1、全等三角形的复习全等三角形的复习 第十二章第十二章一、全等三角形一、全等三角形1.1.什么是全等三角形？一个三角形经过什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？哪些变化可以得到它的全等形？2 2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。它的全等形。（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全
2、等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。高线分别相等。知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法三角形全等的判定方法：三角形全等的判定方法：边边边：边边边：三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形
3、全等（可简写成可简写成“SSSSSS”)边角边边角边:两边两边和和它们的夹角对应相等两个三角形全等它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成可简写成“SAS”)角边角角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成可简写成“ASA”)角角边角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（等（可简写成可简写成“AAS”)斜边斜边.直角边：直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成角形全等（可简写成“HLHL”)方法指引证明两个三角形全等的基本思
4、路：证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边）：已知两边-找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角(AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)二、全等三角形识别思路复习二、全等三角形识别思路复习
5、 如图，已知如图，已知ABC和和DCB中，中，AB=DC，请补充一，请补充一个条件个条件-，使，使ABC DCB。思路思路1：找夹角找夹角找第三边找第三边找直角找直角已知两边：已知两边：ABC=DCB（SAS）AC=DB（SSS）A=D=90（HL）ABCD 如图，已知如图，已知C=D，要识别，要识别ABC ABD，需要添加的一个条件是需要添加的一个条件是-。思路思路2：找任一角找任一角已知一边一角已知一边一角（边与角相对）（边与角相对）（AAS）CAB=DAB或者或者 CBA=DBAACBD 如图，已知如图，已知1=2，要识别，要识别ABC CDA，需要添加的一个条件是需要添加的一个条件是-
6、思路思路3：已知一边一角（边与角相邻）：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找夹这条边的另一角找边的对角找边的对角AD=CBACD=CABD=B（SAS）（ASA）（AAS）如图，已知如图，已知B=E，要识别，要识别ABC AED，需要添加的一个条件是需要添加的一个条件是-思路思路4：已知两角：已知两角：找夹边找夹边找一角的对边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或或 DE=BC(ASA)(AAS)角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。QDOA，QEOB，QDQE 点Q在A
7、OB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE二、角的平分线二、角的平分线1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：2.如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P P在在BMBM上上,ABCPMNDEFPD=PEPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P
8、到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F3.3.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平的平分线相交于点分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上1.如图：在如图：在ABC中，中，C C=900，AD平平分分 BAC，DEAB交交AB于于E，
9、BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE=。12cABDE三.练习：考考你，学得怎样？考考你，学得怎样？5、如图如图1 1，已知，已知AC=BD，1=2，那么那么ABC ，其判定根其判定根据是据是_。6、如图如图2，ABC中，ADBC于于D，要使要使ABD ACD，若根据，若根据“HL”判定，还需加条件判定，还需加条件_ =_ =_，7、如右图，已知如右图，已知AC=BD，A=D ，请你添一个直接条件，请你添一个直接条件，_=_=，使使AFC DEBABCD12BCADADEBFC8 8、如图，已知、如图，已知ABABACAC，BEBECECE，延长，延长AEAE交交BCBC于于D D，则图
10、中全等三角形共有（），则图中全等三角形共有（）（A A）1 1对对 （B B）2 2对（对（C C）3 3对（对（D D）4 4对对9、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）（A A）一锐角和斜边对应相等（）一锐角和斜边对应相等（B B）两条直角边对应相等）两条直角边对应相等（C C）斜边和一直角边对应相等（）斜边和一直角边对应相等（D D）两个锐角对应相等）两个锐角对应相等1010、下列四组中一定是全等三角形的为、下列四组中一定是全等三角形的为 （）A A三内角分别对应相等的两三角形三内角分别对应相等的两三角形 B B、斜边相等的两直角三
11、角形、斜边相等的两直角三角形C C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形 D D、三边对应相等的两个三角形、三边对应相等的两个三角形BCAED 例例6.6.如图，已知如图，已知AB=ADAB=AD，B=DB=D，1=21=2，求证：求证：BC=DEBC=DEABCDE12证明证明:1=21=21+EAC=2+EAC1+EAC=2+EACBAC=DAEBAC=DAE在在ABCABC和和ADEADE中中ABCABCADE(AAS)ADE(AAS)BC=DEBC=DEBACDAEBDABAD 4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且都是等边
12、三角形，且点点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C旋转一定角度旋转一定角度（大于零度而小于六十度），（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？以上的结论海成立吗？证明证明：ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS)BE=AD5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2，3=4，那么，那么AC等于等于AD吗？
13、为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS)BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS)AC=AD练习练习6：如图，已知，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABC DEF证明：ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF
14、（SAS）例例11.11.如图如图AB/CD,AB/CD,B=90B=90,E,E是是BCBC的中点的中点,DE,DE平分平分ADC,ADC,求证求证:AE:AE平分平分DABDABCDBAEF证明证明:作作EFAD,EFAD,垂足为垂足为F FDEDE平分平分ADCADCAB/CD,C=BAB/CD,C=B又又B=90B=90C=90C=90又又EFADEFADEF=CEEF=CE又又E E是是BCBC的中点的中点EB=ECEB=ECEF=EBEF=EBB=90B=90EBABEBABAEAE平分平分DABDABBCDCBCDC12.12.如图，如图，ACB=90ACB=90，AC=BCAC
15、=BC，BECEBECE，ADCEADCE于于D D，AD=2.5cm,DE=1.7cmAD=2.5cm,DE=1.7cm。求：。求：BEBE的长。的长。ABCDE14.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC总结提高总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):1):要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应对应角角”与与 “对角对角”的不同含义；的不同含义；（2 2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；字母要写在对应的位置上；（3 3）：要记住）：要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有两边及有两边及其中一边的对角对应相等其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；的两个三角形不一定全等；（4 4）：时刻注意图形中的隐含条件，如）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角公共角”、“公共边公共边”、“对顶角对顶角”
