1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 第一讲第一讲 集合的概念与运算集合的概念与运算 1AAA，A. 2AAA，AA 3A(UA)，A(UA)U，U(UA)A 4ABABAABBUAUBA(UB). 1已知集合 AxN|0x4，则下列表述正确的是( D ) A0A B1A C 2A D3A 解析 集合 AxN|0x4，所以 0A,1A， 2A,3A 2若 Ax|x4k1，kZ，Bx2k1，kZ，则集合 A 与 B 的关系是( B ) AAB BAB CAB DAB 解析 因为集合 Bx|x2k1，kZ，Ax|x4k1，kZx|x2(2k)1，k Z， 集合B表示2与整数的积减1的
2、集合， 集合A表示2与偶数的积减1的集合， 所以AB， 故选 B 3设集合 M2,4,6,8，N1,2,3,5,6,7，则 MN 的子集的个数为( B ) A2 B4 C7 D128 解析 M2,4,6,8，N1,2,3,5,6,7，MN2,6，即 MN 中元素的个数为 2，子集 224 个，故选 B 4已知集合 Ax|x0，Bx|1x2，则 AB( A ) Ax|x1 Bx|x2 Cx|00，B2，1,0,1，则(RA)B( A ) A2，1 B2 C2,0,1 D0,1 (理)已知集合 PxR|1x3，QxR|x24，则 P(RQ)( B ) A2,3 B(2,3 C1,2) D(，21，
3、) 解析 (文)Ax|x10x|x1，RAx|x1，(RA)Bx|x 12，1,0,12，1 (理)QxR|x24xR|x2 或 x2， RQxR|22(1， )， Bx|y x11， )， AB故 选 A 方法技巧 判断集合间关系的三种方法 (1)列举法：把元素一一列举观察 (2)集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集 合中元素的特征判断关系 (3)数形结合法：利用数轴或 Venn 图 8(文)(2018 北京东城区月考)已知集合 Mx|xa，Nx|2|y|”的逆命题 B命题“若 x1，则 x21”的否命题 C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题 D命
4、题“若 x20，则 x1”的逆否命题 解析 对于 A，其逆命题是“若 x|y|，则 xy”，是真命题，这是因为 x|y|y，必有 xy； 对于 B，其否命题是“若 x1，则 x21”，是假命题，如 x5，x2251； 对于 C，其否命题是“若 x1，则 x2x20”，由于 x2 时，x2x20，所以 是假命题； 对于 D，若 x20，则 x0，不一定有 x1，因此原命题的逆否命题是假命题 6“tantan”是“”的( )条件( D ) A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 解析 当 tantan 时，k，kZ，不一定 ；当 2时，tan，tan 无意义，因此也不能说 tant
5、an，故选 D 7写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若 xy0，则 x，y 中至少有一个为零； (2)若 ab0，则 a，b 中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等； (4)有理数都能写成分数 解析 (1)否定形式：若 xy0，则 x，y 都不为零 否命题：若 xy0，则 x，y 都不为零 (2)否定形式：若 ab0，则 a，b 都大于零 否命题：若 ab0，则 a，b 都大于零 (3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等 否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等 (4)否定形式：有理数不能都写成分数 否命题：非有理数不
6、能写成分数 第三讲第三讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词逻辑联结词、全称量词与存在量词 1逻辑联结词与集合的关系 (1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“pq”为 真有三个含义：只有 p 成立，只有 q 成立，p、q 同时成立； (2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题 pq 为真 表示 p、q 同时成立； (3)“非”与集合中的补集相类似 2常用短语的否定词 若给 定语 为 等于 大于 是 且 或 一定 都是 至多 有一 个 至少 有一 个 至多 有n个 其否 定语 不等 于 小于 或等 不是 或 且 一定 不 不都 是 至少 有
7、两 没有 至少 有 n 为 于 个 1 个 1下列语句是“p 且 q”形式的命题的是( C ) A老师和学生 B9 的平方根是 3 C矩形的对角线互相平分且相等 D对角线互相平分的四边形是矩形 解析 对于选项 C，p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等，故选 C 2设命题 p：函数 ysin2x 的最小正周期为 2，命题 q：函数 ycosx 的图像关于直线 x 2对称则下列说法正确的是( C ) Ap 为真 B q 为假 Cpq 为假 Dpq 为真 解析 ysin2x 周期为 ，故 p 不正确；ycosx 不关于 x 2对称，故 q 不正确；故 p q 为假，选 C 3(2018 武
