1、定角夹定高（探照灯模型）定角夹定高（探照灯模型） 什么叫定角定高，如右图，直线 BC 外一点 A，A 到直线 BC 距离为定值 （定高） ，BAC 为定角。则 AD 有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫 探照灯模型。探照灯模型。 我们可以先看一下下面这张动图，在三角形 ABC 当中，BAC 是一个定 角，过 A 点作 BC 边的高线，交 BC 边与 D 点，高 AD 为定值。 从动态图中（如图定角定高 1.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为 定值，那么三角形 ABC 的外接圆的大小，也就是半径，是会随着 A 点的运动 而发生变化的。从而弦 BC 的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于
2、它的高 AD 是定值，因此三角形 ABC 的面积就有一个最小值。 我们可以先猜想一下，AD 过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC 的长是最小的，从而三 角形 ABC 的面积也是最小的。 定角定高1.gsp 定角定高.html （定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理） 那么该如何证明呢？ 首先我们连接 OA,OB,OC。过 O 点作 OHBC 于 H 点.（如图 1） 显然 OA+OH?AD，当且仅当 A,O,D 三点共线时取“=” 。由于BAC 的大小 是一个定值，而且它是圆 o 的圆周角，因此它所对的圆心角AOB 的度数，也是 一个定值。 因此 OH 和圆 O 的半径
3、，有一个固定关系，所以，OA+OH 也和 ?的半 径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OH?AD，就可以求得圆 O 半径的最小值。 简证：OA+OHAD OEDH 为矩形，OH=ED，在 RtAOE 中，AOAE，AO+OH=AO+EDAE+ED=AD 下面我们根据一道例题来说明它的应用。 例例：如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=CD=4，ADBC，B=60，点 E、F 分别为边 BC、CD 上 的两个动点，且EAF=60，则AEF 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说 明理由。 【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理. 将ADF
4、 绕 A 点顺时针旋转 120，得ABF，则EAF =60，易证AEFAEF，作AEF的外接圆O，作 OHBC 于点 H，AGBC 于点 G，则F OH=60，AG= ? ? ? ? 23，设 O 的半径为 r，则 OH=? ? ? ? 2 . OA ? OH ? AG， ? ? ? ? ? 23， ? ? ? ? FAE=FAE=? ?FOE=60 F C B DA E GH O F F C B DA E O DC A B FE=3? ? ? 1 2 ? ? ? 1 2 ? 3? 23 ? 43 AEF 的面积最小值为43 以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面
5、也有详细的解答过程，做完 以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。 解题步骤： 1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为 r，用 r 表示圆心到底边距离及底边长； 2.根据“半径半径+弦心距弦心距?定高定高”求 r 的取值范围； 3.用 r 表示定角定高三角形面积，用 r 取值范围求面积最小值。 【针对练习】 1.（1）如图 1，在ABC 中，ACB=60，CD 为 AB 边上的高，若 CD=4，试判断ABC 的面积是否 存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由. （2）如图 2，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形 ABCD 中，
6、BAD=45，B=D=90，CB=CD=62，点 E、F 分别为边 AB、AD 上的点，若保持 CECF，那么 四边形 AECF 的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。 （1）解：如图 1-1 作ABC 的外接圆 ?，连 OA、OB、OC，作 OHAB 于 H 设 ?半径为 r，则 OH=? ? ? ? ?，AB=2AH=2? ? ? ? ? 3? CO+HO?CD 即 r+? ? ?4 得 r 8 3 = 1 2 = 1 2 3 4 = 23 23 8 3 = 16 3 3 （2）分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。 由于： S四边形 AEC
7、F= 四边形 ABCD =722 + 72 （+ ） 图图1 BD C A 图图2 EB D C A F 因此，只要+ 最小，四边形 AECF面积最大 解：如图 1-2 所示 在 AB 上找一点 H，使 AH=HC。延长 AB 至 G，使 BG=FD，连 CG，作CEG 的外接圆 证 AC 为BAD 平分线 求四边形 ABCD面积。CHB=45，AH=CH=2 = 12 HB=BC=62 AB=12+62 四边形 ABCD= 2= 2 1 2 = =(12 + 62) 62 = 722 + 72 CDFCBG，则+ = 求+ = 最小面积 ECG=135-90=45定角，CB=62定高 .设
8、的半径为 r，则 EK=OK=2 2 = 2 2 ，EG=2EK=2 .CO+OK CB 即 r+2 2 62 r 122 12 .SCEG= 1 2 = 1 2 62 2 = 6 722 72 求四边形 AECF的最大值。 S四边形 AECF= 四边形 ABCD =722 + 72 （+ ） = 722 + 72 722 + 72 (722 72) = 144 2.已知等边ABC，点 P 是其内部一个动点，且 AP=10，M、N 分别是 AB、AC 边上的两个动点，求 PMN 周长最小时，四边形 AMPN 面积的最大值. 分析：PMN 最小值即将军饮马问题。如图 2-1。 C A B P 四
9、边形 AMPN 面积该如何表示？如图 2-2 AP=10，则 P 在以 A 为圆心 10 为半径的圆上 由轴对称性可知，1= ，2= 四边形 AMPN= + = 1+ 2=12 12= 1 2 12 = 1 2( 1 21) (31) = 3 4 2= 253 只要最小，则四边形最大 最小，且MAN=60定值，AD=1 21 = 1 2 = 5定值，即定 角定高问题 解：求PMN 周长最小。作 P 关于 AB 的对称点1，作 P 关 AC 的对称点2 ，连12。此时，PMN 周长即为最小（两点之间线段最短） 四边形 AMPN 面积表达式。连1、2，过 A 作 AD12 = 1， = 2， =
10、+ = 60 1+ 2= + = = 60 12= 1+ + 2= 120 又 = 1= 2= 10 12= 21= 30 AD=1 21 = 5 1 = 2 = 3 2 1= 53 12= 21 = 103 12= 1 2 12= 253 四边形= 12 = 253 当最小时，四边形最大 求的最小值。如图 2-3 作AMN 的外接圆 ，连 OA、OM、ON，作 OHMN 于 H .设 的半径为 r， 则 OH=1 2 = 1 2， = 2 = 2 3 2 = 3 .AO+OH ，即 + 2 5，r 10 3 .= 1 2 = 1 2 5 3 = 5 2 3 25 3 3 四边形= 12 =
11、253 253 25 3 3 = 50 3 3 四边形 AMPN 面积最大值为50 3 3 这就是我们所说的定价定高类隐形圆的处理方法。相对来说难度还是比较大的，这类题通常会作为中考压 轴题出现，如果没有学习过解题方法的话，自己是很难想出来它的做法，希望同学们下去以后多加练习。 只要方法掌握了以后，其实也是很容易拿到满分的。 【同类配题】 1.如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD=42，B=45，D=135，点 E，F 分别是射线 CB、CD 上的动 点，并且EAF=C=60，求AEF 的面积的最小值. 2.如图 4，四边形 ABCD 中，A=135，B=60，D=120，AD=5，AB=6，E、F 分别为边 BC 及射线 CD 上的动点，EAF=45，求AEF 面积的最小值. 3.如图 5，四边形 ABCD 中，B=D=60，C=90，AD=2AB=2，M、N 分别在直线 BC、CD 边上， MAN=60，求AMN 面积最小值. 4.如图 6，四边形 ABCD 边长为 6 的菱形，其中， = 60，E、F 分别在射线 AB、BC 上，EDF=90， 求EDF 面积的最小值.
