1、高三数学（理科）参考答案 第 1页（共 5 页）2023 年河南省五市高三第二次联考年河南省五市高三第二次联考数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案温馨提示：解答题解题方法不唯一。参考答案只给出了大致评分标准，阅卷老师请根据考生作答情温馨提示：解答题解题方法不唯一。参考答案只给出了大致评分标准，阅卷老师请根据考生作答情况酌情细化给分。况酌情细化给分。一一、选择题选择题：1.A2.D3 C4.B5.D6.C7.C8.B9.D10.C11.B12.A二、填空题：二、填空题：13.214.10115.632316.2三、解答题：三、解答题：17.证明：(1)由已知1211nnnaaa，得nnaa2
2、11整理为：111111nnaa，11na为等差数列，公差1d，首项为1131a；.4 分所以13121nnna，整理为：*12nnanNn，经检验，符合要求.6 分（2）由（1）得：*12nnanNn1222nnTa aan，2244114(2)(2)(3)23nTnnnnn，.8 分，114().33nSn即.12 分18.解：（1）因为 BCAD，ADC90，ABBC2DE，所以平面四边形 ABCD 为直角梯形设 ABBC2DE4a，因为ABC120所以在 RtCDE 中，32 3,4,tan,3DECDa ECaECDDC所以ECD30，又ADCBCD90所以BCE60，由 ECBCA
3、B4a，所以BCE 为等边三角形又 F 是 EC 的中点，所以 BFEC，又 BFPC，EC，PC平面 PEC，ECPCC，所以 BF平面 PEC，而 BF平面 ABCE，故平面 PEC平面 ABCE.6 分高三数学（理科）参考答案 第 2页（共 5 页）（2）在直角三角形 PEC 中，PEDEPF122ECa，取 EF 中点 O，所以 POEF由（1）可知平面 PEC平面 ABCE，平面 PEC平面 ABCEECPO平面 ABCE，以 O 为原点，OC 方向为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系.8 分则 P(0，0，3a)，A（23a，-3a，0），B（23a，a，0），C（0，3a，0）
4、，所以(2 3,3,3),(2 3,3),(0,3,3)PAaaa PBa aa PCaa ，设平面 PAB 的法向量(,)mx y z，00m PAm PB ，即2 33302 330axayazaxayaz，令 x1 得(1,0,2)m 设直线 PC 与平面 PAB 所成角为，则|sin|m PCm PC 22222 35512(3)(3)aaa 所以直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为55.12 分19.解：（1）X可能取值为 0，1，2，3，4，记甲答对某道题的概率为事件A，则 32312121AP，则32,4 BX，44210,1,2,3,433kkkP XKCk ，则X的分
5、布列为：X0123481181882781328116则 38324XE.6 分（2）记事件iA为“甲答对了i道题”，事件iB为“乙答对了i道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222pp，答错某道题的概率为111(1)(1)22pp，则1212111()(1)(1)(1)222P ACppp，22211()(1)(1)24P App，1614120BP，834143121 CBP，所以甲答对题数比乙多的概率为：221001102021()()()()P ABBBP ABP A BP A BAA=83141161141161121222ppp=25793,64326416pp解得151
6、p，P高三数学（理科）参考答案 第 3页（共 5 页）甲的亲友团助力的概率P的最小值为51.12 分20.解：（1）设0(4,)Ny，代入 x22py，得08yp，所以8|MNp，08|22ppNFyp由题设得85824ppp，解得2p （舍去）或2p，C 的方程为24xy.4 分（2）由题知直线 l 的斜率存在，设其方程为6ykx，由264ykxxy消去y整理得24240 xkx，显然16k2+960设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则1212424xxkxx，抛物线在点211(,)4xP x处的切线方程为2111()42xxyxx，令1y ，得21142xxx，可得点2114(,1)
7、2xRx，.7 分由 Q，F，R 三点共线得 kQFkFR，所以22212111 1442xxxx，即221212(4)(4)160 xxx x，整理得2212121212()4()2 16160 x xxxx xx x，所以22(24)4(4)2(24)1616(24)0k ，解得214k，即12k ，故所求直线 l 的方程为162yx或162yx.12 分21.解：（1）当12a 时，21()cos2f xxx，则()sinfxxx，设()()g xfx，则()cos1 0g xx 在,2 2 上恒成立，()g x在,2 2 上单调递增，又(0)0g，.2 分高三数学（理科）参考答案 第
8、4页（共 5 页）当,0)2x 时，()0fx，当(0,2x时，()0fx，()f x在,0)2x 上单调递减，在(0,2x上单调递增，2(0)1,()()228fff，函数()f x的值域为21,8.4 分（2）22()cos()()cos()fxxaxxaxf x，()f x在,2 2 上为偶函数，函数()f x在,2 2 上恰有两个极小值点等价于函数()f x在(0,)2上恰有一个极小值点，设()()sin2h xfxxax，则()cos2h xxa，当0a时，0 xh，则()h x在(0,)2上单调递减，0)0()(hxh，则0)(xf，()f x在(0,)2上单调递减，无极小值；当2
9、1a时，0 xh，则()h x在(0,)2上单调递增，00 hxh，则 0 xf，()f x在(0,)2上单调递增，无极小值；.6 分当102a时，存在0(0,)2x，使得0()0h x，且当0(0,)xx时，()0h x，当0(,)2xx时，()0h x，()h x在0(0,)xx上单调递减，在0(,)2xx上单调递增，(0)0h，0()0h x，又()12ha ，()i当01a，即01a时，02h，0 xf，此时()f x在(0,)2上单调递减，无极小值；()ii当10a，即112a 时，()02h，则存在0(,)2tx，使得()sin20(*)h ttat，且当(0,)xt时，()0h
10、x，当(,)2xt时，()0h x，()f x在(0,)t上单调递减，在(,)2t上单调递增，函数()f x在(0,)2上恰有一个极小值点2xt，此时0 x 是函数()f x的极大值点，当函数()f x在,2 2 上恰有两个极小值点时a的取值范围为11(,)2；.9 分120 xx，若221211()1()9f xxxx，则222224cos2419xaxx，由(*)知，22sin2xax，2222222418419a xaxx，整理可得22(31)(61)0 xaa，又2110,(,)2xa，13a ，高三数学（理科）参考答案 第 5页（共 5 页）存在13a ，使得221211()1()9
11、f xxxx 成立.12 分22.（1）曲线C的参数方程为1cos1sinxy （为参数），消去参数可得：22(1)(1)1xy，曲线C的普通方程为22(1)(1)1xy，.2 分又直线l的极坐标方程为sin3 cos10，且sin,cosyx，直线l的直角坐标方程为310,yx 综上所述：曲线C的普通方程为222210 xyxy；直线l的直角坐标方程为310 xy.5 分（2）由（1）可知：直线l的直角坐标方程为310 xy，即直线过点(0,1)P，斜率为3，倾斜角为3，则可设直线l的参数方程为12312xtyt （t为参数），将12312xtyt 代入22(1)(1)1xy整理得：22 3140tt，设点,M N对应的参数分别为12,t t，判别式0恒成立，可得：12122 310,40ttt t，即120,0tt，12122 31PMPNtttt.10 分23.（1）因为为正数，且3abc.据柯西不等式2222222()(111)(111)9abcabc ，所以2223abc，当且仅当1abc时，等号成立.5 分（2）据柯西不等式21111119abcabcabcabc，所以1113abc，当且仅当1abc时，等号成立所以3m故m的最大值为3.10 分（注：23 题亦可利用基本不等式证明.）,a b c