8、汉模拟)已知命题 p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( C ) A命题 p 是真命题 B命题 p 是特称命题 C命题 p 是全称命题 D命题 p 既不是全称命题也不是特称命题 解析 命题 p：实数的平方是非负数，是真命题，故 p 是假命题，命题 p 是全称命题， 故选 C 4(2019 黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第一次调研考试)设 xZ，若集合 A 是 奇数集，集合 B 是偶数集，若命题 p：xA,2xB，则( C ) A p：xA,2xB B p：xA,2xB C p：xA,2xB D p：xA,2xB 解析 由全称命题的否定知， p：xA,2B，故选 C 5(2015 全国
9、新课标卷)设命题 p：nN，n22n，则 p 为( C ) AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 解析 由于命题 p 为特称命题，故其否定为全称命题，将命题 p 的量词“”改为 “”，“n22n”改为“n22n”故选 C 6 (2019 黑龙江省大庆铁人中学高三第一次模拟考试)已知命题 p： “x0R， 使得 x20 2ax010,4a240，解得 a1 或 a0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象，中 当 xx0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此 是函数图象 2函数 f(x) 4x x1
10、定义域为( B ) A1,4 B(1,4 C(1,4) D1,4) 解析 由题意得 x10 4x0，10， 2x0，解得 10，则 f(x)在闭区间a，b上是增函数 (2)若有(x1x2)f(x1)f(x2)1 2 Bm1 2 Dm0) f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且 1 时， x 1 3 0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( D ) 解析 A 项，因为 a0.由图知 f(0)c0，又因为 abc0，所以 c0，故 B 错； C 项，因为 a0， b 2a0，又因 abc0，所以 c0，而 f(0)c0， b 2a0，所以 b0，所以 c0 且
11、a1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0,1) 2底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a1，还是 0cb Bcab Cbac Dabc 解析 a1，b1,0c. 7若函数 y(a21)x在 R 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 a 2或 a1，解得 a 2或 a0，且 a1，b0，且 b1，m，nR. 2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交 点的横坐标为相应的底数故 00 且 a1)，当 a(0,1)时 y 为减函数；这时当 x(1，)时， y1 时，图象 越靠近 x 轴，其底数越大，故 C1，C2对应的 a 值分虽为 2,3.又因
12、为 C3，C4为减函数，可知 它们的底数都小于 1，此时 x1 时，图象越靠近 x 轴，其底数越小，所以 C3，C4对应的 a 分 别1 3， 1 2.综上可得 C1，C2，C3，C4的 a 值依次为 2,3， 1 3， 1 2。 解法二：可以画直线 y1，看交点的位置自左向右，底数由小到大 6(2015 北京)2 3,3 1 2 ，log25 三个数中最大的数是 log25. 解析 因为 2 31 23 1 8，3 1 2 31.732，而 log242，所以三个数中 最大的数是 log25. 第八讲第八讲 函数的图象函数的图象 1函数对称的重要结论 (1)若 f(mx)f(mx)恒成立，则
13、 yf(x)的图象关于直线 xm 对称 (2)设函数 yf(x)定义在实数集上， 则函数 yf(xm)与 yf(mx)(m0)的图象关于直线 xm 对称 (3)若 f(ax)f(bx)，对任意 xR 恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 xab 2 对称 (4)函数 yf(ax)与函数 yf(bx)的图象关于直线 xba 2 对称 (5)函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称 (6)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称 2函数图象平移变换八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量 (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值 1(教
14、材改编)函数 ylogax 与函数 ylog1 ax 的图象关于直线 x 轴对称；函数 ya x与 y (1 a) x的图象关于直线 y 轴对称；函数 ylog 2x 与函数 y2 x的图象关于直线 yx 对称 2已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)log 2f(x)的定义域是(2,8. 3 为了得到函数 f(x)log2x 的图象， 只需将函数 g(x)log2x 8的图象向上平移 3 个单位 将 函数 f(x)log2x 左移 2 个单位得到解析式为 ylog2(x2). 4将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到函数 yf(x1)的图象；为了得 到函数 ylog
