，|PA|PF|PA|PF
7、1|6，又|AF1|PA|PF1|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，|PA|PF|6，|PA|PF|6.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题题型二椭圆的标准方程命题点1利用定义法求椭圆的标准方程典例 (1)(2018济南调研)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(
8、13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.(2)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)答案A解析由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)设其方程为1(ab0)，则a5，c4，从而b3.由A，B，C不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是1(y0)命题点2利用待定系数法求椭圆方程典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_答案1解析设
9、椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_答案1解析方法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24，所求椭圆的标准方程为1.方法二所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，即1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|
10、；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式跟踪训练 设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_答案x2y21解析设点B的坐标为(x0，y0)x21，F1(，0)，F2(，0)AF2x轴，设点A在x轴上方，则A(，b2)|AF1|3|F1B|，3，(2，b2)3(x0，y0)x0，y0.点B的坐标为.将B代入x21，得b2.椭圆E的方程为x2y21.题型三椭圆的几何性质典例 (1)(2017安庆模拟)P为椭圆1上任意一点，EF为圆N
11、：(x1)2y24的任意一条直径，则的取值范围是()A0,15 B5,15C5,21 D(5,21)答案C解析()()()()22|24，因为ac|ac，即3|5，所以的取值范围是5,21(2)(2016全国)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意知，A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，即a3c，即e.思维升华 (1)利用
12、椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围跟踪训练 (1)(2017德阳模拟)已知椭圆1(0bbc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值
13、范围是_答案解析因为|PT|(bc)，而|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.联立，得e.1设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A4 B3 C2 D5答案A解析由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.2(2018开封模拟)曲线C1：1与曲线C2：1(kb0)的右
14、焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析由题意得，椭圆的右焦点F为(c,0)，上顶点B为(0，b)因为圆(x1)2(y1)22经过右焦点F和上顶点B，所以解得bc2，则a2b2c28，解得a2，所以椭圆C的离心率e，故选D.4(2017西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上，且|2，则F1PF2等于()A. B.C. D.答案D解析因为2，O为坐标原点，|2，所以|PO|，又|OF1|OF2|，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以F1PF2.5(2017河北衡水中学二调)设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点
15、P在椭圆上，且满足9，则|PF1|PF2|的值为()A8 B10C12 D15答案D解析由椭圆方程1，可得c24，所以|F1F2|2c4，而，所以|，两边同时平方，得|2|22|2，所以|2|2|22161834，根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a8，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64，所以342|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|15.故选D.6(2018昆明调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点
16、P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是()A B C D答案D解析观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20知，即a1c2，即式正确，式不正确故选D.7焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为_答案1或1解析由题意知解得又b2a2c2，b29，当焦点在x轴上时，椭圆方程为1，当焦点在
17、y轴上时，椭圆方程为1.8若椭圆1(a0，b0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2y24的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_答案1解析设切点坐标为(m，n)，则1，即m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直线AB的方程为2xy40.直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2c40，b40，解得c2，b4，a2b2c220，椭圆方程为1.9(2017湖北重点中学联考)已知椭圆C1：1(ab0)与椭圆C2：1(ab0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为_答案解析联立两式相减得，
18、又ab，所以x2y2，故四边形ABCD为正方形，(*)又由题意知a2b22，将其代入(*)式整理得3b42b280，所以b22，则a24，所以椭圆C的离心率e.10(2017湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x2(y1)23和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是_答案解析由圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ，1y1，当y时，d取最大值，P，Q两点间的最大距离为dmax.11(2017陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(3,0)(
19、1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意得因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为1.(2)易知|yP|4，又c3，所以|yP|2c4612.12已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解椭圆方程可化为1，m0.m0，m，a2m，b2，c.由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.13已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为
20、圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.1 B2C. D.答案A解析过F1的直线MF1是圆F2的切线，F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，|MF1|c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|cc2a，椭圆离心率e1.14已知椭圆1(ab0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，_.答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.15已知椭圆C1：1(ab0)与圆C2：x2y2b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由
21、点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析从椭圆上长轴端点P向圆引两条切线PA，PB，则两切线形成的APB最小若椭圆C1上存在点P，所作圆C2的两条切线互相垂直，则只需APB90，即APO45，sin sin 45.又b2a2c2，a22c2，e2，即e.又0e1，eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围解(1)由椭圆的定义知，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知得PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|.由椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，所以|PF1|PQ|QF1|4a.于是(1)|PF1|4a，解得|PF1|，故|PF2|2a|PF1|.由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，从而224c2，两边除以4a2，得e2.若记t1，则上式变成e282.由及1关于的单调性，得3t4，即，进而e2，即e.