15、2(2x6)的图象，只需把函数 ylog22x 的图象上所有的点向右平移 3 个单位长 度 5函数 ylog2|x|的图象大致是( C ) 解析 解法一：当 x0 时，ylog2x，故选 C 解法二：当 x1 时，y0，排除 A、B 当 x2 时 y1，排除 D，故选 C 6(2019 湖北仙桃、天门、潜江三市期末)已知图甲中的图象对应的函数 yf(x)，则图 乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是( C ) Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|) 解析 由图可知当 x0 时，yf(x)，故选 C 第九讲第九讲 函数与方程函数与方程 1有关函数零点的结论
16、 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 (4)由函数 yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a) f(b)0(或 f(x)0，知 D 正确 2(2018 四川模拟)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导数 yf(x)的 图象如图所示，则该函数的图象是( B ) 解析 由函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象从左到右先增后减，知 yf(x)图象切线 的斜率对应先增后减故选 B 3函数 f(x)xl
17、nx 的单调递减区间是( A ) A(0,1) B(0，) C(1，) D(，0)(1，) 解析 函数的定义域是(0，)，且 f(x)11 x x1 x ，令 f(x)1 e，由 g(x)0)， f(x)1 x1 1x x (x0)， 在(0,1)上 f(x)0，在(1，)上 f(x)0，sin0 知， 是一、三象限角，由 sinbsinAsinBcosA0(nN*)，则logaan(a0 且 a1)成等差数列，反之亦然 (6)若an是等差数列，则aan(a0，a1)成等比数列，反之亦然 (7)三个数成等比数列可设三数为b q，b，bq，四个数成等比数列且公比大于 0 时，可设四 个数为 b
18、q3， b q，bq，bq 3. 2等比数列前 n 项和公式的推导方法错位相减法. 1(教材改编)等比数列 x,3x3,6x6，的第四项等于( A ) A24 B0 C12 D24 解析 由 x,3x3,6x6 成等比数列，知(3x3)2x (6x6)，解得 x3 或 x1(舍 去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24，选 A 2(2018 北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例， 为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
19、于122.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( D ) A32f B322f C1225f D1227f 解析 本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f， 公比为122的等比数列， 设此数列为an， 则 a81227f，即第八个单音的频率为1227f，故选 D 易错警示 本题是以数学文化为背影的实际应用问题，忽略以下几点容易造成失分： 读不懂题意，不能正确转化为数学问题对要用到的公式记忆错误在求解过程中计 算错误 3(2018 四川资阳一诊)已知各项均为正数的等比数列an满足 a1a516，a22，则公 比 q( C ) A4
20、 B5 2 C2 D1 2 解析 解法一： 由题意， 得 a1 a1q416， a1q2， 解得 a11， q2 或 a11 q2 (舍去)， 故选 C 解法二：a1 a5a2316. 由 an0 得 a34，qa3 a22. 4(教材改编)设an是公比为正数的等比数列，若 a11，a516，则数列an的前 7 项 和为( C ) A63 B64 C127 D128 解析 由 a11，a516，得 q4a5 a116(q0)，q2，S7 a11q7 1q 127.故选 C 5 (2018 广西柳州模拟)设等比数列an中， 公比 q2， 前 n 项和为 Sn， 则S4 a3的值( A ) A15
21、 4 B15 2 C7 4 D7 2 解析 S4a11q 4 1q 15a1，a3a1q24a1，S4 a3 15 4 ，选 A 项 6若在 1 与 4 之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是 2，2,2 2或 2，2，2 2. 解析 设插入三个数分别为 a，b，c，则 b214，b2 或 b2(舍)，a21b 2.a 2，同时 c2b48，c 2 2，且 a，c 同号这三个数为 2，2,2 2或 2，2，2 2. 第四讲第四讲 数列求和数列求和 1常见的裂项公式 (1) 1 nn1 1 n 1 n1； (2) 1 nnk 1 k( 1 n 1 nk)； (3) 1 n21 1
22、2( 1 n1 1 n1)； (4) 1 2n12n1 1 2( 1 2n1 1 2n1)； (5) 1 n n1 n1 n； 1 n nk 1 k( nk n)； (6) 1 nn1n2 1 2 1 nn1 1 n1n2 1数列 21 3，4 1 9，6 1 27，8 1 81，的前 n 项和 Snn 2n1 2 1 2 3n. 解析 Sn21 34 1 96 1 278 1 81(2n 1 3n) (2462n)(1 3 1 32 1 3n) n(n1) 1 31 1 3 n 11 3 n(n1)1 2(1 1 3n)n 2n1 2 1 2 3n. 2(2018 河北承德实验中学期中)已知
23、an是等比数列，a22，a51 4，则 a1a2a2a3 anan1( C ) A16(14 n) B16(12 n) C32 3 (14 n) D32 3 (12 n) 解析 a22，a51 4，q 3a5 a2 1 8，q 1 2，a1 a2 q 4.又anan 1 an1anq 21 4(n2)， anan1是以 a1a2428 为首项，以1 4为公比的等比数列， a1a2a2a3anan1 81 1 4n 11 4 32 3 (14 n)故选 C 3数列an的通项公式是 an 1 n n1，前 n 项和为 9，则 n( B ) A9 B99 C10 D100 解析 因为 an 1 n
24、n1 n1 n.所以 Sna1a2a3an( 21) ( 3 2)( n1 n) n11.所以 n119，即 n110，所以 n99.故 选 B 4(教材改编题)Sn1 2 1 2 3 8 n 2n等于( B ) A2 nn1 2n B2 n1n2 2n C2 nn1 2n D2 n1n2 2n 解析 由 Sn1 2 2 22 3 23 n 2n 得1 2Sn 1 22 2 23 n1 2n n 2n 1 得， 1 2Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n 1， 1 21 1 2 n 11 2 n 2n 1，Sn2 n1n2 2n . 5(2018 湖南永州模拟)若 Sn1 2
25、1 24 1 246 1 242n(nN)，则 S2 019 2 019 2 020. 解析 2462nn(n1) Sn 1 12 1 23 1 34 1 nn1 (11 2)( 1 2 1 3)( 1 3 1 4)( 1 n 1 n1) 1 1 n1 n n1.S2 019 2 019 2 020. 第一讲第一讲 不等关系与不等式不等关系与不等式 1ab，ab01 a 1 b. 2a0,0b0，m0，则b a bm am(bm0) 1(教材改编)下列四个结论，正确的是( C ) ab，cbd； ab0，cb1 ab3a3b. A B C D 解析 利用不等式的同向可加性可知正确； 对根据不等
26、式的性质可知 acb，但 1 a 1 b，故 不正确，故选 C 2下面的推理过程 abacbc cdbcbd acbda d b c，其中四个“”中错误之处的个数是 ( D ) A0 B1 C2 D3 解析 abacbc，cdbcbd， acbd a d b c. 3(教材改编)若 m0 且 mnbd，则 d c b. 6(教材改编) 1 52”“0 且 b24acag(x)f(x)g(x)； 若 0logag(x)f(x)g(x)0； 若 00 时，原不等式等价于 x21，解得 x1；当 x0 或 AxByCkxb 或 ykxb，则区域为直线 AxByC0 上方 (2)若 y0 内 B点(0
27、,0)在区域 xy10，b0)(当且仅当 ab 时取等号) (2)ab(ab 2 )2(a，bR)(当且仅当 ab 时取等号) (3)(ab 2 )2a 2b2 2 (a，bR)(当且仅当 ab 时取等号) (4)b a a b2(a，b 同号)(当且仅当 ab 时取等号) (5) 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 (a，b0 当且仅当 ab 时取等号) 1下列结论正确的个数为( B ) (1)函数 yx1 x的最小值为 2. (2)x0，y0 是x y y x2 的充要条件 (3)若 a0，则 a3 1 a2的最小值为 2 a. (4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)
28、(5)当 x(0， 2)时，函数 f(x)sinx 4 sinx4. A0 B1 C2 D3 解析 (1)、(2)、(3)、(5)都不正确，(4)正确，故选 B 2已知 a，bR ，且 ab1，则 ab 的最大值为( B ) A1 B1 4 C1 2 D 2 2 解析 因为 a，bR ，所以 1ab2 ab，所以 ab1 4，当且仅当 ab 1 2时等号 成立故选 B 3(2018 陕西渭南期中)已知 x0，则函数 y4 xx 的最小值是( D ) A18 B18 C16 D4 解析 因为 x0，所以 y4 xx2 x 4 x4，当且仅当 x2 时取等号，所以函数 y 4 x x 的最小值是
29、4，故选 D 4若 x2)在 xn 处取得最小值，则 n( B ) A5 2 B3 C7 2 D4 解析 由 f(x)x 1 x2(x2) 1 x224，当且仅当 x2 1 x20，即 x3 时， 取得等号，故选 B 6(2017 江苏)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一 年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 30. 解析 总费用为 4x600 x 64(x900 x )42 900240，当且仅当 x900 x ，即 x 30 时等号成立 第七章 立体几何 第一讲第一讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图
30、空间几何体的结构及其三视图和直观图 1三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上 方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和 宽度；左视图反映了物体的宽度和高度；由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等 2一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变” 三变：坐标轴的夹角改变，与 y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变 三不变：平行性不变，与 x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变 1以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( A ) A球的三视图总是三个全等的圆 B正方体的三视图总是三个全等
31、的正方形 C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析 几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个 全等的圆故选 A 2下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( D ) A B C D 解析 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正 视图和侧视图相同，所以，正确答案为 D故选 D 3 如图所示是水平放置三角形的直观图， D 是ABC 的 BC 边中点， AB， BC 分别与 y 轴、x轴平行，则原三角形中三条线段 AB，AD，AC 中( B ) A最长的是 AB，最短的是 AC B最长的是 A
32、C，最短的是 AB C最长的是 AB，最短的是 AD D最长的是 AC，最短的是 AD 解析 由条件知，原平面图形中 ABBC，从而 AB0)上的动点，定点 A(2,0)，B( 2,0)，PAB 的面积最大值为 8，则 a 的值为( A ) A1 B2 C3 D4 解析 要使PAB 的面积最大，只要点 P 到直线 AB 的距离最大由于 AB 的方程为 y 0，圆心(0,3)到直线 AB 的距离 d3，故 P 到直线 AB 的距离最大值为 3a，再根据|AB| 4，可得PAB 面积的最大值为1 2 |AB| (3a)2(3a)8，解得 a1.故选 A 第五讲第五讲 椭圆椭圆 AB 为椭圆x 2
33、a2 y2 b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 (1)弦长 l 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|； (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0. 1若椭圆x 2 16 y2 b21 过点(2， 3)，则其焦距为( D ) A2 5 B2 3 C4 5 D4 3 解析 椭圆过(2， 3)，则有 4 16 3 b21，b 24，c216412，c2 3，2c4 3. 故选 D 2(2019 广西南宁)若椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ( C ) A1 2 B 3 3 C 2
34、2 D 2 4 解析 因为椭圆的短轴长等于焦距， 所以 bc， 所以 a2b2c22c2， 所以 ec a 2 2 ， 故选 C 3(2019 广东模拟)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于1 2，则 C 的 方程是( D ) Ax 2 3 y2 41 Bx 2 4 y2 31 Cx 2 4 y2 21 Dx 2 4 y2 31 解析 由中点在原点的椭圆 C 的右焦点 F(1,0)知，c1.则c a 1 2，得 a2.由 b 2a2c2 3，故椭圆方程为x 2 4 y2 31. 4“20， m26m， 20)的两个焦点，若 F1、F2、P(0,2b)是正三角形 的三个
35、顶点，则双曲线的离心率( B ) A3 2 B2 C5 2 D3 解析 设 F1(c,0)，F2(c,0) 由PF1F2为正三角形，得 2c c24b2. 3c24b24(c2a2)c24a2，e24，e2. 3已知双曲线x 2 a2 y2 31(a0)的离心率为 2，则 a( D ) A2 B 6 2 C 5 2 D1 解析 因为双曲线的方程为x 2 a2 y2 31，所以 e 213 a24，因此 a 21，a1.选 D 4(2019 天津模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近 线与直线 2xy0 垂直，则双曲线的方程为( A ) Ax
36、 2 4y 21 Bx2y 2 41 C3x 2 20 3y2 5 1 D3x 2 5 3y 2 201 解析 由题意得 c 5，b a 1 2，则 a2，b1，所以双曲线的方程为 x2 4y 21. 5 (2019 福州质检)设 F1、 F2分别是双曲线 x2y 2 91 的左、 右焦点 若点 P 在双曲线上， 且|PF1|5，则|PF2|( D ) A5 B3 C7 D3 或 7 解析 |PF1|PF2|2，|PF2|7 或 3. 6(2018 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 3 2 c，则
37、其离心率的值是_2_. 解析 双曲线的一条渐近线方程为 bxay0，则 F(c,0)到这条渐近线的距离为 |bc| b2a2 3 2 c，b 3 2 c，b23 4c 2，又 b2c2a2，c24a2，ec a2. 第七讲第七讲 抛物线抛物线 抛物线焦点弦的处理规律 直线 AB 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图 (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 . (2)|AB|x1x2p，x1x22 x1x2p，即当 x1x2时，弦长最短为 2p. (3) 1 |AF| 1 |BF|为定值 2 p. (4)弦长 AB 2p sin2( 为
38、 AB 的倾斜角) (5)以 AB 为直径的圆与准线相切 (6)焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90 . 1抛物线 y2x2的焦点坐标是( C ) A(1 8，0) B(1 2，0) C(0，1 8) D(0，1 2) 解析 由抛物线的标准方程为 x21 2y，可知 p 2 1 8，所以焦点坐标是(0， 1 8)故选 C 2 (2019 龙岩质检)若直线 AB 与抛物线 y24x 交于 A， B 两点， 且 ABx 轴， |AB|4 2， 则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为( A ) A1 B2 C3 D5 解析 由|AB|4 2及 ABx 轴， 不妨设点 A 的纵坐标为 2 2
39、， 代入 y24x 得点 A 的横 坐标为 2， 从而直线 AB 的方程为 x2.又 y24x 的焦点为(1,0)， 所以抛物线的焦点到直线 AB 的距离为 211.故选 A 3(2019 运城期末)已知抛物线 x2ay 与直线 y2x2 相交于 M，N 两点，若 MN 中点 的横坐标为 3，则此抛物线的方程为( D ) Ax23 2y Bx26y Cx23y Dx23y 解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 由 x2ay， y2x2 ，消去 y 得 x22ax2a0. 所以x1x2 2 2a 2 3，即 a3， 因此所求的抛物线的方程为 x23y.故选 D 4已知抛物线 C：y2x
40、的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|5 4x0，则 x0( A ) A1 B2 C4 D8 解析 由题意知抛物线的准线为 x1 4.因为|AF| 5 4x0， 根据抛物线的定义可得 x0 1 4 |AF|5 4x0，解得 x01，故选 A 5(2019 宁夏二模)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m，2) 到焦点的距离为 4，则 m 的值为_ 4_. 解析 由题意可设抛物线的标准方程为 x22py(p0) 由定义知 P 到准线的距离为 4， 故p 224，得 p4，所以抛物线的方程为 x 28y，代入点 P 的坐标得 m 4. 6抛物线的顶点在坐标原
41、点，开口向上，其准线经过双曲线y 2 4 x2 91 的一个顶点，则 此抛物线的标准方程为_x28y_. 解析 由题意可设抛物线的标准方程为 x22py(p0)，因为双曲线下顶点为(0，2)， 所以p 22，p4，抛物线的标准方程为 x 28y. 第八讲第八讲 曲线与方程曲线与方程(理理) 1“曲线 C 是方程 f(x，y)0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”的充分不必要条件 2求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标 x，y 的方程及函数关系 (2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数
42、”与“形”的有机结合 (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转 化 1到两定点 A(0,0)，B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是( C ) A椭圆 BAB 所在的直线 C线段 AB D无轨迹 解析 |AB|5，到 A、B 两点距离之和为 5 的点的轨迹是线段 AB. 2(2019 长春模拟)如图所示，A 是圆 O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线 CD 与 OB 交于点 E，则点 E 的轨迹是( B ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析 由题意知，|EA|EO|EB|EO|r(r 为圆的半径)且 r|OA|，故 E 的轨迹为以 O，A 为焦点的椭圆，故选 B 3(2019 太原模考)设 A、B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 3，且|PA|PB|，若直线 PA 的方程为 xy10，则直线 PB 的方程是( D ) Axy50 B2xy10 Cx2y40 Dxy70 解析 由|PA|PB|知点 P 在 AB 的垂直平分线上由点 P 的横坐标为 3，且 PA 的方程 为 xy10，得 P(3,4)直线 PA、PB 关于直线 x3 对称，直线 PA 上的点(0,1)关于直线 x 3 的对称点(6,1)在直线 PB 上，直线 PB 的方程为 xy70. 4(2019 人大附中模拟)在平面直角坐标
